（人教A版）选择性必修三高中数学同步考点讲与练专题7.3 离散型随机变量的数字特征（解析版）

专题7.3离散型随机变量的数字特征（重难点题型精讲）1．离散型随机变量的均值(1)定义一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示：则称E(X)=+++++为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望，它反映了随机变量取值的平均水平.

(2)对均值(期望)的理解

求离散型随机变量的期望应注意：

①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.

②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.

③均值与随机变量有相同的单位.2．均值的性质若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.

特别地，当a=0时，E(b)=b；

当a=1时，E(X+b)=E(X)+b；

当b=0时，E(aX)=aE(X).3．离散型随机变量的方差、标准差(1)定义

设离散型随机变量X的分布列为则称D(X)=+++=为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为(X).

(2)意义

随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.4．方差的有关性质当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X).

特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)；

当b=0时，D(aX)=D(X).5．两点分布的均值与方差一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.【题型1均值的性质】【方法点拨】根据均值的性质，进行求解即可.【例1】设离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则E(2X−3)=（

）A．2 B．1 C．-1 D．-2【解题思路】套公式直接求出E(X)和E(2X−3).【解答过程】因为离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，所以EX=0×0.2+1×0.6+2×0.2=1,所以【变式1-1】已知离散型随机变量X的期望EX=1，则E2X+1A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】直接利用期望的性质即可得解.【解答过程】解：因为EX=1，所以【变式1-2】已知随机变量ξξ>0满足E2−3ξ+E2A．−1或4 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据均值的性质可得E2−3ξ=3Eξ，则E【解答过程】因为E2−3ξ+E2ξ=6，所以故选：D.【变式1-3】已知X的分布列为：X-101P11a设Y=2X+1，则Y的数学期望E(Y)的值是(

)A．−16 B．16 C．2【解题思路】根据分布列的性质及数学期望的运算公式及性质求解.【解答过程】由已知得12+1故选：C.【题型2方差的有关性质】【方法点拨】根据题目条件，结合方差的有关性质，进行转化求解即可.【例2】设X，Y为随机变量，且E(X)=2,EX2=6,Y=2X−1，则D(Y)=A．9 B．8 C．5 D．4【解题思路】根据方差的公式求得DX，再根据方差的性质求解D【解答过程】由题意，DX=EX【变式2-1】已知随机变量X的方差为DX=3，则D1A．9 B．3 C．13 D．【解题思路】根据DaX+b【解答过程】∵D13【变式2-2】已知随机变量X的分布列如下：236P11a则D(3X+2）的值为（

A．2 B．6 C．8 D．18【解题思路】根据概率之和等于1求得a，再根据期望公式和方差公式求出期望与方差，再根据方差的性质即可得解.【解答过程】解：根据分布列可知12+13+a=1DX=1【变式2-3】已知随机变量X的分布列如下表：X−2012Pn11m若E(X)=0，则D(3X−1)=（

）A．6 B．7 C．20 D．21【解题思路】先由概率和为1以及E(X)=0求出m=16,n=13【解答过程】由题可知m+n+13+则D(X)=13×【题型3离散型随机变量的均值的求法】【方法点拨】第一步，理解随机变量X的意义，写出X的所有可能取值；第二步，求X取每个值时的概率；第三步，写出X的分布列，由均值的定义来求均值.【例3】已知某随机变量X的分布为X−101P0.30.2m则EX等于（

A．0.5 B．0.3 C．0.2 D．无法确定【解题思路】利用分布列的性质求得m，再利用随机变量期望公式可求解.【解答过程】由分布列的性质得0.3+0.2+m=1，所以m=0.5，根据随机变量期望公式，得EX=−1×0.3+0.5×1=0.2【变式3-1】已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望E(X)等于（

）X012P0.2a0.5A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3【解题思路】根据分布列的性质求出a，再根据期望公式计算可得；【解答过程】解：依题意可得0.2+a+0.5=1，解得a=0.3，所以EX故选：D.【变式3-2】设a为正实数，若随机变量X的分布列为PX=i=i2ai=1,2,3A．3 B．1 C．73 D．【解题思路】先由概率和为1，求出a，再求EX【解答过程】因为随机变量X的分布列为PX=i=i2ai=1,2,3所以EX【变式3-3】已知离散型随机变量X的分布列如下表：X012P0.64q21－2q则E(X)=（

