（人教A版）选择性必修三高中数学同步考点讲与练专题7.1 条件概率与全概率公式（解析版）

专题7.1条件概率与全概率公式（重难点题型精讲）1．条件概率(1)条件概率的定义

一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(BA)=为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.

(2)性质

设P(A)>0，为样本空间，则

①P(BA)∈[0,1]，P(A)=1；

②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪CA)=P(BA)+P(CA)；

③设​​​​​​​和B互为对立事件，则P(A)=1-P(BA).2．概率的乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(BA).3．全概率公式及应用(1)全概率公式

一般地，设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2,，n，则对任意的事件BΩ，有P(B)=()·P().我们称此公式为全概率公式.

(2)全概率公式的意义

全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一个划分Ω=∪∪∪，，，，两两互斥，将，，，看成是导致B发生的一组原因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求解.4．贝叶斯公式设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2,，n，则对任意的事件BΩ，P(B)>0，有P()=.贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下：

(1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P()已知;

(2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P()已知；(3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到；

(4)求解的目标是用A的某种情况的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P().

【题型1条件概率的计算】【方法点拨】用定义法求条件概率P(B|A))的步骤：(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式P(B|A)=求解.【例1】某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则PA|B=（A．35 B．23 C．25【解题思路】求出PB，P【解答过程】由题意可知PB=C62【变式1-1】为参加学校组织的“喜迎二十大，奋进新征程”的演讲比赛，某班从班级初选的甲乙2名男生和6名女生共8名同学中随机选取5名组成班级代表队参加比赛，则代表队中既有男生又有女生的条件下，男生甲被选中的概率为（

）A．1556 B．57 C．12【解题思路】利用条件概率公式计算即可【解答过程】记“代表队中既有男生又有女生”为事件A，“男生甲被选中”为事件B，则PA=C21【变式1-2】已知某品牌电视机使用寿命超过15000小时的概率为0.95，而使用寿命超过30000小时的寿命的概率为0.85，则已经使用了15000小时的这种电视，使用寿命能超过30000小时的概率为（

）A．1720 B．1719 C．1920【解题思路】根据题意，结合条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.【解答过程】设该电视“使用寿命超过15000小时”为事件A，该电视“使用寿命超过30000小时”为事件B，依题意得PA=0.95，PAB【变式1-3】某车间加工同一型号零件，第一､二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i台车床加工(i=1,2)”为事件Ai，“任取一个零件是次品”为事件B，则（

①P(B)=0.054

②PA2B=0.03A．①②④ B．②③④ C．②③ D．①②③④【解题思路】根据全概率概率公式及条件概率概率公式计算可得；【解答过程】依题意PA1=0.4，PA2=0.6，所以PB所以P(B)=1−PB因为PB|A2=P所以PA2B【题型2概率的乘法公式】【方法点拨】根据题目条件，利用概率的乘法公式，进行求解即可.【例2】经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（

）A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75【解题思路】根据条件概率公式求解即可．【解答过程】设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”事件B，则由题意得PA=0.6，PB|A【变式2-1】某精密仪器易因电压不稳损坏，自初装起，第一次电压不稳仪器损坏的概率为0.1.若在第一次电压不稳仪器未损坏的条件下，第二次电压不稳仪器损坏的概率为0.2，则连续两次电压不稳仪器未损坏的概率为（

）A．0.72 B．0.7 C．0.2 D．0.18【解题思路】利用条件概率的计算公式求解即可.【解答过程】设第i次电压不稳仪器损坏为事件Aii=1,2，则PAPA2|A1【变式2-2】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，在下雨天里，刮风的概率为38A．34 B．35 C．110【解题思路】利用条件概率的计算公式求解即可【解答过程】记A=“下雨”，B=“刮风”，AB=“刮风又下雨”，则PA所以PAB【变式2-3】已知某种传染性病毒使人感染的概率为0.75，在感染该病毒的条件下确诊的概率为0.64，则感染该病毒且确诊的概率是（

