（人教A版）选择性必修三高中数学同步考点讲与练专题7.2 离散型随机变量及其分布列（原卷版）

专题7.2离散型随机变量及其分布列（重难点题型精讲）1．随机变量与离散型随机变量(1)随机变量

①定义：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们称X为随机变量.

②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.

③随机变量与函数的关系

联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点相当于函数定义中的自变量，样本空间相当于函数的定义域.

区别：样本空间不一定是数集，随机变量的取值X()随着试验结果的变化而变化，而函数是从非空数集到非空数集的一一对应.

(2)离散型随机变量

可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量.2．离散型随机变量的分布列(1)定义

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，，，，我们称X取每一个值的概率P(X=)=，i=1，2，，n为X的概率分布列，简称分布列.(2)分布列的表格表示分布列也可以用等式形式表示为P(X=)=，i=1，2，，n，还可以用图形表示.

(3)离散型随机变量分布列具有的两个性质

①0，i=1，2，，n；

②+++=1.3．两点分布(1)两点分布的定义

对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X=

如果P(A)=p，则P()=1-p，那么X的分布列如下表所示.我们称X服从两点分布或0—1分布.(2)两点分布理解

两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为1.可设任意一个为0，另一个相应为1.

【题型1离散型随机变量】【方法点拨】根据离散型随机变量的定义来判断所给的随机变量是不是离散型随机变量.【例1】下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（

）①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X1②一个沿直线y=2x进行随机运动的质点离坐标原点的距离X2③某同学射击3次，命中的次数X3④某电子元件的寿命X4A．①② B．③④ C．①③ D．②④【变式1-1】下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ；②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y；其中是离散型随机变量的为（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【变式1-2】①某座大桥一天经过的车辆数为X；②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X；③一天之内的温度为X；④一射手对目标进行射击，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射击中的得分.上述问题中的X是离散型随机变量的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【变式1-3】下列X是离散型随机变量的是（

）①某座大桥一天经过的车辆数X；②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η；③一天之内的温度X；④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分.A．①②③④ B．①②④C．①③④ D．②③④【题型2离散型随机变量的分布列及其性质】【方法点拨】根据题目条件，结合离散型随机变量的分布列的性质，进行转化求解即可.【例2】设X是一个离散型随机变量，其分布列为X−101P11−2qq则q等于（

）A．1 B．12 C．1−22【变式2-1】随机变量ξ的分布列如表：则a+b=（

）ξ123Pab1A．14 B．12 C．13【变式2-2】已知随机变量X的分布列如表：（其中a为常数）X123456P0.10.1a0.30.20.1则P1≤X≤3等于（

）A．0.4 B．0.5 C．0.6 【变式2-3】若随机变量X的分布列如下表所示，则a的值为（

）X123P0.2a3aA．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【题型3求离散型随机变量的分布列】【方法点拨】第一步，确定随机变量X的可能取值；第二步，求出相应的概率P(X=)=；第三步，写分布列.【例3】甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（

）A．X012P0.080.140.78B．X012P0.060.240.70C．X012P0.060.560.38D．X012P0.060.380.56【变式3-1】下列表中，可以作为某离散型随机变量的分布列的是（其中0<p<1）（

）A．X123Ppp−12−2pB．X123PpppC．X123Ppp−1−2p+D．X123Pp11−p−【变式3-2】下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是（

）A．X012P0.70.150.15B．X－2024P0.50.20.30C．X123P－112D．X123Plg1lg2lg5【变式3-3】一袋中装5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为()A． B．C． D．【题型4两点分布】【方法点拨】对于两点分布的分布列问题，根据两点分布的定义及对两点分布的理解，进行转化求解即可.【例4】若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X=1)=p,4−5P(X=0)=p，则p=（

）A．23 B．12 C．13【变式4-1】已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X=0)=3−4P(X=1)=a，则a=（

）A．23 B．12 C．13【变式4-2】设随机变量X服从两点分布，若PX=1−PX=0=0.2，则成功概率A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【变式4-3】下列选项中的随机变量服从两点分布的是（