）A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8【解题思路】由概率之和为1可求出q的值，再根据分布列直接计算均值..【解答过程】由题可得0.64+1−2q+q2=1，解得q=0.4当q=1.6时，1−2q=−2.2<0，不符合题意，舍去，∴q=0.4；所以可得分布列为X012P0.640.160.2∴E(X)=0×0.64+1×0.16+2×0.2=0.56，故选：A.【题型4离散型随机变量的方差、标准差】【方法点拨】第一步，理解随机变量X的意义，写出X的所有可能取值；第二步，求X取每个值时的概率；第三步，写出X的分布列，由均值的定义来求均值.第四步，利用方差的计算公式，进行求解即可.【例4】随机变量X的分布列是X−112Pab1若E2X+1=2，则DXA．1 B．4 C．117 D．【解题思路】根据E2X+1=2以及a+b+13=1【解答过程】依题意a+b+13EX=−a+b+23由①②解得a=512,b=所以DX【变式4-1】已知随机变量X的分布列为：X12Pab则随机变量X的方差DX的最大值为（

A．14 B．12 C．1 【解题思路】由随机变量X的分布列，求出DX【解答过程】解：由题意可得a+b=1，EX则DX=1−1+b]2×a+【变式4-2】已知随机变量X的分布列如下表所示，若EX=2，则DXX123P1mnA．23 B．43 C．8【解题思路】根据分布列的性质以及EX=2，列出方程，解得【解答过程】由题意可得m+n=23，由EX=2得：故DX【变式4-3】设0<m<1，随机变量的分布列为：ξ0m1Pa12a−1则当m在0,1上增大时（

）A．Dξ单调递增，最大值为12B．DC．Dξ单调递减，最小值为29D．D【解题思路】根据方差公式，结合二次函数性质可得.【解答过程】由题知a3+13所以Dξ由二次函数性质可知，Dξ在0,12上单调递减，在12,1上单调递增，所以当m=故选：D.【题型5两点分布的均值与方差】【方法点拨】根据两点分布的定义，结合均值、方差的性质和计算公式，进行求解即可.【例5】设随机变量X服从两点分布，若PX=1−PX=0=0.4，则A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【解题思路】由题意可得P(X=1)+P(X=0)=1，再结合PX=1−PX=0=0.4【解答过程】由题意得P(X=1)+P(X=0)=1，因为PX=1所以解得P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3，所以EX故选：D.【变式5-1】已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足PX=0=29PX=1，且PA．13 B．12 C．23【解题思路】根据两点分布的性质可得PX=0+PX=1【解答过程】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布，所以PX=0则PX=1+29PX=1=1，解得所以PX=1=23，则【变式5-2】某运动员罚球命中得1分，不中得0分，如果该运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球一次的得分X的方差为（

