专题15二次函数与一元二次方程不等式（举一反三讲义）（原卷版）

专题1.5二次函数与一元二次方程、不等式（举一反三讲义）【全国通用】TOC\o"13"\h\u【题型1不含参一元二次不等式的求解】 3【题型2含参一元二次不等式的求解】 3【题型3由一元二次不等式的解确定参数】 4【题型4分式、高次、绝对值不等式的求解】 4【题型5一元二次不等式根的分布问题】 5【题型6二次函数的单调性、最值及图象问题】 5【题型7一元二次不等式恒成立问题】 6【题型8一元二次不等式有解问题】 7【题型9一元二次不等式的实际应用】 71、二次函数与一元二次方程、不等式考点要求真题统计考情分析(1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式(2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式(3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法2023年新高考I卷：第1题，5分2025年全国二卷：第4题，5分2025年天津卷：第15题，5分2025年上海卷：第2题，4分一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年高考情况来看，解不等式、三个“二次”的关系是常考内容，高考中主要以选择题、填空题的形式呈现，难度不大；此外，“含参不等式恒成立与能成立问题”也是常考的热点内容，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.知识点一元二次不等式1．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．2．分式、高次、绝对值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步骤：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步骤：高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.(3)解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.3．一元二次不等式恒成立、存在性问题【方法技巧与总结】【题型1不含参一元二次不等式的求解】【例1】（2025·天津·模拟预测）已知p:x2+2x−3<0，q:x2+x−2<0，则p是A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【变式11】（2324高一上·山东济宁·阶段练习）不等式x−23−2x≥0的解集为（A．xx>32C．xx≤32【变式12】（2025·江西上饶·一模）已知集合M=xx2−6x−7<0，N=x2x>a，若A．−∞,14 B．−∞,14 C．【变式13】（2025·河北·模拟预测）已知集合A=xx2<1，B=x2a<x<2a+1，若“t∈B”是“A．−12,0 B．−12,0【题型2含参一元二次不等式的求解】【例2】（2025高一上·河北保定·专题练习）若0<t<1，则关于x的不等式(x−t)(x−1t)<0A．{x|1t<x<t}C．{x|x<1t或【变式21】（2425高一上·上海金山·期末）当0<a<1时，关于x的不等式x−31−ax+a−3A．−∞,a−3C．3,a−3a−1 【变式22】（2425高一上·广东汕头·期末）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式ax−1x+1<0的解集可能是（A．x−1<x<1a B．xx≠1 C．【变式23】（2425高一上·陕西渭南·阶段练习）关于x的不等式ax2+2a−1x−2>0A．−∞,−2 C．−∞,−2∪【题型3由一元二次不等式的解确定参数】【例3】（2425高二下·江苏无锡·阶段练习）不等式x2−ax−b<0的解集是x|1<x<3，则bxA．x|−3<x<−1 B．x|−1<x<−C．xx<−3或x>−1 D．xx<−1【变式31】（2026高三·全国·专题练习）若关于x的不等式x2−m+3x+3m<0的解集中恰有3个整数，则实数A．(6,7] B．[−1,0) C．−1,0∪6,7 【变式32】（2425高一上·云南昭通·期中）已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x∣x<−1或x>3}A．a>0B．c<0C．a+b+c>0D．cx2【变式33】（2025·福建南平·二模）关于t的实系数二次不等式t2+b−1t+a<0的解集为−2,−1，若ax−bA．12 B．2 C．2 D．【题型4分式、高次、绝对值不等式的求解】【例4】（2025·全国二卷·高考真题）不等式x−4x−1≥2的解集是（A．{x∣−2≤x≤1} B．{x∣x≤−2}C．{x∣−2≤x<1} D．{x∣x>1}【变式41】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知集合A=x∈Z−2≤x≤4，B=x6x+1A．x−1≤x≤4 B．−1,0,1,2,3,4 C．0,1,2,3,4 D．【变式42】（2025·上海·高考真题）不等式x−1x−3<0的解集为【变式43】（2025·上海崇明·二模）不等式|x−1|<2的解为．【题型5一元二次不等式根的分布问题】【例5】（2425高一上·浙江·期中）关于x的方程x2+a−2x+5−a=0有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数A．{a|a<−5或a>−4} B．aC．aa<−5 D．【变式51】（2425高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程x2+m−2A．{m−5<m≤−4或m≥4} B．C．m−5<m≤−4 D．{m−5<m<−4【变式52】（2425高三上·四川·阶段练习）若关于x的方程x2−2ax+a+2=0在区间−2,1上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（A．−65,−1C．−∞,−6【变式53】（2425高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程ax2+4x+1=0A．0<a≤4 B．a≤0 C．a<4 D．a≤4【题型6二次函数的单调性、最值及图象问题】【例6】（2425高一下·云南迪庆·期末）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)A．abc>0 B．b=2aC．3a+c<0 D．b【变式61】（2425高一上·陕西西安·期末）若函数fx=ax2−2x+4在区间1,3A．13,1 B．−1,−13 C．【变式62】（2425高一上·北京·开学考试）已知二次函数y=mx2−2mx（m为常数），当−1≤x≤2时，函数值y的最小值为−2A．−2 B．1 C．2或−23 【变式63】（2025·陕西汉中·三模）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分.“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大.收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最小的线路是（

