黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025-2026学年度第一学期高二数学第二次月考（选择性必修一、二）班级：___________姓名：___________一、单项选择题（每小题5分共40分）1．已知向量，，若，则实数（

）A．1 B． C． D．-12．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则直线AB的方程是()A．x＋y＋3＝0 B．3x－y－9＝0C．x＋3y＝0 D．4x－3y＋7＝03．若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（

）A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜54．已知等差数列的前项和为，若，则（

）A． B． C．1 D．5．在数列中，，点在直线上，则a3=（

）A．5 B．7 C．9 D．116．已知数列满足，，则数列的前12项和为（

）A．108 B．28 C．62 D．807．两条直线，的交点P在圆的内部，则实数a的取值范围是A． B． C． D．8．设椭圆的左右焦点分别为，直线l过且与C交于A，B两点，则内切圆半径的最大值为(

)A． B． C． D．1多选题(每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分）9．数列0，1，0，，0，1，0，，…的一个通项公式是（

）A． B． C． D．10．在三棱锥中，，则（

）A．B．向量与夹角的余弦值为C．向量是平面的一个法向量D．与平面所成角的正弦值为11．已知为坐标原点，，是抛物线上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（

）A．若，则点的横坐标为 B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为 D．周长的最小值为填空题(每小题5分，共15分）12．等差数列的前三项依次为，，，则x的值为．13．已知数列满足：，则通项．14．设双曲线的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为.解答题（15题13分，16，17题15分，18、19题17分，共77分）15．在等差数列中，，．求：(1)的值；(2)数列中正数项的个数．16．已知圆：，直线：.(1)当为何值时，直线与圆相切；(2)设直线过定点，为圆上任一点，求中点的轨迹方程.17．已知数列中，，．(1)证明：是等差数列；(2)求数列的前项和．18．如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点.

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离.19．已知点在双曲线上.(1)求双曲线的渐近线方程;(2)设直线与双曲线交于不同的两点，直线分别交直线于点.当的面积为时，求的值.答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案题号12345678910答案CCDDADACADACD题号11答案ACD1．C【分析】因，则，据此可得答案.【详解】因为，所以，所以．故选：C2．C【分析】由两圆的方程相减求解.【详解】解：因为圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0，两圆方程相减得x＋3y＝0，因为两圆交于A，B两点，所以直线AB的方程是x＋3y＝0，故选：C3．D【分析】由方程表示双曲线有，即可求参数范围.【详解】由题设，，可得.故选：D4．D【分析】根据等差数列前项和性质即可得到答案.【详解】，解得.故选：D.5．A【分析】证明数列是等差数列，利用等差数列通项公式求解.【详解】因为点在直线上，所以，即，所以数列是公差为的等差数列，又，所以，故选：A.6．D【分析】利用数列的通项公式，可判断各项的正负，去绝对值，再求数列的前12项的和即可.【详解】设数列的前项和为，则，因为当时，，当时，，所以.故选：D.7．A【分析】先计算出交点的坐标，再根据点在圆的内部表示出点到圆心的距离小于半径，据此求解出的取值范围.【详解】由解得.∵点P在圆的内部.∴，解得.【点睛】本题考查直线的交点坐标求解以及根据点与圆的位置关系求解参数范围，难度一般.点与圆的位置关系注意转化为点到圆心的距离问题.8．C【分析】根据等面积法表示出内切圆半径r的表达式，在利用韦达定理求的最大值即可.【详解】由题知a＝2，c＝1，设，，设△内切圆半径为r，则，∴，即，∴.设的方程为：，代入椭圆方程可得：(，∵，∴，∴，设则，时，该表达式对应的函数是减函数，∴时，取得最大值3，∴最大值为.故选：C.9．AD【分析】根据选项取值验算可得正确答案.【详解】当时，，故C不正确；当时，，排除B；当，时，经验算，AD均正确，由周期性可知AD正确，故选：AD.10．ACD【分析】由空间两点间的距离公式判断A；利用数量积求夹角判断B；由数量积为0判断C；求出平面的一个法向量，再由向量求夹角判断D．【详解】，，故A正确；，，，故B错误；，,，是平面的一个法向量，故C正确；与平面所成角的正弦值为：，故D正确．故选：ACD.11．ACD【分析】由双曲线方程可确定焦点坐标，进而得到抛物线方程；利用抛物线焦半径公式可求得A正确；将准线方程与双曲线方程联立可得交点纵坐标，由此可得线段长度，知B错误；根据外心的横坐标为且圆与准线相切可得圆的半径，由此可知C正确；结合抛物线定义可知，由此可求得周长的最小值，知D正确.【详解】由双曲线方程知：，抛物线，对于A，设，则，解得：，A正确；对于B，抛物线准线方程为：，由得：，准线被双曲线截得的线段长度为，B错误；对于C，外接圆圆心在线段的中垂线上，则其横坐标为，又该圆与抛物线准线相切，该圆的半径，该圆的面积，C正确；对于D，设和在准线上的投影分别为，由抛物线定义知：，则（当且仅当三点共线时取等号，此时重合），又，，周长的最小值为，D正确.故选：ACD.12．【分析】根据等差中项知识即可求解.【详解】等差数列的前三项依次为，，，，则.故答案为：.13．【分析】取倒数得到数列是等差数列，根据数列的通项公式得到数列的通项公式.【详解】取倒数后得，即，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，所以，故答案为：.14．2【分析】先求出直线的方程，利用原点到直线的距离为，，求出的值，进而根据求出离心率．【详解】由l过两点（a,0），（0，b），得l的方程为bx＋ay－ab＝0.由原点到l的距离为，得将b＝代入平方后整理，得解关于的一元二次方程得或∵e＝，∴e＝或e＝2.又0<a<b，故e＝＝>.∴应舍去e＝.故所求离心率e＝2.故答案为：2【点睛】本题考查双曲线性质，考查求双曲线的离心率常用的方法即构造出关于的等式，属于中档题．15．(1)9(2)12【分析】（1），可得答案；（2）先求出的通项公式，然后解出不等式，然后可得答案.【详解】（1）因为，，所以（2）由可得，所以数列中正数项的个数为1216．(1)(2)【分析】（1）根据相切，结合点到直线的距离公式即可求解，（2）根据中点坐标公式，结合相关点法即可求解.【详解】（1）由：可得：，所以圆心，半径为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为：，解得：，所以当时，直线与圆相切.（2）由直线可得点坐标为设点，圆上一点为，因为为中点，故满足，变形得.代入圆的方程得：，化简得；所以点的轨迹方程为.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先得到，再把两侧同时取倒数并利用等差数列的定义证明即可.（2）先结合题意得到，再结合裂项相消法求解即可.【详解】（1）因为，所以，而，则，即，得到是首项为2,公差为2的等差数列.（2）由（1）可得，即，则，得到.18．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）依题意可得，即可得证；（2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量方法即可求解；（3）根据点到面的距离公式求解即可.【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因为，，，平面，所以平面，又底面为正方形，及，所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：

则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，所以，即，令，则，，故，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；（3）因为，平面的法向量为，所以点