（人教A版）选择性必修三高中数学同步考点讲与练专题6.2 排列与组合（解析版）

专题6.3排列与组合（重难点题型精讲）1．排列(1)排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

(2)排列概念的理解

①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列.

②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同.

③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意.

(3)排列的判断

判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题.2．排列数(1)排列数定义

从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.

(2)排列数公式

=n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn.(3)排列数公式的理解

①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)种不同的排法.

②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数.3．全排列和阶乘(1)全排列

特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n，即有=n×(n-1)×(n-2)××3×2×1.

(2)阶乘

正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成=n!，规定0!=1.

(3)排列数公式的阶乘表示

==.4．组合(1)组合的定义

一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

(2)组合概念的理解

①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质.

②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.

(3)排列与组合的联系与区别

联系：都是从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素.

区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合.5．组合数与组合数公式(1)组合数

从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.

(2)组合数公式

①连乘表示：

==.

这里，n,m∈，并且mn.

②阶乘表示：=.

规定：=1.6．组合数的性质(1)性质1：=

这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素后，剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的.

利用这个性质，当m>时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算.

(2)性质2：=+

这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法.

由分类加法计数原理可得：=+.

在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等.

【题型1有关排列数的计算与证明】【方法点拨】解有关排列数的方程或不等式的步骤：转化：将有关排列数的方程或不等式转化为普通方程或不等式；求解：求转化后的普通方程或不等式解或解集；检验：代入原方程或原不等式中检验，尤其注意条件n,m∈，并且mn对未知数取值的限制.【例1】计算：(1)A6(2)解方程5A【解题思路】（1）根据排列数公式计算求解；（2）由排列数公式化简，解方程即可得解.【解答过程】(1)A6(2)∵5A4x=6A5化简得x2−11x+24=0，且x≤4，解得x=8（舍去）或所以方程的解为x|x=3．【变式1-1】（1）解不等式：3A（2）解方程：A2x+1【解题思路】（1）利用排列数公式后解不等式，求出x的范围，再由x∈N∗可求出（2）利用排列数公式化简计算即可【解答过程】（1）由题意得3x+2x+1+12x即2x−1x−3≤0，所以因为x≥2，且x∈N∗，所以不等式的解集为（2）易知2x+1≥4x≥3x∈N∗所以由A2x+14=140化简得4x2−35x+69⋅x−1=0，解得所以原方程的解为x=3．【变式1-2】解下列方程：(1)A2x+1(2)3A【解题思路】（1）（2）根据排列数公式化简解方程即可．【解答过程】(1)由排列数公式，原方程可化为(2x+1)×2x×(2x−1)×(2x−2)=140x(x−1)(x−2)，化简得4x2−35x+69x−1x=0，解得x=3或x=因为x满足2x+1≥4,2x+1∈所以x的取值范围为xx≥3,x∈N∗.所以原方程的解为x=3(2)由3A8x=4A化简得x2−19x+78=0，解得x1因为0<x≤8且0<x−1≤9，所以原方程的解为x=6．【变式1-3】解下列方程或不等式．(1)3(2)A【解题思路】（1）根据排列数的计算公式化简已知条件，由此求得方程的解.（2）根据排列数的计算公式化简已知条件，由此求得不等式的解集..【解答过程】（1）由于3A8x整理得x2−19x+78=0，解得x=6或（2）由于Ax−22+x≥2，所以x−2由于x−2≥2，所以x≥4，所以不等式的解集为x∈N【题型2有关组合数的计算与证明】【方法点拨】利用组合数公式以及组合数的性质，进行转化求解即可.【例2】（1）若C28x=（2）求C4【解题思路】（1）根据组合数的定义及组合数的性质1即可求解；（2）根据组合数的定义及组合数的性质2即可求解；【解答过程】（1）由C28x=C282x−8，得{x≤28实数x的值为8或12.（2）由组合数的性质知，C=C所以C43+【变式2-1】（1）求值：C（2）求关于n的不等式7C【解题思路】（1）根据题意可得3n≥38−n21+n≥3n（2）根据组合数的运算公式计算即可得出答案.【解答过程】解：（1）由C3n38−n+C21+n则C3n（2）不等式7Cn4>5C又因n≥6，所以关于n的不等式7Cn4【变式2-2】（1）已知1C5m（2）已知Cnx=Cn【解题思路】（1）（2）根据组合数公式及组合数的性质计算可得；【解答过程】解：（1）由1C5m即m!5−m可得1−6−m6=7−m6−m10×6，整理可得因为0≤m≤5，所以m=2，所以C=C（2）由Cnx=Cn2x可得所以Cnn3化简得11⋅n3+1⋅n3=3⋅【变式2-3】（1）求证：Cn（2）求证：Cn（3）若m、n、r均为正整数，试证明：Cn+m【解题思路】（1）直接根据组合数的计算公式计算得到证明.（2）直接根据组合数的计算公式计算得到证明.（3）构造数学模型证明：Cn+mr表示从n+m个不同元素中每次取【解答过程】（1）左式=C右式=m+1n−m⋅（2）因为Cnm−1=所以左边==C（3）构造数学模型证明：Cn+mr表示从n+m个不同元素中每次取将n+m个不同元素分为两组，其中A组n个元素，B组m个元素，从n+m个不同元素中每次取r个元素，可分类完成，依次为：A组取0个，B组取r个，有Cn0Cmr种取法；A组取1个，B组取r−1个，有Cn1Cm由加法原理知共有Cn所以Cn+m【题型3无限制条件的排列问题】【方法点拨】求解排列问题时，正确理解题意是最关键的一步，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语；正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理也是十分重要的；还要注意分类时不重不漏，分步时只有依次做完各个步骤，事情才算完成.【例3】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（

