上海市中原中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（含答案）

中原中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期中2025.11第Ⅰ卷（104分）一、填空题（每题5分，共50分）1.用或填空：0______．2.若，则______．3.设全集为，，，则______．4.不等式的解集为______．（用区间表示）5.设a、b为实数，比较两式的值的大小：______（用符号＞，，＜，或填入划线部分）．6.若点在幂函数的图像上，则该幂函数的表达式为______．7.不等式的解集为______．（用区间表示）8.若，则______．9.已知，方程的解集为______．（用区间表示）10.某公司购买一批机器投入生产，根据市场分析每台机器生产的产品可获得的年平均利润y（万元）与机器运转时间x（年数，x是正整数）的关系为，则每台机器的年平均利润的最大值为______万元．二、单选题（每题5分，共10分）11.“”是“”的（）条件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.即非充分又非必要12.已知函数（且）在上是严格增函数，且，则（）A.3 B.4 C.9 D.16三、解答题（第13题10分，第14题10分，第15题10分，第16题14分，共44分）13.证明：对于三个实数a、b、c，若，则或．14.已知，，试用a，b表示、．15.集合，（1）（6分）求A、B；（2）（4分）．16.已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上．（1）（7分）求实数a的值；（2）（7分）解不等式．第Ⅱ卷（46分）一、填空题（每题4分，共24分）17.函数的定义域为______．18.若正数a、b满足，则的最小值为______．19.已知集合，，，，则实数______．20.已知集合，，且，则实数a的取值范围是______．21.若幂函数的图像与x轴、y轴无交点，且图像关于原点成中心对称，则m的值为______．22.已知关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是______．二、单选题（每题4分，共8分）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④24.历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知，则的估算值为（）A. B. C. D.三、解答题（第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分，共14分）25.若实数x、y、m满足；则称x比y远离m．（1）若比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意正数a，b，证明：；（3）对任意两个不相等的正数a，b，证明：比远离． 参考答案第Ⅰ卷（104分）一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；二、选择题11.A12.C三、解答题13.证明略14.、．15.（1）（2）16.（1）（2）第Ⅱ卷（46分）17.18.19.20.21．22.已知关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】当时，不等式为，满足题意；

当时，要使不等式的解集为，

则，解得，

综上，实数的取值范围为．故答案为：，A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】C【解析】对于①，若，由不等式的性质可得：，故命题①是真命题；

对于②，若，因为，而，所以，故命题②是假命题；

对于③，若，则，可得，故命题③是真命题；

对于④，若且，则，，故命题④是真命题.综上所述：真命题有①③④．故选：．24.历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知，则的估算值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】

所以．故选：D．三、解答题（第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分，共14分）25.若实数x、y、m满足；则称x比y远离m．（1）若比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意正数a，b，证明：；（3）对任意两个不相等的正数a，b，证明：比远离．【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见