（人教A版）选择性必修三高中数学同步考点讲与练专题7.3 离散型随机变量的数字特征（原卷版）

专题7.3离散型随机变量的数字特征（重难点题型精讲）1．离散型随机变量的均值(1)定义一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示：则称E(X)=+++++为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望，它反映了随机变量取值的平均水平.

(2)对均值(期望)的理解

求离散型随机变量的期望应注意：

①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.

②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.

③均值与随机变量有相同的单位.2．均值的性质若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.

特别地，当a=0时，E(b)=b；

当a=1时，E(X+b)=E(X)+b；

当b=0时，E(aX)=aE(X).3．离散型随机变量的方差、标准差(1)定义

设离散型随机变量X的分布列为则称D(X)=+++=为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为(X).

(2)意义

随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.4．方差的有关性质当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X).

特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)；

当b=0时，D(aX)=D(X).5．两点分布的均值与方差一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.【题型1均值的性质】【方法点拨】根据均值的性质，进行求解即可.【例1】设离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则E(2X−3)=（

）A．2 B．1 C．-1 D．-2【变式1-1】已知离散型随机变量X的期望EX=1，则E2X+1A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-2】已知随机变量ξξ>0满足E2−3ξ+E2A．−1或4 B．2 C．3 D．4【变式1-3】已知X的分布列为：X-101P11a设Y=2X+1，则Y的数学期望E(Y)的值是(

)A．−16 B．16 C．2【题型2方差的有关性质】【方法点拨】根据题目条件，结合方差的有关性质，进行转化求解即可.【例2】设X，Y为随机变量，且E(X)=2,EX2=6,Y=2X−1，则D(Y)=A．9 B．8 C．5 D．4【变式2-1】已知随机变量X的方差为DX=3，则D1A．9 B．3 C．13 D．【变式2-2】已知随机变量X的分布列如下：236P11a则D(3X+2）的值为（

A．2 B．6 C．8 D．18【变式2-3】已知随机变量X的分布列如下表：X−2012Pn11m若E(X)=0，则D(3X−1)=（

）A．6 B．7 C．20 D．21【题型3离散型随机变量的均值的求法】【方法点拨】第一步，理解随机变量X的意义，写出X的所有可能取值；第二步，求X取每个值时的概率；第三步，写出X的分布列，由均值的定义来求均值.【例3】已知某随机变量X的分布为X−101P0.30.2m则EX等于（

A．0.5 B．0.3 C．0.2 D．无法确定【变式3-1】已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望E(X)等于（

）X012P0.2a0.5A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3【变式3-2】设a为正实数，若随机变量X的分布列为PX=i=i2ai=1,2,3A．3 B．1 C．73 D．【变式3-3】已知离散型随机变量X的分布列如下表：X012P0.64q21－2q则E(X)=（

）A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8【题型4离散型随机变量的方差、标准差】【方法点拨】第一步，理解随机变量X的意义，写出X的所有可能取值；第二步，求X取每个值时的概率；第三步，写出X的分布列，由均值的定义来求均值.第四步，利用方差的计算公式，进行求解即可.【例4】随机变量X的分布列是X−112Pab1若E2X+1=2，则DXA．1 B．4 C．117 D．【变式4-1】已知随机变量X的分布列为：X12Pab则随机变量X的方差DX的最大值为（

A．14 B．12 C．1 【变式4-2】已知随机变量X的分布列如下表所示，若EX=2，则DXX123P1mnA．23 B．43 C．8【变式4-3】设0<m<1，随机变量的分布列为：ξ0m1Pa12a−1则当m在0,1上增大时（

）A．Dξ单调递增，最大值为12B．DC．Dξ单调递减，最小值为29D．D【题型5两点分布的均值与方差】【方法点拨】根据两点分布的定义，结合均值、方差的性质和计算公式，进行求解即可.【例5】设随机变量X服从两点分布，若PX=1−PX=0=0.4，则A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【变式5-1】已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足PX=0=29PX=1，且PA．13 B．12 C．23【变式5-2】某运动员罚球命中得1分，不中得0分，如果该运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球一次的得分X的方差为（