）A．60种 B．80种 C．100种 D．120种【解题思路】利用排列的定义直接列式求解.【解答过程】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共A6【变式3-1】从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（

）A．5 B．10 C．20 D．60【解题思路】计算从5个不同元素中取出2个元素的排列数即可.【解答过程】此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数，即共有A5【变式3-2】一个火车站有8股岔道，每股道只能停放1列火车，现需停放4列不同的火车，则不同的停放方法共有（

）A．84种 B．48种 C．C84种【解题思路】根据题意，分析可得即从8股中选4股进行排列即可.【解答过程】因为一个火车站有8股岔道，每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则有A8【变式3-3】从4名大学生中选三个人分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学分配1名大学生，不同的分配方法数为（

）A．120 B．24 C．48 D．6【解题思路】由题意即从4个不同元素中选出3个元素的排列问题，由排列的定义即可求解.【解答过程】从4名大学生中选三个人分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学分配1名大学生.则不同的分配方法数为A4【题型4有限制条件的排列问题】【方法点拨】在解有限制条件的排列应用题时，先分析限制条件有哪些，哪些是特殊元素，哪些是特殊位置，当限制条件较多时，要抓住关键条件(主要矛盾)，通过正确分类、分步，把复杂问题转化为基本问题.【例4】某同学有7本不同的书，其中语文书2本､英语书2本､数学书3本.现在该同学把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻､2本英语书相邻､3本数学书中任意2本不相邻，则不同的排法种数（

）A．12 B．24 C．48 D．720【解题思路】根据捆绑法、插空法进行排列计算即可得解.【解答过程】先将2本语文书看成一个元素，2本英语书看成一个元素，然后排成一排，有A2再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中，有A33种不同的排法，再排2本语文书，有A22种不同的排法，最后排2本英语书，有【变式4-1】五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫､商､角､徵､羽，如果将这五个音排成一排，宫､羽两个音不相邻，且位于角音的同侧，则不同的排列顺序有（

