中心对称图案设计

23.2&23.3中心对称图案设计【考点归纳】【知识梳理】知识点一．中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）．技巧：轴对称与中心对称的区别轴对称：两个图形关于一条直线对称，沿该直线翻折，两图形重合；关于一条直线对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分．中心对称：两个图形关于一点对称，沿该点旋转180°，两个图形重合，关于一点对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分．知识点二．关于中心对称的图形的性质（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；（3）关于中心对称的两个图形是全等图形．技巧：．确定对称中心的方法（1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点是对称中心．（2）连接任意两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心．知识点三．利用尺规作关于中心对称的图形这类问题应首先明确对称中心的位置，再利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性，分别找出原图形中各个关键点的对应点，最后按原图形中各点的次序，将各对应点连接起来．知识点四．中点对称图形把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是对称中心．知识点四．关于原点对称的点的坐标特征两个点关于原点对称时，它们的坐标符合相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（–x，–y）．知识点五．图案设计图案的设计与日常生活息息相关，通常是利用基本图形的变换来完成设计工作．图形之间基本变换关系有轴对称、平移、旋转这三种基本形式，也有很多图形的形成是经过n次变换复合而成的，其复合形式灵活多样，我们可以根据各自的审美情趣，创造出各种各样的图案．技巧：利用基本图案进行组合设计几个基本图案组合在一起，可能形成一个复合型图案，我们还可以进行多次变换，设计出较大型美丽图案．【题型探究】题型一：中心对称的判断【答案】D【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点；熟练掌握相关概念是解题的关键．故选：D．【变式1】．（2025·山东威海·一模）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了中心对称，根据中心对称的定义逐项分析即可得解，熟练掌握中心对称的定义是解此题的关键．故选：A．【答案】A【分析】本题考查了中心对称，根据正方形的性质和中心对称的定义即可得出答案．故选：A．题型二：画中心对称图形【答案】详见解析(3)若点在第二象限，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则的坐标为_____．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）分别作点、、关于原点成中心对称的点、、，并依次连接即可；（2）利用分割法求三角形面积即可；（3）根据平行四边形的性质，利用平移法即可解决问题；本题考查作图旋转变换，平移变换，平行四边形的性质，熟练掌握平移或旋转前后点的坐标的变化关系是解题的关键．【详解】（1）解：如图，【答案】(1)画图见解析【分析】本题考查的是画中心对称图形，画旋转图形．题型三、中心对称的性质求解【答案】(1)；(2)证明见解析；(4)．【分析】（1）根据勾股定理求出的长度，再根据平行四边形面积公式即可求解；故答案为：；（2）证明：∵点，点关于点的对称，∵点，点关于点的对称，故答案为：．【答案】13故答案为：13【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（2）利用勾股定理求出，再利用面积法求出，利用勾股定理求即可．（2）解：连接，题型四、判断中心对称图形【例4】．（2526九年级上·全国·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别.熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．【变式1】．（2526九年级上·四川成都·阶段练习）下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（

）【答案】C【分析】本题考查了轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据轴对称图形的意义，中心对称图形的意义，对四个图形逐一分析，再作判断．【详解】故选：C．【变式2】．（2526九年级上·安徽阜阳·期中）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）．【答案】B【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选：B．题型五、中心对称图形的对称中心【答案】A故选：A．A．点 B．点 C．点 D．点【答案】A【分析】本题考查了中心对称，根据A、D两点到M的距离相等且三点在一条直线上，B、E两点到M都是的网格且三点在一条直线上，C、F两点到M都是的网格且三点在一条直线上，可得对称中心是点M．【详解】解：如图，故选：A．【答案】A【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，勾股定理，根据中心对称图形对应点连线的中点即为对称中心所在的位置，得到点E即为的中点，根据两点中点坐标公式即可得到答案．【详解】解：∵中心对称图形对应点连线的中点即为对称中心所在的位置，∴点E即为的中点，故选A题型六：中心对称图形的规律问题【答案】D，重合，故选：D．【答案】D故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质、中心对称图形的性质、旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是利用勾股定理求出点的坐标，再根据旋转的性质和中心对称的性质求出旋转次后点到达的位置的坐标．【答案】B【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标．∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环，故选：B．题型七、关于原点对称的点的坐标问题【答案】A【分析】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，掌握关于原点对称的性质是解决本题的关键．根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数求解即可．故选A．A．8 B． C． D．11【答案】C【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数．故选：C．【答案】B【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均为相反数，进而求出的值，再根据有理数的乘方法则进行计算即可．故选B．题型八、图案设计【例8】．（2526九年级上·全国）如图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（

