上海市延安中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（含答案）

延安中学2025~2026学年高一上学期期中考试2025.11一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1~6题每题3分，第7~12题每题4分）

1.用符号、填空：______．2.已知集合，若，则______．3.若实数，且，，则_________．4.某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的有______人．5.已知关于的不等式的解集是，则______．6.若，，且，则的最大值为______．7.已知集合，，则______．8.若实数满足，则不等式的解集为______．9.若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为______．10.已知，若“存在，使得”是真命题，则的取值范围为______．11.已知集合有整数解，且，非空集合满足条件：①；②若，则，则所有这样的集合的个数______．12.已知实数满足且，则的最大值是______．二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则14.用反证法证明命题“，若可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（）A.中至多有两个能被5整除 B.都能被5整除C.不都能被5整除 D.都不能被5整除15.香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（）A.1 B.2 C.3 D.416.对三个正实数，下列说法正确的是（）A.存在的一组值，使得、、均小于2B.存在的一组值，使得、、中恰有两个小于2C.对的任意值，、、都不小于2D.对的任意值，、、中至多有两个不小于2

三、解答题（本大题共5题，满分46分）17.（本题满分）已知，．（1）求的值；（2）用表示．18.（本题满分）设集合，集合．（1）若，求；（2）设命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．19.（本题满分）已知幂函数在上是严格增函数．（1）求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．

20.（本题满分）小路同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小路生产的商品当年能全部售完．（1）写出年利润万元关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）（2）年产量为多少万件时，小路在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？21.（本题满分）问题：正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题：（1）若正实数满足，求的最小值；（2）若实数满足，求证：；（3）利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小值的的值．

参考答案一、填空题1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.12..11.已知集合有整数解，且，非空集合满足条件：①；②若，则，则所有这样的集合的个数______．【答案】【解析】（1）∵的整数解只能是36的约数.

当方程的解为时，；当方程的解为时，；

当方程的解为时，；当方程的解为时，；

当方程的解为时，；当方程的解为时，；

当方程的解为时，；当方程的解为时，；

当方程的解为时，；故集合.

由非空集合满足条件：（1），（2）若，则，可得这样的集合共有个，故答案为：3112.已知实数满足且，则的最大值是______．【答案】【解析】由三角不等式可知：等号成立条件为，即，解得.令，即.所以.当且仅当，即时，等号成立，故的最大值是.二、选择题13.A14.D15.C16.B15.香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由题意可知，，，，故选C．16.对三个正实数，下列说法正确的是（）A.存在的一组值，使得、、均小于2B.存在的一组值，使得、、中恰有两个小于2C.对的任意值，、、都不小于2D.对的任意值，、、中至多有两个不小于2【答案】B【解析】一方面，，故中至少有一个数不小于2，故A/C/D均错误；另一方面，可取，此时，即存在，使得中恰有两个小于2．故选B．三、解答题17.【答案】（1）；（2）.18.【答案】（1）；（2）.19.【答案】（1）；（2）.20.（本题满分）小路同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小路生产的商品当年能全部售完．（1）写出年利润万元关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）（2）年产量为多少万件时，小路在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.【解析】（1）∵每件产品售价为5元，则（万件）商品销售收入为万元.当时，；

当时，.

综上所述，；

（2）由（1）得.则当时，，∴当时，取得最大值9；

当时，，当且仅当，即时，取得最大值15.综上所述：当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.21.（本题满分）问题：正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题：（1）若正实数满足，求的最小值；（2）若实数满足，求证：；（3）利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小值的的值．【答案】（1）