）A．0.40 B．0.45 C．0.48 D．0.50【解题思路】根据条件概率公式即可求出感染该病毒且确诊的概率.【解答过程】记“感染该病毒”为事件A，“确诊“为事件B，则PA=0.75，PB|A【题型3全概率公式及其应用】【方法点拨】当所求事件的概率比较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件，求出这些简单事件的概率，运用全概率公式来进行求解.【例3】某游泳小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员8人，三级运动员8人．现在举行一场游泳选拔比赛，若一、二、三级运动员能够晋级的概率分别是0.9，0.7，0.4，则在这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（

）A．0.58 B．0.60 C．0.62 D．0.64【解题思路】由全概率公式计算可得．【解答过程】记事件B为“选出的运动员能晋级”，A1为“选出的运动员是一级运动员”，A2为“选出的运动员是二级运动员”，A3为“选出的运动员是三级运动员”．由题意知，PA1=420，PA2=故选：C．【变式3-1】一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（

）A．79160 B．35 C．2132【解题思路】利用全概率公式求解即可.【解答过程】设事件A表示“考生答对”，设事件B表示“考生选到有思路的题”.则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：PA【变式3-2】深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.3，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.8．当乙球员参加比赛时．该球队这场比赛不输球的概率为（

）A．0.32 B．0.68 C．0.58 D．0.64【解题思路】设事件A1表示“乙球员担当前锋”，事件A2表示“乙球员担当中锋”，事件A3表示“乙球员担当后卫”，事件B【解答过程】设事件A1表示“乙球员担当前锋”，事件A2表示“乙球员担当中锋”，事件A3则PB=PA所以当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为1−0.42=0.58．故选：C．【变式3-3】某公司有甲，乙两家餐厅，小张第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为35；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为45，则小张第2天去乙餐厅的概率为（A．110 B．15 C．35【解题思路】根据题意结合全概率公式可直接求得.【解答过程】设A1=“第1天去甲餐厅用餐”，B1根据题意得P(A1)=P(B1由全概率公式，得P(A因此，小张第2天去乙餐厅用餐的概率为0.3.故选：D.【题型4贝叶斯公式及其应用】【方法点拨】利用贝叶斯公式，进行转化求解即可.【例4】某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（

）A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84【解题思路】根据贝叶斯公式求得正确答案.【解答过程】此人是癌症患者的概率为0.004×0.950.004×0.95+0.996×0.02【变式4-1】一道考题有4个，要求学生将其中的一个正确选择出来．某考生知道正确的概率为13，而乱猜正确的概率为23．在乱猜时，4个都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确的概率是（A．13 B．C．34 D．【解题思路】根据全概率公式，结合贝叶斯公式进行求解即可.【解答过程】[设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确”，由全概率公式：P(A)=P(B)P(AB)+P(B【变式4-2】已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（

）A．0.2 B．0.8 C．0.3 D．0.7【解题思路】分别记B表示汽车中途停车修理，A1表示公路上经过的汽车是货车，A2表示公路上经过的汽车是客车，即求【解答过程】设B表示汽车中途停车修理，A1表示公路上经过的汽车是货车，A2表示公路上经过的汽车是客车，则PA1=23，PA2【变式4-3】医生按照某流行病检验指标将人群分为感染者和正常者，针对该病的快速检验试剂有阴性和阳性2种结果．根据前期研究数据，该试剂将感染者判为阳性的概率是80%，将正常者判为阳性的概率是10%．专家预测，某小区有5%的人口感染了该病，则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是（

）A．2173 B．1173 C．1%【解题思路】在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是感染者为阴性除以正常人为阴性与感染者为阴性的和.【解答过程】由题意知，某小区感染了该病的人有120，未感染的人有1920，该试剂将感染者判为阳性的概率是45，则试剂将感染者判为阴性的概率是15将正常者判为阳性的概率是则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率为120×专题7.1条件概率与全概率公式（重难点题型检测）一．单择题1．已知随机事件A，B的概率分别为P(A),P(B)，且P(A)P(B)≠0，则下列说法中正确的是（

