高三数学一轮复习三角函数解三角形（复习讲义）第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

2026届高三数学一轮复习三角函数、解三角形（复习讲义）第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式【考试要求】理解同角三角函数的基本关系式：sin2α+能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α【命题规律】考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合，可起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力。基础知识：1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：eq\o(□,\s\up1(1))sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：sinαcosα＝tanαα≠π注意：平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠2．三角函数的诱导公式公式角正弦余弦正切一2kπ＋α(k∈Z)sinαcosαtanα二－αeq\o(□,\s\up1(2))－sinαeq\o(□,\s\up1(3))cosαeq\o(□,\s\up1(4))－tanα三π＋αeq\o(□,\s\up1(5))－sinαeq\o(□,\s\up1(6))－cosαeq\o(□,\s\up1(7))tanα四π－αeq\o(□,\s\up1(8))sinαeq\o(□,\s\up1(9))－cosαeq\o(□,\s\up1(10))－tanα五eq\f(π,2)－αeq\o(□,\s\up1(11))cosαeq\o(□,\s\up1(12))sinα1六eq\f(π,2)＋αeq\o(□,\s\up1(13))cosαeq\o(□,\s\up1(14))－sinα－1注意：诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限。“奇”“偶”指的是“k⋅π2+αk∈Z”中的k是奇数还是偶数。“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若类型一同角三角函数的基本关系1.已知α∈0,π,cosα=−A.34B.−34C.43[解析]因为cosα=−35且α∈2.已知角α是第二象限角，且满足sin5π2+A.3B.−3C.−33[解析]由sin5π2+α+3cosα3.已知sinπ2+θ+A.15B.25C.35[解析]由已知sinπ2+4.已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4A.−23B.23C.13[解析]因为θ是第三象限角，所以sinθ<0,cosθ<0,故sinθcos5.已知α是三角形的内角，且tanα=−13，则[解析]由tanα=−13，得sinα=−13cosα，将其代入sin2α+6.已知tanαsinα−3cos解（1）由已知得tanα=12，（2）sin2α7.已知x∈−π,0（1）求sinx（2）求sin解（1）由sinx+cosx=1整理得2sinxcos由x∈−π,0，知sinx<0，又sinx+cos故sinx−cos（2）sin2x+2sin8.若θ∈0，π2，tanθ＝12，则sinθ－cos解析：因为θ∈0，π2，则sinθ＞0，cosθ＞0，又tanθ则cosθ＝2sinθ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝55或sinθ＝－55(舍去)，所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－答案：－59.若tan(α－π)＝2，则1−A．－13B．－3C．13解析：A由tan(α－π)＝2，得tanα＝2，则1−10.已知3sinθ+π2＋sin(θ＋π)＝0，且θ∈(－π，0)，则sinA．－31010B．－1010C．310解析：A由3sinθ+π2＋sin(θ＋π)＝0，得3cosθ－sin又θ∈(－π，0)，且sin2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝－31011.已知sinα＋cosα＝2，则tanα＋cosαA．－1B．－2C．12解析：D∵sinα＋cosα＝2，∴sinαcosα＝12，∴tanα＋cos12.已知sinαcosα＝38，且π4<α<π2，则cosαA．12B．±12C．－14解析：D∵sinαcosα＝38∴(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×38∵π4<α<π2，∴cosα<sinα，则cosα－sinα<0，∴cosα－sinα＝－13.(多选题)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15A．sinθ＝45 B．cosθ＝－C．tanθ＝－34 D．sinθ－cosθ＝解析：ABD由题意知sinθ＋cosθ＝15，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝1∵2sinθcosθ＝－2425<0，又∵θ∈(0，π)，∴π2<θ<π，∴sinθ－cos∴sinθ－cosθ＝1−2sinθcos∴sinθ＝45，cosθ＝－35.∴tanθ＝－43反思总结1.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．3.化简的式子中同时出现正弦、余弦、正切时，一般利用公式tanα＝sinα4.利用平方关系求值时，要注意角所在象限，以免出现函数值的符号错误．5.形如asinx+bcosxcsinx+dcosx，asin2x＋类型二诱导公式的应用1．已知sinx−π3＝3A．35B．45C．－35解析：C因为sinx−π3＝35，所以cosx+π6＝cos2．已知a＝tan−7π6，b＝cos23π4，c＝sin−25πA．b>a>cB．a>b>cC．b>c>aD．a>c>b解析：Aa＝tan−π6＝－tanb＝cos6π−π4＝cosc＝sin−6π−π4由a2<c2，知a>c，从而b>a>c.3．已知sinα＝12，则cosα−π2sin5π2+α·sin(解析：原式＝cosπ2−αsin2π+π2＝sinαcosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α答案：－14．若P(cosθ，sinθ)与Q(cosθ+π6，sin(θ+π6))解析：由于点P与Q关于y轴对称．所以sinθ＝sinθ+π6，且cosθ＝－cos由诱导公式sinθ＝sin(π－θ)，cosθ＝－cos(π－θ)，所以θ＋π6＝π－θ，解得θ＝5则符合题意的θ值可以为5π答案：5π5.