）A．0.14 B．0.16 C．0.18 D．0.2【解题思路】直接利用期望公式与方差公式求解即可.【解答过程】∵Pξ=1=0.8,P故选：B.【变式5-3】设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)=m，令随机变量ξ=1,A发生0,A不发生，则ξ的方差A．m B．2m(1−m) C．m(m−1) D．m(1−m)【解题思路】先求得随机变量ξ的分布列，结合期望和方差的公式，即可求解.【解答过程】由题意，随机变量的分布列如下表：ξ01P1−mm则Eξ【题型6均值与方差的综合应用】【方法点拨】(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型以及可能用到的事件类型和公式.(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值、方差.(3)对照实际意义，回答概率、均值、方差等所表示的结论.【例6】我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲､乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲､(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲､乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【解题思路】(1)利用超几何分布求出甲公司回答对2道题和回答对3道题的概率，即可求出结果.(2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，再求两个随机变量的期望和方差，由此作出判断.【解答过程】（1）由题意可知，甲公司至少答对2道题目可分为答对两题或者答对三题；所求概率P=（2）设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1,2,3．PX=1=CX123P131∴EX=1×1设乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0,1,2,3．PY=0=1PY=2=则Y的分布列为：Y0123P1248∴EYDY由EX【变式6-1】为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14,1(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．【解题思路】（1）由题意两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，然后求出相应的概率即可；（2）确定ξ的所有可能取值，计算相应的概率，得出分布列，进一步求解均值和方差即可．【解答过程】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－14－12＝14，1－16－两人都付0元的概率为P1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P2＝12×两人都付80元的概率为P3＝14×16＝则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝124＋13＋124（2）ξ的所有可能取值为0，40，80，120，160，则P(ξ＝0)＝14×16＝P(ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P(ξ＝80)＝14×16＋12×P(ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P(ξ＝160)＝14×ξ04080120160P11511E(ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×1D(ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×【变式6-2】开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：男女支持方案一2416支持方案二2535假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.(1)从样本中抽1人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；(2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为抽出两人中女生的个数，求X的分布列与数学期望；(3)在（2）中，Y表示抽出两人中男生的个数，试判断方差DX与D【解题思路】（1）利用古典概型的概率公式计算即可求解；（2）根据题意可得X的可能取值为0,1,2，求出所对应的概率，即可列出分布列，利用随机变量的期望公式即可求解；（3）根据已知条件得出Y=2−X，再利用方差的性质即可求解.【解答过程】（1）依题意支持方案二的学生中，男生有25人、女生35人，所以抽到的是女生的概率P=35（2）记从方案一中抽取到女生为事件A，从方案二中抽取到女生为事件B，则PA=1624+16=25，PB=所以PX=0=PX=2=25×7X012P13114所以EX（3）依题意可得Y=2−X，所以DY=D2−X【变式6-3】已知投资甲､乙两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2.经统计分析，X1表1：X0.30.180.1P0.20.50.3表2：X0.250.15P0.20.8(1)若在甲､乙两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资甲､乙两项目所获得的利润，求Y1和Y2的数学期望和方差，并由此(2)若在甲､乙两个项目总共投资100万元，求在甲､乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率=利润【解题思路】（1）利用公式求出期望和方差，并利用期望和方差的性质进行求解.（2）计算甲､乙两个项目上的方差，再利用函数计算所获利润的方差和最小值.【解答过程】（1）由题意，得EXDXEXDX由EaX+b又Y1=100X1,EY2=100×0.17=17因此投资甲的平均利润18万元大于投资乙的平均利润17万元，但投资甲的方差48也远大于投资乙的方差16.所以投资甲的平均利润大，方差也大，相对不稳定，而投资乙的平均利润小，方差也小，相对稳定.若长期投资可选择投资甲，若短期投资可选投资乙.（2）设x万元投资甲，则100−x万元投资了乙，则投资甲的利润Z1=x设fx则fx=D=0.0048x2当x=−−2002×4=25故此时甲项目投资25万元，乙项目投资75万元，可使所获利润的方差和最小.专题7.3离散型随机变量的数字特征（重难点题型检测）一．单选题1．下列说法正确的是（

）A．离散型随机变量的均值是0,1上的一个数B．离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平C．若离散型随机变量X的均值E(X)=2，则E(2X+1)=4D．离散型随机变量X的均值E(X)=【解题思路】利用离散型随机变量的均值的定义即可判断选项AB；结合离散型随机变量的均值线性公式即可判断选项C；由离散型随机变量的均值为E(X)=i=1【解答过程】对于A，离散型随机变量的均值是一个常数，不一定在0,1上，故A错误，对于B，散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，故B正确，对于C，离散型随机变量X的均值E(X)=2，则E(2X+1)=2E(X)+1=5，故C错误，对于D，离散型随机变量X的均值E(X)=i=12．设ξ的分布列如表所示，又设η=2ξ+5，则E(η)等于（

）ξ1234P1111A．76 B．176 C．173【解题思路】根据分布列求出E(ξ)，再根据期望的性质计算可得.【解答过程】解：依题意可得E(ξ)=1×1所以E(η)=E(2ξ+5)=2E(ξ)+5=2×173．设随机变量X，Y满足：Y=3X−1，X∼B2,13，则DA．4 B．5 C．6 D．7【解题思路】二项分布与n次独立重复试验的模型．先利用二项分布的数学期望公式求出DX【解答过程】解：因为X∼B=2,13，则DX=2×4．已知随机变量X的分布列如下：X12Pmn若EX=53，则A．16 B．13 C．23【解题思路】根据期望公式及概率和为1列方程求解.【解答过程】由已知得m+2n=53m+n=1，解得5．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)X0123P0.20.30.4a则下列计算结果正确的是（