）A．0.14 B．0.16 C．0.18 D．0.2【变式5-3】设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)=m，令随机变量ξ=1,A发生0,A不发生，则ξ的方差A．m B．2m(1−m) C．m(m−1) D．m(1−m)【题型6均值与方差的综合应用】【方法点拨】(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型以及可能用到的事件类型和公式.(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值、方差.(3)对照实际意义，回答概率、均值、方差等所表示的结论.【例6】我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲､乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲､(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲､乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【变式6-1】为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14,1(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．【变式6-2】开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：男女支持方案一2416支持方案二2535假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.(1)从样本中抽1人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；(2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为抽出两人中女生的个数，求X的分布列与数学期望；(3)在（2）中，Y表示抽出两人中男生的个数，试判断方差DX与D【变式6-3】已知投资甲､乙两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2.经统计分析，X1表1：X0.30.180.1P0.20.50.3表2：X0.250.15P0.20.8(1)若在甲､乙两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资甲､乙两项目所获得的利润，求Y1和Y2的数学期望和方差，并由此(2)若在甲､乙两个项目总共投资100万元，求在甲､乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率=利润专题7.3离散型随机变量的数字特征（重难点题型检测）一．单选题1．下列说法正确的是（

）A．离散型随机变量的均值是0,1上的一个数B．离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平C．若离散型随机变量X的均值E(X)=2，则E(2X+1)=4D．离散型随机变量X的均值E(X)=2．设ξ的分布列如表所示，又设η=2ξ+5，则E(η)等于（

）ξ1234P1111A．76 B．176 C．1733．设随机变量X，Y满足：Y=3X−1，X∼B2,13，则DA．4 B．5 C．6 D．74．已知随机变量X的分布列如下：X12Pmn若EX=53，则A．16 B．13 C．235．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)X0123P0.20.30.4a则下列计算结果正确的是（

）A．a=0.2 B．PX≥2=0.7 C．EX=1.46．设0<a<12，随机变量X-112P11a则当DX最大时的a的值是A．14 B．316 C．17．已知0<p<12，随机变量ξ、η相互独立，随机变量ξ的分布为−112313，η的分布为−1A．Eξ+η减小，Dξ+η增大 B．Eξ+ηC．Eξ+η增大，Dξ+η增大 D．Eξ+η8.互不相等的正实数x1,x2,x3,xA．EX<EYC．EX<EY二．多选题9．已知随机变量X满足EX=−4，DXA．E1−X=−5 C．D1−X=5 10．若随机变量X服从两点分布，其中PX=0=14，EX，DA．PX=1=EXC．DX=311．设a∈(0,13)，随机变量X的分布列如表所示，随机变量Y=3X+2，则当a在(0,13)上增大时，下列关于X−2−10P2bb−aaA．E(Y)增大B．E(Y)先减小后增大C．D(Y)先增大后减小D．D(Y)增大12．2022年世界田联半程马拉松锦标赛，是扬州首次承办高规格、大规模的国际体育赛事.运动会组织委员会欲从4名男志愿者、3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，下列说法正确的有（

）A．设“抽取的3人中恰有1名女志愿者”为事件A，则PB．设“抽取的3人中至少有1名男志愿者”为事件B，则PC．用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则ED．用Y表示抽取的3人中男志愿者的人数，则D三．填空题13．已知随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=0.4，设ξ=2X−3，那么E(ξ)=．14．随机变量X的分布列如表所示，若EX=13，则D(3X−2)=X－101P1ab15．袋中有1个白球，2个黄球，2个红球，这5个小球除颜色外完全相同，每次不放回地从中取出1个球，取出白球即停，记X为取出的球中黄球数与红球数之差，则E(X)=.16．已知A，B两个不透明的盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A盒中有m0<m<10个红球与10−m个白球，B盒中有10−m个红球与m个白球，若从A，B两盒中各取1个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当Dξ取到最大值时，m的值为四．解答题17．已知随机变量X的分布列为X−2−1012P111m1（1）求E（2）若Y=2X−3，求EY18．已知随机变量X的分布列如表所示，且E(X)=2X01xP11p(1)求D(X)的值；(2)若Y=X+4，求D(Y)的值；(3)若Z=2−3X，求D(Z)的值．19．第二十二届世界足球赛于2022年11月21日在卡塔尔举行，是历史上首次在中东国家境内举行，也是第二次再亚洲举行的世界杯足球赛，在此火热氛围中，某商场设计了一款足球游戏：场地上共有大、小2个球门，大门和小门依次射门，射进大门后才能进行小门射球，两次均进球后可得到一个世界杯吉祥物“拉伊卜”．已知甲、乙、丙3位顾客射进大门的概率均为34，射进小门的概率依次为23，13(1)求这3人中至少有2人射进大门的概率；(2)记这3人中得到“拉伊卜”的人数为X，求X的分布列及期望．20．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取5个，求恰好有2个水果是礼品果的概率（结果用分数表示）；(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，方案1：不分类卖出，单价为21元/kg方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级标准果优质果精品果礼品果售价（元/16182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及方差DX21．某知名电脑品牌为了解