）A．P(A|B)<P(AB) B．P(B|A)=P(A|B)C．P(B|A)=P(A|B)P(B)P(A) 【解题思路】由条件概率的公式对选项一一判断即可得出答案.【解答过程】由条件概率知：P(A|B)=P(AB)PB，因为PP(B|A)=PABPA,P(A|B)=PABP(B|A)=PABPP(B|B)=P故选：C.2．已知A，B分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列说法正确的是（

）A．PB．若PA+PB=1，则C．若A，B独立，则PD．若A，B互斥，则P【解题思路】利用条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行分析判断，即可得到答案；【解答过程】对A，PB对B，若A，B对立，则PA对C，根据独立事件定义，故C正确；对D，若A，B互斥，则PA3．已知市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（

）A．0.665 B．0.56 C．0.24 D．0.285【解题思路】记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则由P(AB)＝P(A)·P(B|A)可求.【解答过程】记A为“甲厂产品”，B为“合格产品”，则P(A)=0.7，P(BA所以P(AB)=P(A)P(BA4．已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（

）A．0.2 B．0.8 C．0.3 D．0.7【解题思路】分别记B表示汽车中途停车修理，A1表示公路上经过的汽车是货车，A2表示公路上经过的汽车是客车，即求【解答过程】设B表示汽车中途停车修理，A1表示公路上经过的汽车是货车，A2表示公路上经过的汽车是客车，则PA1=23，PA25．设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为120，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0．08A．15 B．110 C．115【解题思路】首先设A1,A2分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为p，得到则PA1=【解答过程】设A1,A甲厂生产该芯片的次品率为p，则PA1=1220=3则由全概率公式得：PB=PA故选：B．6．某车间加工同一型号零件，第一､二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i台车床加工(i=1,2)”为事件Ai，“任取一个零件是次品”为事件B，则（

①P(B)=0.054

②PA2B=0.03A．①②④ B．②③④ C．②③ D．①②③④【解题思路】根据全概率概率公式及条件概率概率公式计算可得；【解答过程】依题意PA1=0.4，PA2=0.6，所以PB所以P(B)=1−PB因为PB|A2=P所以PA2B7．从装有a个红球和b个蓝球的袋中(a，b均不小于2)，每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为A1，“第一次摸球时摸到蓝球”为A2；“第二次摸球时摸到红球”为B1，“第二次摸球时摸到蓝球”为BA．PB1=C．PB1+P【解题思路】结合已知条件分别求出P(A1)，P(A2)，P(B1)【解答过程】由题意可知，P(A1)=aa+b，P(从而P(B又因为PB1∣故PBPB1∣故选：D.8．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的15%，25%，60%.随机取一个零件，记A=“零件为次品”，① P(A)=0.033，②i=13③P(B④P(其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】由全概率公式和条件概率依次判断4个结论即可.【解答过程】因为P(A)=0.05×0.15+0.03×0.25+0.03×0.60=0.033，故①正确；因为i=13PBi因为PB1A=PB1⋅PAB1PA=0.05×0.15二．多选题9．下列说法中不正确的是（

）．A．在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作PB．对事件A，B，有PC．若PBA=PB，则事件D．PBA相当于事件A发生的条件下，事件【解题思路】由条件概率的性质和独立事件的性质逐个分析判断即可【解答过程】在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作PB∵PAB=∴PBA与若事件A与B相互独立，即PAB=PAPB，且PA>0，则PBA=PABPA=PAPBPAPBA表示事件A发生的条件下，事件B发生的概率，这时10．在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%．则（

）A．任意一位病人有症状S的概率为0.02B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25【解题思路】根据全概率公式和贝叶斯公式计算可得结果.【解答过程】P(D1)=0.02，P(D2)=0.05，P(D3)=0.005，P(S|D1)=0.4，P(S|D2)=0.18，P(S|D3)=0.6，由全概率公式得P(S)=i=13P(Di)P(S|Di由贝叶斯公式得：P(D1|S)=P(D1P(D2|S)=P(D2)P(S|D2)P(S11．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现任取一个零件，记事件Ai=“零件为第i台车床加工”i=1,2,3，事件B=“任取一零件为次品”，则（A．PA1=0.25C．PB=0.0525 【解题思路】利用相互独立事件概率的乘法公式及条件概率公式分别求出各个选项的值即可判断各个选项的正误.【解答过程】解：根据题意PBPA所以PBA则PBA212．有3台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为0.06，第2台车床加工的次品率为0.05，第3台车床加工的次品率为0.08，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的0.25，0.3，0.45，现从中任意选取1个零件，则（