）A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q【题型7一元二次不等式恒成立问题】【例7】（2025·浙江·模拟预测）若不等式kx2+k−6x+2>0A．2≤k≤18 B．−18<k<−2C．2<k<18 D．0<k<2【变式71】（2425高一下·贵州·期中）若不等式mx2+mx−4<2x2+2x对任意实数A．−2,2 B．−14,2 C．−∞,−2∪【变式72】（2425高三上·山西·阶段练习）若命题p:∃x∈−2,2，使得x2−2x−m2A．−∞,1∪C．−∞,−4∪【变式73】（2425高三上·河南许昌·期中）∀x∈−2,+∞，x2+4−aA．3 B．3 C．23 【题型8一元二次不等式有解问题】【例8】（2425高一上·北京·期中）已知存在x∈0,1，使得x2−4x≥m2A．0,1 B．1,3 C．0,4 D．0,+【变式81】（2425高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于x的不等式x2−(a+2)x+2a<0有解是“a>2”的（A．充要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件【变式82】（2025·河南·模拟预测）已知命题“∃x0∈−1,1，−xA．−∞,−2 B．−∞,4 C．【变式83】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数x，使得mx2−m−2x+m<0A．−∞,2 C．−∞,2【题型9一元二次不等式的实际应用】【例9】（2425高一上·广东肇庆·阶段练习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A．10,20 B．15,20 C．16,20 D．15,25【变式91】（2025高二下·湖北·学业考试）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度ℎ（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式ℎ=v0t−12gt2，其中A．1.8s B．2.8s C．3.8s D．4.8s【变式92】（2425高一上·云南·期末）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度ℎ与时间t满足关系ℎ=v0t−12gt2，其中A．1.6s B．1.7s C．1.8s【变式93】（2425高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元（1≤x≤10，x∈Z），则被租出的客房会减少15x套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（

）A．250元 B．260元 C．270元 D．280元一、单选题1．（2025·甘肃白银·模拟预测）使不等式x2+3≤4x成立的一个充分不必要条件为（A．1≤x≤3 B．0≤x≤3 C．x>3 D．1<x<32．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于x的不等式ax2+bx−2>0的解集是1a,−2A．−∞,−1C．−12,03．（2025·重庆·一模）已知a∈R，则“x2+2x+a>0的解集为R”是“a>0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式x2−3x<2−2xA．−1,12 B．−12,15．（2025·陕西渭南·二模）若关于x的不等式2ax2−4x<ax−2有且只有一个整数解，则实数aA．1,2 B．[1,2) C．0,2 D．0,26．（2024·山西·模拟预测）已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(−4,+∞)，则关于x的不等式bxA．−14,0C．0,14 7．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数fx=xA．fx的图象恒过点0,0 B．fx的图象必与C．fx的最小值可能为−2 D．fx8．（2024·北京朝阳·模拟预测）定义区间m,n(m<n)的长度为n−m，设k>0，若对于任意a≠b，不等式1x−a+A．1 B．12 C．2 二、多选题9．（2425高一上·广东广州·期末）使不等式2kx2+kx−38A．k=0 B．k=1 C．k=−1 D．−3<k<010．（2425高一上·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为xx<−2或x>3，则下列说法正确的是A．a<0B．ax+c>0的解集为{x|x>6}C．8a+4b+3c<0D．cx211．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．不等式4x2B．不等式2x2C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，则D．若关于x的不等式2x2+px−3<0的解集是q,1，则三、填空题12．（2025·上海·三模）不等式xx−2≤0的解集为13．（2024·辽宁·三模）若“∃x∈0,+∞，使x2−ax+4<0”是假命题，则实数a的取值范围为14．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式mx2+2mx−4<2x2+4x对任意x∈R都成立，则实数四、解答题15．（2024·山东·二模）已知fx是二次函数，且f(1)求fx(2)若x∈−1,5，求函数f16．（2025高一·全国·专题练习）已知x1、x2是关于x的方程x2(1)x1(2)x117．（2024·广东中山·模拟预测）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面