）A．20种 B．24种 C．32种 D．48种【解题思路】根据角音所在的位置分两类，根据分步乘法和分类加法计数原理即可求解.【解答过程】根据角音所在的位置按从左到右依次为位置一､二､三､四､五分两类：第一类，角音排在位置一或五，则不同的排列顺序有2A第二类，角音排在位置二或四，则不同的排列顺序有2A根据分类加法计数原理，可得不同的排列顺序共有24+8=32（种）.故选：C.【变式4-2】记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有（

）A．960种 B．720种 C．480种 D．240种【解题思路】本题是一个分步问题，采用插空法，先将4名志愿者排成一列，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，根据分步计数原理得到结果．【解答过程】解：先将4名志愿者排成一列，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，则不同的排法有A44A52【变式4-3】（2022春·湖南衡阳·高二阶段练习）在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则四位专家的不同发言顺序共有（

）A．12种 B．8种 C．6种 D．4种【解题思路】先排甲，再将丙、丁捆绑在一起当一个元素排，再排乙.【解答过程】当甲排在第一位时，共有A22A所以一共有4+2=6种不同的发言顺序.故选：C.【题型5组合问题】【方法点拨】(1)特殊元素问题：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素及有多少特殊元素作为分类依据.(2)含有“至多”“至少”的问题：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解.(3)分类讨论思想的应用：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解.【例5】新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（

）A．14种 B．15种 C．16种 D．17种【解题思路】分两种情况即物理或历史中选一门和物理和历史都选两种情况分类求解即可.【解答过程】解：由题意得：物理或历史中选一门：C21⋅物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有12+4=16种选法；故选：C.【变式5-1】北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（

）A．8 B．10 C．12 D．14【解题思路】先将剩下的3名志愿者分为两组，再把小明和小李分别放在两组中，最后两组分别安装“冰墩墩”和“雪容融”，由分步乘法原理即可.【解答过程】先将剩下的3名志愿者分为两组有C3最后两组分别安装“冰墩墩”和“雪容融”有2种，则共有3×2×2=12种.故选：C.【变式5-2】将编号为1、2、3、4、5、6的六个小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（

）A．20 B．40 C．68 D．96【解题思路】先从六个小球中选出三个小球放入与自己相同序号的盒子中，剩下的三个小球再错位排在与自己编号不同的盒子里即可.【解答过程】六个小球中选出三个小球放入与自己相同序号的盒子中，先选后排：先选：组合有C63种方法，后排：排列只有1种方法，则利用分步乘法计数原理得有C63×1=20种方法，剩下三个小球放入与自己不相同序号的盒子中，先选后排：先选：组合有C33【变式5-3】今年中国空间站将进入到另一个全新的阶段—正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A．44种 B．48种 C．60种 D．50种【解题思路】由分步乘法计数原理，利用间接法即可求解.【解答过程】解：由题意，要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，共有C6若甲、乙两人同时在天和核心舱做实验，则有C41C32【题型6排列、组合的综合问题】【方法点拨】解决先选后排问题,应遵循三大原则：(1)先特殊后一般；(2)先组合后排列；(3)先分类后分步.【例6】4月1日，根据当前疫情防控工作需要，定州市新冠肺炎疫情防控工作总指挥部发布通告，要求我市全域内除特殊人员外，所有人员保持居家，不出小区（村）等待全员核酸检测．为了保障广大居民的生活需要，某小区征集了多名志愿者，现有5名志愿者承包A，B，C三栋居民楼，每位志愿者负责一栋楼，且每栋楼至少一名志愿者，则分派方法的种数为（

）A．90 B．150 C．180 D．300【解题思路】先分组再分配，分组又分为3,1,1和2,2,1两类，第二类涉及平均分组，需要去重.【解答过程】先分组:按照居民楼人数分为3,1,1和2,2,1两类，3,1,1:从5名志愿者中选出3名作为一个组,其余2人各自一组,有C53=10种，2,2,1:从5名志愿者中选出4名平均分为两组,剩下1人一组,有C52C32A22【变式6-1】2022年北京冬奥会共计有7大项､15个分项以及109个小项目，其中北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有的雪上项目北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则不同的报名方案有（