）A．抛掷一枚骰子，所得点数XB．某射手射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分，射手的得分XC．从装有5个红球，3个白球的袋子中取1个球，定义：{X=1}=“取出白球”，{X=0}=“取出红球”D．某医生做一次手术，手术成功的次数X【题型5两个相关的随机变量的分布列问题】【方法点拨】已知随机变量X的分布列，求随机变量Y=f(X)的分布列，其关键是弄清X取每一个值时相对应的Y的值，若f(X)的取值出现重复，则需要把它们的相应概率相加，所求即为Y的取值概率.【例5】设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【变式5-1】已知X，Y均为离散型随机变量.且X＝2Y，若X的所有可能取值为0，2，4，则Y的所有可能取值为.【变式5-2】已知离散型随机变量X的分布列PX=k=k15，k=1,2,3,4,5.令Y=2X−2【变式5-3】已知随机变量X的分布列如下：X12345P0.10.20.40.20.1若Y=2X−3，则P(Y=5)的值为.【题型6离散型随机变量的分布列及其综合应用】【方法点拨】离散型随机变量的分布列是计数原理、排列组合、概率与其他知识的综合.解决此类问题的关键：(1)理清随机变量的可能取值；(2)理清随机变量取某些值时对应的事件是什么；(3)利用两个计数原理及排列、组合的知识求出试验的样本空间与所求事件所包含的样本点数.【例6】本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人独立来该租车点车租骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,1(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．【变式6-1】为了解某校学生上个月A、B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A、B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下表：支付方式支付金额（元）(0,1000](1000,2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A、B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？并说明理由.【变式6-2】首届以进口为主题的国家级博览会在中国拉开大幕，本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展．其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：展区类型智能及高端装备消费电子及家电汽车服装服饰及日用消费品食品及农产品医疗器械及医药保健服务贸易展区的企业数（家）40060706501670300450备受关注百分比25％20％10％23％18％8％24％备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．(1)从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；(2)从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．记X为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量X的分布列．【变式6-3】流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播．科学测定，当空气月平均相对湿度大于65%或小于40第一季度第二季度第三季度第四季度1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月甲地543946545667646678727259乙地38343142546669656270ab(1)从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；(2)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；(3)若a+b=108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）专题7.2离散型随机变量及其分布列（重难点题型检测）一．单选题1．下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④2．设X是一个离散型随机变量，则下列不能作为X的分布列的一组概率取值的数据是（

）A．12，B．0.1，0.2，0.3，0.4C．p，1−pD．11×2，12×33．下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（

）A．抛掷一枚骰子，所得点数XB．某射击手射击一次，击中目标的次数XC．从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设X=D．某医生做一次手术，手术成功的次数X4．下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数a的值是（

）X3456Pa111A．16 B．112 C．195．下列表中，可以作为某离散型随机变量的分布列的是（其中0<p<1）（

）A．X123Ppp−12−2pB．X123PpppC．X123Ppp−1−2p+D．X123Pp11−p−6．随机变量X的概率分布列规律为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),其中aA．23 B．34 C．457．已知ξ的分布列如表所示，其中a，b都是非零实数，则1a+1ξ1234P11abA．12 B．6 C．83 D．8．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P(X=i)=pi>0(i=1,2,⋯,n),i=1n命题1：若pi=1n(i=1,2,⋯,n)命题2：若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且P(Y=j)=pj+则以下结论正确的是（

）A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确C．两个命题都错误 D．两个命题都正确二．多选题9．下列关于随机变量及分布的说法正确的是（

）A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量B．某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布C．离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1D．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的10．设随机变量ξ的分布列为Pξ=k5=ak，（A．15a=1 B．PC．P0.1<ξ<0.6=0.2 11．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（

）X－101PabcA．a＝13 B．b＝C．c＝13 D．P(|X|＝1)＝12．设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，随机变量Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，记PX=a,Y=b表示X=a，Y=b同时发生的概率，则（

A．当n=3时，PB．当n=4时，PC．当n=k（k≥2且k∈N∗D．当n=2时，Y的均值为5三．填空题13．已知下列四个变量：①某高铁候车室中一天的旅客数量X1；②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数X2；③某一天中长江的水位X3；④某次大型车展中销售汽车的数量X4．其中，所有离散型随机变量的序号为14．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝.15．设随机变量X的分布列如下表：X1234P11m1则PX−2=1等于16．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为四．解答题17．判断下列变量是否是随机变量，若是，是否为离散型随机变量.（1）某市医院明天接到120急救电话的次数ξ；（2）公交车司机下周一收取的费用ξ；（3）某单位下个月的用水量ξ；（4）某家庭上个月的电话费ξ.18．设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m试求：(1)2X+1的分布列；(2)X−1的分布列.19．已知离散型随机变量X的分布列PX=(1)求常数a的值；(2)求PX≥(3)求P120．甲乙参加英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随