）A．a=0.2 B．PX≥2=0.7 C．EX=1.4【解题思路】由概率之和为1可判断A，根据分布列计算可判断B,C,D.【解答过程】因为0.2+0.3+0.4+a=1，解得a=0.1，故A错误；由分布列知P(X≥2)=0.4+0.1=0.5，故B错误；EX=0×0.2+1×0.3+2×0.4+3×0.1=1.4，故C正确；6．设0<a<12，随机变量X-112P11a则当DX最大时的a的值是A．14 B．316 C．1【解题思路】先求得EX=5a2，【解答过程】根据随机变量的分布列和数学期望与方差的计算公式，可得EX又由E可得DX因为0<a<12，所以当DX最大时的a7．已知0<p<12，随机变量ξ、η相互独立，随机变量ξ的分布为−112313，η的分布为−1A．Eξ+η减小，Dξ+η增大 B．Eξ+ηC．Eξ+η增大，Dξ+η增大 D．Eξ+η【解题思路】利用数学期望和方差的性质直接求解.【解答过程】由题意可得：Eξ=−1所以Eξ+η=Eξ+Eη=−1Dξ=−1+所以Dξ+η=4p−4p2+898.互不相等的正实数x1,x2,x3,xA．EX<EYC．EX<EY【解题思路】根据题意，分x1,x2=1,2或3,4，x1,x2=【解答过程】解：因为随机变量X,Y满足：X=所以当x1,x2=1,2或3,4时，X=3,Y=2；当当x1,x2=1,4或2,3时，X23P231Y23P132所以EXDX所以EX二．多选题9．已知随机变量X满足EX=−4，DXA．E1−X=−5 C．D1−X=5 【解题思路】根据平均数和方差的知识求得正确答案.【解答过程】依题意，EX=−4，DXD1−X10．若随机变量X服从两点分布，其中PX=0=14，EX，DA．PX=1=EXC．DX=3【解题思路】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求EX，DX，再根据E4X+1【解答过程】因为随机变量X服从两点分布，且PX=0=1EX=0×1E4X+1DXD4X+1故选：ABC.11．设a∈(0,13)，随机变量X的分布列如表所示，随机变量Y=3X+2，则当a在(0,13)上增大时，下列关于X−2−10P2bb−aaA．E(Y)增大B．E(Y)先减小后增大C．D(Y)先增大后减小D．D(Y)增大【解题思路】根据分布列的性质求b，再由期望和方差公式求E(X),D(X)，再由期望和方差的性质求E(Y),D(Y)，再根据函数的性质确定E(Y)，D(Y)的单调性.【解答过程】∵2b+b−a+a=3b=1，∴b=1∴E(X)=(−2)×2故D(X)=−2−a+5又∵Y=3X+2，∴E(Y)=3E(X)+2=3a−3，所以当a在0,13上增大时，D(Y)=9D(X)=−9a2+21a+2，函数y=−9∴当a在0,13上增大时，12．2022年世界田联半程马拉松锦标赛，是扬州首次承办高规格、大规模的国际体育赛事.运动会组织委员会欲从4名男志愿者、3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，下列说法正确的有（