）A．8 B．14 C．6 D．20【解题思路】根据题意先对4名同学分成2组有两种情况，结合平均分组可知有C4【解答过程】将4名同学分成两组，有C43C11+【变式6-2】消除贫困、改善民生、逐步实现共同富裕，是社会主义的本质要求，是中国共产党的重要使命．某中学积极参与脱贫攻坚战，决定派6名教师到A、B、C、D、E五个贫困山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（

）A．120种 B．216种 C．336种 D．360种【解题思路】用排除法，不考虑乙丙不在同一山区的情况，安排方法有两类：第一类是其他5人每人去一个山区，第二类是其他5人中选2人作为一个人与其他3人一起全排列去A外的四个山区，求出此方法，再减去乙丙在一起的方法数即得．【解答过程】不考虑乙丙不在同一山区的情况，安排方法是一种情形其他5人每人去一个山区，第二种情形是其他5人中选2人作为一个人与其他3人一起全排列去A外的四个山区，不同的安排方法数为A55+C52A44【变式6-3】为了提高教学质量，需要派5位教研员去某地重点高中进行教学调研，现知该地有3所重点高中，每个教研员只能去1所学校调研，则下列说法错误的个数是（

）①不同的调研方案有243种②若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有150种③若每所重点高中至少去一位教研员，至多去两位教研员，则不同调研安排方案有60种④若每所重点高中至少去一位教研员且甲､乙两位教研员不去同一所高中，则不同调研安排方案有114种A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【解题思路】根据乘法计数原理计数判断①，用分组分配方法计数判断②③，用捆绑法求出甲乙二人去同一所学校的方法，再由排除法得结论判断④．【解答过程】①每个教研员只能去1所学校调研，根据分步乘法原理，每个教研员依次选调研学校，方法为35=243，②若每所重点高中至少去一位教研员，将5位教研员分成3组：1,1,3；1,2,2，然后分配到3所学校，方法数为：C53A33+C52④甲乙捆绑在一起，变成4人进行分组分配，方法数为C42A33=36，因此甲专题6.2排列与组合（重难点题型检测）一．单选题1．下列问题是排列问题的是（

）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合a1D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？【解题思路】根据排列的定义逐个选项辨析即可.【解答过程】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．故选：D.2．已知n，m为正整数，且n≥m，则在下列各式中错误的是（

）A．A63=120； B．A127=C12【解题思路】据组合数的性质及排列数公式计算可得【解答过程】解：对于A，A6对于B，因为C127=对于C，因为n，m为正整数，且n≥m，所以令n=3,m=1，则Cnm+Cn+1m=3．不等式An5≤12A．n∣2≤n≤5,n∈N B．n∣3≤n≤6,n∈NC．5 D．5,6【解题思路】根据组合数和排列数的计算公式，结合n的取值范围，即可求得结果.【解答过程】由An5≤12Cn化简整理得n2−7n+10≤0，解得2≤n≤5，又因为n≥5，所以4．从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是（

）A．10 B．60 C．243 D．15【解题思路】根据排列定义即可求解．【解答过程】不同的方法总数是A535．2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（

）A．36 B．24 C．18 D．42【解题思路】利用分步乘法计数原理及组合公式求解即可.【解答过程】第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共有C31C第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有C2依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是6×3×2=36，故选：6．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（

）A．48种 B．36种 C．24种 D．20种【解题思路】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列，再将“射”和“御”交换位置，最后安排“数”，根据分步计数原理即可求解.【解答过程】解：因为“礼”在第一次，所以只需安排后面五次讲座的次序即可，又“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，所以先将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列有A33种排法，再将“射”和“御”交换位置有A22种排法，最后安排“数”有7．绿水青山就是金山银山，浙江省对“五水共治”工作落实很到位，效果非常好．现从含有甲的5位志愿者中选出4位到江西，湖北和安徽三个省市宣传，每个省市至少一个志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者没有条件限制，共有多少种不同的安排方法（

