弹性力学期末考试试题及答案

弹性力学期末考试试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1.弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的（）。A.应力B.应变C.位移D.以上都是答案：D。弹性力学主要研究弹性体在各种外界因素作用下的应力、应变和位移，所以选D。2.平面应力问题的应力特点是（）。A.$\sigma_{z}=\tau_{xz}=\tau_{yz}=0$B.$\varepsilon_{z}=\gamma_{xz}=\gamma_{yz}=0$C.$\sigma_{x}=\sigma_{y}=\tau_{xy}=0$D.$\varepsilon_{x}=\varepsilon_{y}=\gamma_{xy}=0$答案：A。平面应力问题是指在薄板问题中，薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化，此时板内的应力分量满足$\sigma_{z}=\tau_{xz}=\tau_{yz}=0$，所以选A。3.按应力求解平面问题时，应力分量除了要满足平衡微分方程外，还要满足（）。A.几何方程B.物理方程C.相容方程D.边界条件答案：C。按应力求解平面问题时，应力分量要满足平衡微分方程和相容方程，同时要满足边界条件，这里问的是除平衡微分方程外还需满足的，所以是相容方程，选C。4.对于极坐标中的轴对称问题，其应力分量与（）无关。A.$\rho$B.$\varphi$C.以上都无关D.以上都有关答案：B。在极坐标中的轴对称问题，由于结构和载荷都关于对称轴（极轴）对称，所以应力分量与极角$\varphi$无关，只与极径$\rho$有关，选B。5.圣维南原理是指（）。A.边界上的面力可以用静力等效的力系来代替，而不影响弹性体内部的应力分布B.边界上的面力可以用静力等效的力系来代替，而不影响弹性体内部的应力和应变分布C.边界上的面力可以用静力等效的力系来代替，只在近处有显著影响，在远处影响可以忽略不计D.边界上的面力可以用静力等效的力系来代替，只在远处有显著影响，在近处影响可以忽略不计答案：C。圣维南原理指出，如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计，选C。二、填空题（每题3分，共15分）1.弹性力学的基本假定有连续性、________、均匀性、各向同性和小变形假定。答案：完全弹性。弹性力学中，完全弹性假定是指物体在受力后产生变形，当外力去除后能完全恢复到原来的形状和尺寸，没有残余变形，结合连续性、均匀性、各向同性和小变形假定构成弹性力学的基本假定。2.平面问题分为平面应力问题和________问题。答案：平面应变。平面应力问题和平面应变问题是弹性力学平面问题的两种基本类型，平面应力问题适用于薄板，平面应变问题适用于长柱体。3.几何方程表示的是________与位移分量之间的关系。答案：应变分量。几何方程描述了物体内一点的应变分量（线应变和角应变）与位移分量（沿坐标轴方向的位移）之间的关系，例如在直角坐标系中，$\varepsilon_{x}=\frac{\partialu}{\partialx}$等。4.物理方程又称________，它建立了应力分量与应变分量之间的关系。答案：本构方程。物理方程反映了材料的力学性能，通过它可以根据应力求应变，或者根据应变求应力，它是联系应力和应变的桥梁，也称为本构方程。5.在极坐标中，平衡微分方程为$\frac{\partial\sigma_{\rho}}{\partial\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\tau_{\rho\varphi}}{\partial\varphi}+\frac{\sigma_{\rho}\sigma_{\varphi}}{\rho}+f_{\rho}=0$和________。答案：$\frac{\partial\tau_{\rho\varphi}}{\partial\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\sigma_{\varphi}}{\partial\varphi}+\frac{2\tau_{\rho\varphi}}{\rho}+f_{\varphi}=0$。这是极坐标下的平衡微分方程的完整形式，它是根据微元体的平衡条件推导出来的，反映了极坐标下应力分量和体力分量之间的平衡关系。三、简答题（每题10分，共30分）1.简述弹性力学与材料力学的主要区别。答案：研究对象方面：材料力学主要研究杆状构件，也就是长度远大于宽度和高度的构件，如梁、柱等；而弹性力学除了研究杆状构件外，还研究板、壳以及三维实体等更广泛的物体。研究方法方面：材料力学在研究时通常采用一些假设，如平面假设等，使问题得到简化；弹性力学则从更基本的力学原理出发，不做过多的简化假设，基于严格的数学推导来分析问题。研究结果的精确程度方面：由于材料力学做了较多假设，其研究结果是近似的；弹性力学的研究结果相对更精确，能更准确地反映物体内部的应力和应变分布。适用范围方面：材料力学适用于一些简单的工程问题，当构件的形状和受力情况较为复杂时，其结果可能误差较大；弹性力学适用于更复杂的工程问题，能处理各种形状和受力条件下的物体力学分析。2.简述按位移求解平面问题的基本思路。答案：按位移求解平面问题的基本思路如下：首先选择位移分量作为基本未知函数。在平面问题中，通常选择沿$x$和$y$方向的位移分量$u$和$v$作为基本未知量。然后通过几何方程，将应变分量用位移分量表示出来。几何方程建立了应变与位移之间的关系，如$\varepsilon_{x}=\frac{\partialu}{\partialx}$，$\varepsilon_{y}=\frac{\partialv}{\partialy}$，$\gamma_{xy}=\frac{\partialu}{\partialy}+\frac{\partialv}{\partialx}$。接着利用物理方程，将应力分量用应变分量表示，再进一步用位移分量表示。