）A．旋转 B．轴对称 C．轴对称和旋转 D．平移【答案】D【分析】本题主要考查了几何变换的类型，熟知旋转、轴对称、平移的定义和性质是解题的关键．观察时紧扣图形变换特点，认真判断即可．【详解】解：平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察图形结合上述知识可知，该图案不包含的变换是平移．故选：D【变式1】．（2526九年级上·全国）下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到如图所示的图案的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了平移、旋转和轴对称变换作图的知识，掌握各种图形变换是解题的关键．根据平移、旋转和轴对称变换的定义和性质，逐一分析每个选项即可．【详解】解：A、经过平移即可得出原图；B、经过一次平移，再绕顶点顺时针旋转，逆时针旋转即可得出原图案；C、经过平移、旋转或轴对称变换后，都不能得到原图形；D、绕顶点旋转即可得出该图案．故选：C【变式2】．（2025·江苏淮安·一模）如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（

）A．①③ B．①② C．②③ D．①②③【答案】A【分析】本题考查了图形的变换，掌握旋转、平移、轴对称的性质是关键．根据图形变换，数形结合分析即可判定．【详解】解：根据题意，其中一条“鱼”经过1次旋转可以与另一条“鱼”重合，或者其中一条“鱼”沿着对称轴折叠，再沿着对称轴折叠可以与另一条“鱼”重合，∴经过①③的变换即可，故选：A．题型九：中心对称综合问题(3)在直角坐标系坐标轴上是否存在点P，使得以，，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析（3）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则点即为所求．故答案为：；【高分演练】一、单选题A．3 B．2 C． D．【答案】C故选：C．2．（2526九年级上·云南昆明·阶段练习）下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（）【答案】B【分析】本题考查了旋转变换，熟练掌握旋转变换的特点是解题的关键．根据图形变换的特点，对选项逐个分析判断即可．【详解】解：A、变换方式是平移，不符合题意；B、变换方式是旋转，符合题意；C、变换方式是轴对称，不符合题意，D、变换方式不是旋转，不符合题意．故选：B．3．（2324九年级上·广西梧州·期末）下列图形中既是能利用轴对称，又能利用旋转得到的图形是（

）【答案】D【分析】本题考查了轴对称图形与旋转对称图形的识别，掌握这两个概念是解题的关键；根据轴对称图形与旋转对称图形的概念判断即可．【详解】解：A、只能利用轴对称得到图形，不能利用旋转得到图形，故不符合题意；B、不能利用轴对称得到图形，只能利用旋转得到图形，故不符合题意；C、不能利用轴对称得到图形，能利用旋转得到图形，故不符合题意；D、能利用轴对称得到图形，又能利用旋转得到图形，故符合题意；故选：D．4．（2425九年级上·安徽淮北·自主招生）能用来证明勾股定理的“赵爽弦图”曾作为2002年在我国举行的第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（

）A．是轴对称图形 B．是中心对称图形C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形【答案】B根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．【详解】故选：B【答案】D【分析】本题主要考查了中心对称的性质，解题的关键是掌握中心对称的性质．根据中心对称的性质进行求解即可．故选项A，C正确，故选项B正确．故选：D．A．1 B． C．8 D．【答案】A【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，求代数式的值，熟练掌握关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的特征，分别列出关于的方程，求出的值即可求解．故选：A．【答案】D故选：D．A．2 B．1.75 C．1.5 D．1.25【答案】B【详解】解：连接，，故选B．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】A①②③正确，④错误，故选：A【答案】B【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质解答即可，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质．故选：B．【答案】D故选：D．二、填空题12．（2526九年级上·全国·课后作业）如图所示的是某公司商品标志图案，有下列说法：①图案是按轴对称设计的；②图案是按旋转设计的；③图案的外层“S”是按旋转设计的；④图案的内层“A”是按轴对称设计的．其中正确的是（填序号）．【答案】③④【分析】此题主要考查了轴对称图形的性质以及旋转图形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键.利用轴对称图形的性质以及旋转的性质分别分析得出答案即可.【详解】根据图形的特殊性可以得出，内层图案是按轴对称设计的，外层图案是按旋转设计的，说法①②错误，说法③④正确．故答案为：③④.【答案】【详解】解：点、分别是、的中点，故答案为：．【答案】【分析】本题考查了直角坐标系中点关于原点对称，解决本题的关键是熟练掌握点关于原点对称的性质．根据点关于原点对称，则对应坐标互为相反数，再由乘方运算计算即可．故答案为：．【答案】①②③【分析】本题考查中心对称图形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质．解题的关键是根据描述，正确地画图，熟练掌握相关知识点．根据描述，作图，逐一进行判断即可；【详解】解：①如图：点与点关于点中心对称；故①正确；②如图：∴是线段的垂直平分线，∴经过的中点，③如图，点到的距离为，点到的距离为，∴点，到线段的距离相等，故③正确；综上，正确的有①②③；故答案为：①②③．【答案】∵曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，，故答案为：．三、解答题【答案】(1)作图见详解(2)作图见详解（3）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，由动点最值问题将军饮马模型可得，点即为所求，从而得出答案．【