）A．228 B．132 C．180 D．96【解题思路】本题分抽取的4人中含甲和不含甲两大类讨论，采取捆绑法分析情况，再利用加法和乘法原理得到所有情况即可.【解答过程】4人去3个省份，且每个省至少一个人则必会有两人去同一省份，若抽取的4人中不含甲，在这四人中任意取两人进行捆绑，则共有C4②若4人中含有甲，则在剩余的4人中抽取3人，共有C43=4种，接下来若甲和另1人去同一省份，则共有C31⋅C218．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（

）A．每人都安排一项工作的不同方法数为54B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为AC．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C【解题思路】对于选项A，每人有4种安排法，故有45种；对于选项B，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项C，先分组再安排；对于选项D【解答过程】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为45，即选项A②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为C52A③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（C53C21④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有C31,从余下四人中安排三个岗位C42C从余下三人中安排三个岗位A33，故有甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42二．多选题9．下列等式正确的是（

）A．n+1AnmC．Cnm=【解题思路】利用排列数公式、组合数公式，逐项计算判断作答.【解答过程】对于A，n+1A对于B，n!n对于C，Cnm=Anmm!，而m!对于D，1n−m10．如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1，A2，A3，A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲､乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，A．甲从M到达N处的走法种数为20B．甲从M必须经过A3到达NC．甲乙两人能在A3D．甲，乙两人能相遇的走法种数为162【解题思路】由M到N的最短路径向上3步，向右3步，问题为6步中任选3步向上或向右走，根据各选项的描述，同理分析各种走法的种数，即可确定答案.【解答过程】A：从M到达N只需向上、向右各走3步，即共走6步，走法种数为C6B：从M到A3的走法有C32，再到达N的走法有C32C：由上，甲经过A3的走法有9种，同理乙经过AD：要使甲乙以相同的速度相遇，则相遇点A1，A2，A3，A4中的一个，而在A1、A4相遇各有1种走法，在故选：AB.11．2022年2月5日晩，在北京冬奥会短道速滑混合团体接力决赛中，中国队率先冲过终点，为中国体育代表团拿到本届奥运会首枚金牌.赛后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5名运动员从左往右排成一排合影留念，下列结论正确的是（

）A．武大靖与张雨婷相邻，共有48种排法B．范可欣与曲春雨不相邻，共有72种排法C．任子威在范可欣的右边，共有120种排法D．任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有78种排法【解题思路】利用分步乘法计数原理结合排列与排列数，逐项分析判断即可.【解答过程】解：A项中，武大靖与张雨婷相邻，将武大靖与张雨婷排在一起有A2再将二人看成一个整体与其余三人全排列，有A4由分步乘法计数原理得，共有A2B项中，范可欣与曲春雨不相邻，先将其余三人全排列，有A3再将范可欣与曲春雨插入其余三人形成的4个空位中，有A4由分步乘法计数原理得，共有A3C项中，任子威在范可欣的右边，先从五个位置中选出三个位置排其余三人，有A5剩下两个位置排任子威、范可欣，只有1种排法，所以任子威在范可欣的右边，共有A5D项中，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5人全排列，有A5任子威在最左边，有A44种排法，武大靖在最右边，有任子威在最左边，且武大靖在最右边，有A3所以任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有A5故选：ABD.12．为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲､乙､丙､丁4名志愿者奔赴A，B，C三地参加防控工作，则下列说法正确的是（