）A．设“抽取的3人中恰有1名女志愿者”为事件A，则PB．设“抽取的3人中至少有1名男志愿者”为事件B，则PC．用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则ED．用Y表示抽取的3人中男志愿者的人数，则D【解题思路】理解题意，利用超几何分布，求概率，求期望，求方差即可.【解答过程】对于A：从7名志愿者中抽取3人，所有可能的情况有C73=35（种），其中恰有1名女志愿者的情况有C对于B：PB对于C：由题意知X的可能取值为0，1，2，3，则PX=0=C43C73=对于D：由题可知Y的可能取值为0，1，2，3，则PY=0=PX=3=135，PY=1EY则DY三．填空题13．已知随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=0.4，设ξ=2X−3，那么E(ξ)=−2.2．【解题思路】先求出E(X)，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解.【解答过程】E(X)=1×0.4+0×(1−0.4)=0.4，E(ξ)=2E(X)−3=−2.2故答案为：−2.2.14．随机变量X的分布列如表所示，若EX=13X－101P1ab【解题思路】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出a，b，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得．【解答过程】依题意可得a+b+16=1−1×16+0×a+1×b=15．袋中有1个白球，2个黄球，2个红球，这5个小球除颜色外完全相同，每次不放回地从中取出1个球，取出白球即停，记X为取出的球中黄球数与红球数之差，则E(X)=0.【解题思路】按照取出的球的顺序罗列出X=0,X=−1;X=1,X=−2;X=2五种可能取值，针对每一种取值分别求概率即可得出结论.【解答过程】PX=0PX=1=PX=−1故E(X)=0×816．已知A，B两个不透明的盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A盒中有m0<m<10个红球与10−m个白球，B盒中有10−m个红球与m个白球，若从A，B两盒中各取1个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当Dξ取到最大值时，m的值为【解题思路】写出随机变量ξ的可能取值，求出对应概率，再根据期望和方差公式求出期望与方差，从而可得出答案.【解答过程】解：ξ的可能取值为0，1，2，Pξ=0Pξ=1=10−m10⋅ξ012Pm10−mmEξD=m10−m50所以当Dξ取到最大值时，m四．解答题17．已知随机变量X的分布列为X−2−1012P111m1（1）求E（2）若Y=2X−3，求EY【解题思路】（1）由分布列求出m的值，再根据随机变量X期望公式可得答案；（2）由EY=aX+b【解答过程】（1）由分布列得14+1EX（2）若Y=2X−3，则EY18．已知随机变量X的分布列如表所示，且E(X)=2X01xP11p(1)求D(X)的值；(2)若Y=X+4，求D(Y)的值；(3)若Z=2−3X，求D(Z)的值．【解题思路】（1）利用离散型随机变量的分布列的性质以及期望和方差的计算公式即可求解；（2）利用方差的性质求解即可；（3）利用方差的性质求解即可.【解答过程】（1）由题意可知12+1又∵E(X)=0×12+1×∴D(X)=0−（2）∵Y=X+4，∴D(Y)=D(X)=5（3）∵Z=2−3X，∴D(Z)=D2−3X19．第二十二届世界足球赛于2022年11月21日在卡塔尔举行，是历史上首次在中东国家境内举行，也是第二次再亚洲举行的世界杯足球赛，在此火热氛围中，某商场设计了一款足球游戏：场地上共有大、小2个球门，大门和小门依次射门，射进大门后才能进行小门射球，两次均进球后可得到一个世界杯吉祥物“拉伊卜”．已知甲、乙、丙3位顾客射进大门的概率均为34，射进小门的概率依次为23，13(1)求这3人中至少有2人射进大门的概率；(2)记这3人中得到“拉伊卜”的人数为X，求X的分布列及期望．【解题思路】(1)根据二项分布求概率公式计算即可求解；(2)分别求出甲和乙、丙获得“拉伊卜”的概率，再求出P(X=0)、P(X=1)、P(X=2)、P(X=3)，列出分布列，结合数学期望的求法即可求解.【解答过程】（1）设三人中射进大门的人数为Y，则Y~B3,∴P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=C（2）甲获得“拉伊卜”的概率p1=P(X=0)=1−1P(X=2)=C21∴X的分布列如下：X0123P91571∴E(X)=0⋅920．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取5个，求恰好有2个水果是礼品果的概率（结果用分数表示）；(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，方案1：不分类卖出，单价为21元/kg方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级标准果优质果精品果礼品果售价（元/16182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及方差DX【解题思路】（1）根据题意结合二项分布运算求解；（2）根据加权平均数求方案二的平均单价，结合题意分析判断；（3）先根据分层抽样求各层应抽取的样本个数，再结合超几何分布求分布列和方差.【解答过程】（1）记“从这100个水果中随机抽取1个，这个水果是礼品果”为事件A，则PA从这100个水果中有放回地随机抽取5个，设礼品果的个数为Y，则Y∼B5,故恰好有2个水果是礼品果的概率PY=2（2）方案2：每公斤的单价为x=16×∵21>20.6，故从采购商的角度考虑，应该采用第二种方案.（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，则标准果、优质果、精品果、礼品果应抽取的个数分别为1,3,4,2，即4个精品果，6个非精品果，由题意可得：X的可能取值有：0,1,2,3，则有：PX=0=CX0123P1131则EXDX21．某知名电脑品牌为了解客户对其旗下的三种型号电脑的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如表：电脑型号ⅠⅡⅢ回访客户（人数）250400350满意度0.50.40.6满意度是指，回访客户中，满意人数与总人数的比值.用满意度来估计每种型号电脑客户对该型号电脑满意的概率，且假设客户是否满意相互独立.（1）从型号Ⅰ和型号Ⅱ电脑的所有客户中各随机抽取1人，记其中满意的人数为X，求X的分布列和期望；（2）用“ξ1=1”，“ξ2=1”，“ξ3=1”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户满意，“ξ1=0”，“ξ2【解题思路】（1）由题意得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.（2）由题意ξ1，ξ2，ξ3【解答过程】解：（1）由题意得X的可能取值为0，1，2，设事件A为“从型号Ⅰ电脑所有客户中随机抽取的人满意”，事件B为“从型号Ⅱ电脑所有客户中随机抽取的人满意”，且A，B为独立事件，根据题意，PA=12，PX=1PX=2=PAB=PX012P311EX（2）由题意ξ1，ξ2，ξ3Dξ2=∴Dξ22．在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：策略A：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分；策略B：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分．本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策