化简：sin−α−[解析]原式=cos6.已知sinα+π12=13，则cos[解析]cosα+77.已知角α的终边过点P−7,24，则A.−4825B.4825C.0[解析]因为角α的终边过点P−7,24，所以8.已知cos2π3+A.13B.79C.−13[解析]sinπ9.已知A=sinkπ+A.{1,−1,2,−2}B.{−1[解析]当k为偶数时，A=sinαsinα反思总结1．诱导公式的两个应用口诀(1)求值：负化正，大化小，化到锐角就终了．(2)化简：统一角，统一名，同角名少目的到．2．(1)灵活使用诱导公式的关键是“奇变偶不变，符号看象限”．(2)常见的互余和互补的角①互余的角：π3－α与π6＋α；π4＋α与π②互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与类型三同角关系式和诱导公式的综合应用1.已知sin3π2−α＋cos(π－α)＝sinα，则2sin2α－sinA．2110B．32C．32解析：D∵sinα＝sin3π2−α＋cos(π－α)，∴sinα＝－2cos因此2sin2α－sinαcosα＝2sin2.已知α是第三象限角，且cosα＝－1010.则cosπ−解析：∵α是第三象限角，且cosα＝－1010∴sinα＝－1−cos2α＝答案：13.已知sinα＋cosα＝－15，且π2<α<π，则1sin解析：由sinα＋cosα＝－15，平方化简得sinαcosα＝－12∵π2<α<π，∴sinα－cosα>0.又(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝49∴sinα－cosα＝75，∴1sinπ答案：354.已知tanα=3解：因为tanα=3,sin2α5.若3sinα+cosαA.103B.53C.23[解析]由3sinα=−cosα6.已知sinθ+cosθ=713,[解析]因为sinθ+cosθ=713,所以sinθ+cosθ2=7.已知sinα−cosα=2,α[解析]解法一：由sinα−cosα=2,sin2α+cos2α解法二：因为sinα−cosα=2，所以sinα−cosα2=2，得sin8.化简sinnπ+[解析]①当n=2kk∈Z②当n=2k+=−sinα−cos反思总结1．利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．2．运用两类公式解题，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程．注意角的范围对三角函数值符号的影响．基础通关练（测试时间：15分钟）1．若α是第四象限角，tanα＝－512，则sinαA．15B．－14C．513解析：D因为tanα＝sinαcosα＝−512，sin2α＋cos因为α是第四象限角，所以sinα＝－5132．(多选题)已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中成立的是()A．sinθ<0B．sinθ>0C．cosθ>0D．cosθ<0解析：BD∵sin(θ＋π)＝－sinθ<0，∴sinθ>0，知B正确．又cos(θ－π)＝－cosθ>0，∴cosθ<0，知D正确．3．若cos2α＝1＋2cosα，则sin2α＋sin4α的值为()A．5－1B．5−12C．1解析：C由cos2α＝1＋2cosα得－2sin2α＝2cosα.∴sin2α＝－cosα，所以sin2α＋sin4α＝－cosα＋cos2α＝1.4．已知tanα＝－3，则sin3αA．－34B．34C．310解析：C原式＝sin3α−sinαcosα＝sin5．已知sinα＋cosα＝－2，则tanα＋1tanA．2B．12C．－2D．－解析：A由已知得1＋2sinαcosα＝2，∴sinαcosα＝12∴tanα＋1tanα＝sin6．已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线2x＋y＋3＝0平行，则sinαA．－2B．－14C．2解析：D因为角α的终边与直线2x＋y＋3＝0平行，即角α的终边在直线y＝－2x上，所以tanα＝－2.所以sinα7．已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝()A．53B．23C．13解析：A由3cos2α－8cosα＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝－23或cosα＝2(舍去)．又因为α∈(0，π所以sinα＝1−cos2重难突破练（测试时间：10分钟）1．(多选题)给出下列四个结论，其中正确的结论是()A．sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是角α是锐角B．若cos(nπ－α)＝13(n∈Z)，则cosα＝C．若α≠kπ2(k∈Z)，则tanπD．若sinα＋cosα＝1，则sinnα＋cosnα＝1解析：CDsin(π＋α)＝－sinα对α∈R恒成立，A错误．当n＝2k＋1(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos(π－α)＝－cosα，所以－cosα＝13，则cosα＝－1当α≠kπ2(k∈Z)时，tanπ2若sinα＋cosα＝1，则sinαcosα＝0，所以sinα与cosα有一个为0.若sinα＝0，则cosα＝1，此时sinnα＋cosnα＝1；若cosα＝0，则sinα＝1，此时sinnα＋cosnα＝1，故sinnα＋cosnα＝1，所以D正确．2．已知cosπ6−α＝13，则cos5π6+α解析：cos5π6+α＝cosπ−πsin2π3−α＝sin[π2＋π答案：－13．已知θ为三角形的内角，且sin2θ＝sin2θ，则sinθ1−解析：因为θ为三角形的内角，sinθ≠0，且sin2θ＝sin2θ，所以2cosθ＝sinθ，所以tanθ＝2，所以sin2θ＋cos2θ＝4cos2θ＋cos2θ＝5cos2θ＝1，可得cos2θ＝15则sinθ答案：84．已知sinαcosα＝18，且5π4<α<3π2，则cosα解析：∵5π4<α<3π2，∴cosα<0，sinα<0且cos∴cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34，∴cosα－sin答案：35.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈π6，π3，则cos解析：因为α与β的终边关于原点对称，所以β＝2kπ＋π＋α(k∈Z)，所以cosβ＝cos(2kπ＋π＋α)＝－cosα.因为α∈π6，π3，所以cosα∈12，32，所以cos答案：－1综合拓展练（测试时间：15分钟）1．(多选题)已知tanθ＝2，则下列结论正确的是()A．tan(π－θ)＝－2B．tan(π＋θ)＝－2C．sinθ−3cosθ解析：ACD由诱导公式，tan(π－θ)＝－