）A．不同的安排方法共有64种B．若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种C．若甲､乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有44种D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则不同的安排方法共有171种【解题思路】根据分类、分布计数原理和排列、组合，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于A中，安排甲､乙､丙､丁4名志愿者奔赴A，B，C三地参加防控工作，每人都有3种安排方法，则不同的安排方法共有34对于B中，若恰有一地无人去，则需先在三地中选出两地，再将4人安排到这两个地方，不同的安排方法有C3对于C中，根据题意，需将4人分为3组，若甲､乙在同一组，有1种分组方法，又甲､乙两人不能去A地，所以安排甲､乙一组到B地或C地，有2种情况，剩余2组安排到其余2地，有A22种情况，此时不同的安排方法有若甲､乙不在同一组，有C42−1=5所以安排没有甲､乙的一组去A地，甲､乙所在的两组安排到B，C两地，有A2此时不同的安排方法有5A22所以C错误；对于D中，只需将20辆救护车排成一排，在形成的19个间隙中插入挡板，将20辆救护车分为3组，依次对应A，B，C三地即可，此时不同的安排方法有C192=171故选：BD.三．填空题13．若C82x−1=C8x+3，则x=【解题思路】根据组合数的性质得到方程，解得即可；【解答过程】因为C82x−1=C8x+3，所以2x−1=x+3或2x−1+x+3=8,解得x=4或x=2，经检验成立14．从5名男生和2名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有25种．【解题思路】计算反面全是男生的方法数，运用排除法即可.【解答过程】从5名男生和2名女生中,选出3名代表的方法数为C7从5名男生和2名女生中,选出3名代表全是男生的方法数为C53=10，所以从5名男生和2名女生中,选出3名代表,要求至少包含1名女生的方法数为15．某单位计划安排6名志愿者在人民路上相邻的6个十字路口进行“创建文明城市”的宣传活动，每个路口安排一名志愿者，则甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口，丙不在第一个和最后一个路口的安排方式共有144种．【解题思路】将甲、乙两名志愿者看作一个整体，再与其余四名志愿者全排列，减去甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口，且丙在第一个或最后一个路口的情况求解.【解答过程】当甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口时，利用“捆绑法”，将甲、乙两名志愿者看作一个整体，再与其余四名志愿者全排列，一共有A2当甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口，且丙在第一个或最后一个路口时，一共有A21A故答案为：144.16．某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为5040．【解题思路】参加“演讲团”人数分为有1人或无人的情况，而每种情况又各自包含2种情况，分别求出对应的方法数，结合计数原理计算即可.【解答过程】若有1人参加“演讲团”，则从6人选1人参加该社团，其余5人去剩下4个社团，人数安排有2种情况：1，1，1，2和1，2，2，故1人参加“演讲团”的不同参加方法数为C6若无人参加“演讲团”，则6人参加剩下4个社团，人数安排安排有2种情况：1，1，2，2和2，2，2，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为C6故满足条件的方法数为3600+1440=5040，故答案为：5040.四．解答题17．（1）计算：2A（2）若A2n3=10【解题思路】（1）（2）按照排列数公式计算即可.【解答过程】（1）2A（2）∵A2n3=10A又n≥3，化简得4n−2=5n−10，解得n=8.18．解下列不等式或方程(1)A(2)1【解题思路】（1）先求出2≤x≤8，解不等式得到7<x<12，从而得到答案；（2）先得到0≤m≤5，解方程得到m=21或2，舍去不合题意的根.【解答过程】（1）由题意得：0≤x≤80≤x−2≤8，解得：2≤x≤8A8x<6A8x−2，即8!（2）1C5m−1C6m故方程的解为：m=2.19．现有8个人（5男3女）站成一排．(1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？(2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？(4)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？(5)甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(6)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【解题思路】（1）分两步，先考虑甲必须站在排头的特殊要求，用特殊元素优先法可解；（2）女生必须排在一起，用捆绑法求解；（3）甲、乙两人不能排在两端，用插空法求解；（4）甲在乙的左边，可采用倍缩法求解；（5）甲、乙不能排在前3位，用特殊元素或特殊位置优先法可解；（6）女生两旁必须有男生，用插空法求解.【解答过程】（1）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有A7则甲必须站在排头有A7（2）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有A3将这个整体与5名男生全排列，有A66种情况，则女生必须排在一起的排法有（3）根据题意，将甲、乙两人安排在中间6个位置，有A62种情况，将剩下的6人全排列，有则甲、乙两人不能排在两端有A6（4）根据题意，将8人全排列，有A8则甲在乙的左边有12（5）根据