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文档简介

§5.2宽平稳过程一.宽平稳过程定义二.宽平稳过程的实例三.宽平稳过程的数字特征四.宽平稳过程的均方微积分性质

五.严平稳过程与宽平稳过程的关系（二)自相关函数的性质柯西－施瓦兹不等式四.宽平稳过程的均方微积分性质（1）设{X(t),t∈T}为宽平稳过程，RX(τ)为其自相关函数，则宽平稳过程{X(t),t∈T}均方连续的充要条件是RX(τ)在τ=0处连续，此时，RX(τ)是连续函数。（2）设{X(t),t∈T}为宽平稳过程，RX(τ)为其自相关函数，则宽平稳过程{X(t),t∈T}均方可导的充分条件是RX(τ)在τ=0处一阶导数存在，二阶导数存在而且连续。（4）设{X(t),t∈T}为宽平稳过程，RX(τ)为其自相关函数，则X(t)为k（正整数）次均方可导的充分条件是RX(τ)在τ=0处2k次可导且连续，此时RX(τ)处处都2k次可微，且（3）设{X(t),t∈T}为宽平稳过程，RX(τ)为其自相关函数，则宽平稳过程{X(t),t∈T}均方可导的必要条件是RX(τ)在τ=0处一阶、二阶导数都存在。公式的应用RX(τ)在τ=0处一阶导数存在，而且RX(τ)在τ=0处二阶导数存在，而且RX(τ)在τ=0处二阶导数连续，故{X(t),t>=0}均方可导。（5）设{X(t),t∈T}为宽平稳过程，RX(τ)为其自相关函数，如果{X(t),t∈T}是均方可导的，那么，其导过程仍为宽平稳过程，而且证明：（6）设{X(t),t∈T}为均方可微的实宽平稳过程，则有而实平稳过程的自相关函数有性质而实平稳过程的自相关函数有性质（7）设{X(t),t∈(-∞,+∞)}为宽平稳过程

例设实宽平稳过程{X(t),t∈(-∞,+∞)}的自相关函数为试求X(t)的均值与方差。解即此实宽平稳过程的均值为（8）设{X(t),t∈(-∞,+∞)}为均方连续的宽平稳过程,f(t)为分段连续函数，则在任意有限区间[a,b]上，下列积分在均方意义下存在：例题解：不满足宽平稳过程的定义，不是宽平稳过程。

五.严平稳过程与宽平稳过程的关系（1）若X(t)是严平稳过程，若其二阶绝对原点矩有限，则X(t)必为宽平稳过程；（2）若X(t)为宽平稳过程，它不一定是严平稳过程，（3）若X(t)为宽平稳的正态过程，则它必为严平稳过程。证明：因为正态过程的有限维分布完全由其自协方差函数决定，而自协方差只与时间间隔有关，而与时间起点无关，故宽平稳正态过程的有限维分布亦只与时间间隔有关，与时间起点无关，此即严平稳性，故宽平稳正态过程为严平稳过程。例设{W(t),t≥0}是参数为σ2的Wiener过程,a

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