物理方程反映了应力和应变之间的关系，如在平面应力问题中，$\sigma_{x}=\frac{E}{1\mu^{2}}(\varepsilon_{x}+\mu\varepsilon_{y})$等。把表示应力分量的位移表达式代入平衡微分方程，得到以位移分量为未知量的平衡微分方程，称为拉梅方程。最后求解拉梅方程，得到位移分量。在求解过程中，需要结合边界条件来确定积分常数。得到位移分量后，再通过几何方程和物理方程求出应变分量和应力分量。3.简述圣维南原理的应用意义。答案：圣维南原理具有重要的应用意义：在工程实际中，很多情况下物体边界上的面力分布是复杂的，难以精确确定。根据圣维南原理，可以用静力等效的简单力系来代替复杂的面力分布，从而简化边界条件，使问题更容易求解。对于一些局部受力情况，当我们只关心物体内部远离受力区域的应力和应变分布时，不需要精确考虑局部的面力分布细节，只需保证静力等效即可。这样可以大大减少计算工作量，提高计算效率。圣维南原理为弹性力学问题的近似求解提供了理论依据。在很多实际问题中，我们可以通过合理应用圣维南原理，在保证一定精度的前提下，采用更简单的方法来分析问题，使弹性力学理论更好地应用于工程实践。四、计算题（每题20分，共40分）1.已知平面应力状态下的应力分量为$\sigma_{x}=x^{2}+2y$，$\sigma_{y}=y^{2}$，$\tau_{xy}=xy$，试求该点的主应力和主方向。解：首先根据主应力的计算公式$\sigma^{2}(\sigma_{x}+\sigma_{y})\sigma+(\sigma_{x}\sigma_{y}\tau_{xy}^{2})=0$。已知$\sigma_{x}=x^{2}+2y$，$\sigma_{y}=y^{2}$，$\tau_{xy}=xy$，代入上式可得：$\sigma^{2}(x^{2}+2y+y^{2})\sigma+((x^{2}+2y)y^{2}(xy)^{2})=0$$\sigma^{2}(x^{2}+y^{2}+2y)\sigma+(x^{2}y^{2}+2y^{3}x^{2}y^{2})=0$$\sigma^{2}(x^{2}+y^{2}+2y)\sigma+2y^{3}=0$然后根据一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$（这里$a=1$，$b=(x^{2}+y^{2}+2y)$，$c=2y^{3}$）的求根公式$\sigma=\frac{b\pm\sqrt{b^{2}4ac}}{2a}$，可得：$\sigma_{1,2}=\frac{(x^{2}+y^{2}+2y)\pm\sqrt{(x^{2}+y^{2}+2y)^{2}8y^{3}}}{2}$接下来求主方向。主方向的计算公式为$\tan2\alpha=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_{x}\sigma_{y}}$。将$\sigma_{x}=x^{2}+2y$，$\sigma_{y}=y^{2}$，$\tau_{xy}=xy$代入可得：$\tan2\alpha=\frac{2xy}{x^{2}+2yy^{2}}$解得$2\alpha=\arctan(\frac{2xy}{x^{2}+2yy^{2}})+k\pi$（$k=0,1$），则$\alpha=\frac{1}{2}\arctan(\frac{2xy}{x^{2}+2yy^{2}})+\frac{k\pi}{2}$（$k=0,1$）。2.设有一厚度为$t$的矩形薄板，在$x=\pma$的边界上受均匀分布的拉力$q$作用，在$y=\pmb$的边界上不受力，试求板内的应力分量。解：首先假设应力分量的形式。由于问题的对称性和受力特点，我们假设$\sigma_{x}=q$，$\sigma_{y}=0$，$\tau_{xy}=0$。然后验证这些应力分量是否满足平衡微分方程。平面问题的平衡微分方程为$\frac{\partial\sigma_{x}}{\partialx}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partialy}+f_{x}=0$和$\frac{\partial\tau_{xy}}{\partialx}+\frac{\partial\sigma_{y}}{\partialy}+f_{y}=0$。对于$\sigma_{x}=q$，$\sigma_{y}=0$，$\tau_{xy}=0$，且假设体力$f_{x}=f_{y}=0$，则$\frac{\partial\sigma_{x}}{\partialx}=0$，$\frac{\partial\tau_{xy}}{\partialy}=0$，$\frac{\partial\tau_{xy}}{\partialx}=0$，$\frac{\partial\sigma_{y}}{\partialy}=0$，显然满足平衡微分方程。接着验证是否满足相容方程。在平面应力问题中，相容方程为$\left(\frac{\partial^{2}}{\partialx^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partialy^{2}}\right)(\sigma_{x}+\sigma_{y})=(1+\mu)\left(\frac{\partialf_{x}}{\partialx}+\frac{\partialf_{y}}{\partialy}\right)$。因为$\sigma_{x}=q$，$\sigma_{y}=0$，$f_{x}=f_{y}=0$，所以$\left(\frac{\partial^{2}}{\partialx^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partialy^{2}}\right)(\sigma_{x}+\sigma_{y})=\frac{\partial^{2}q}{\partialx^{2}}+\frac{\partial^{2}0}{\partialy^{2}}=