）A．该零件是由第1台车床加工的次品的概率为0.06B．该零件是次品的概率为0.066C．在取到的零件是次品的前提下，该零件是由第2台车床加工的概率为5D．在取到的零件是次品的前提下，该零件是由第3台车床加工的概率为6【解题思路】利用条件概率公式和全概率公式计算即可.【解答过程】记事件A为“零件由第ii=1,2,3台车床加工”，记事件B为“零件为次品”，则PA1=0.25，PA2=0.3，P该零件是由第1台车床加工的次品的概率PA1B该零件是次品的概率为P=0.25×0.06+0.3×0.05在取到的零件是次品的前提下，该零件是由第2台车床加工的概率PA2B在取到的零件是次品的前提下，该零件是由第3台车床加工的概率PA3B三．填空题13．已知PA=0.3，PBA=0.6，且事件A、【解题思路】利用概率的乘法公式可求得结果.【解答过程】由概率的乘法公式可得PAB故答案为：0.18.14．某同学连续两次投篮，已知第一次投中的概率为0.8，在第一次投中的情况下，第二次也投中的概率为0.7，且第一次投不中，第二次投中的概率为0.5，则在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率为2833【解题思路】设事件A表示“第一次投中”，事件B表示“第二次投中”，根据贝叶斯公式直接求解.【解答过程】设事件A表示“第一次投中”，事件B表示“第二次投中”，由贝叶斯公式可得:P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)+P(B|A15．市面上某类饮料共有3种品牌A、B、C在售，且均为有奖销售.已知3种品牌A、B、C的市场占有率分别为60%、30%、10%，且3种品牌每瓶的中奖率分别为10%、20%、30%.现从市场上任意购买一瓶，则该瓶饮料中奖的概率为0.15.【解题思路】用A1,A2,A3分别表示A【解答过程】用A1,A2,A3分别表示A则Ω=A1依题意，P(A1)=0.6,P(由全概率公式得：P(M)=P(A16．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A1，A2和A3表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是①事件A1，A2相互独立；②PA3=15；③P(B)=【解题思路】首先判断出A1，A2和A3是两两互斥事件，再判断PA1A2与PA1⋅PA【解答过程】依题意，A1，A2和PA1=5又∵PA1A2又∵PBA1PBA=511×12+4故答案为：③④⑤.四．解答题17．一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次．求：(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；【解题思路】（1）记事件A:第一次取得白球，事件B:第二次取得白球，利用古典概型的概率公式可求得PA的值；（2）求出PBA【解答过程】(1)解：记事件A:第一次取得白球，事件B:第二次取得白球，则PA(2)解：由题可知PBA=18．（1）已知A与B独立，且P(A|B)=7（2）已知PA=12，PBA=【解题思路】（1）根据题意求得P(A|B)=310，结合（2）由全概率公式求得P(B)的概率,结合【解答过程】（1）由P(A|B)=7因为A与B独立，所以P(A)=P(A|B)=3（2）因为PA=12，PB又因为PB由全概率公式，可得P(BP(AB)=P(A)⋅P(B19．小明每天去学校有A，B两条路线可供选择，小明上学时随机地选择一条路线.如果小明上学时选择A路线，那么放学时选择A路线的概率为0.6;如果小明上学时选择B路线，那么放学时选择A路线的概率为0.8.(1)求小明放学时选择A路线的概率;(2)已知小明放学时选择A路线，求小明上学时选择B路线的概率.【解题思路】(1)设A1=“上学时选择A路线”，B1=“上学时选择B路线”，(2)利用条件概率公式求解.【解答过程】（1）设A1=“上学时选择A路线”，B1=“上学时选择B路线”，则Ω=A1∪B1，且A1与B由全概率公式，得PA所以小明放学时选择A路线的概率为0.7.（2）P所以已知小明放学时