（人教A版）选择性必修三高中数学同步考点讲与练专题7.4 二项分布与超几何分布（原卷版）

专题7.4二项分布与超几何分布（重难点题型精讲）1．伯努利试验(1)伯努利试验的概念

把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.

(2)n重伯努利试验的两个特征

①同一个伯努利试验重复做n次；

②各次试验的结果相互独立.2．二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p).3．二项分布的期望与方差一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).4．超几何分布(1)定义

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np.

(2)求超几何分布的分布列

①判断随机变量是不是服从超几何分布；

②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义.5．超几何分布与二项分布的关系(1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的.

(2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布.【题型1二项分布的概率计算】【方法点拨】对于二项分布的概率计算问题，根据二项分布的定义及二项分布的分布列，进行求解即可.【例1】已知随机变量X服从二项分布X∼B6,13，则PA．1316 B．4243 C．13243【变式1-1】已知随机变量X~B2,p，Y服从两点分布，若PX≥1=0.64，PA．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【变式1-2】设随机变量X~B(2,p)，若P(X≥1)=59，则p的值为（A．13 B．23 C．53【变式1-3】设随机变量ξ~B2,   p，η~B4,   p，若A．8081 B．6581 C．5581【题型2二项分布的期望与方差】【方法点拨】根据题目条件，结合二项分布的期望与方差公式，进行转化求解即可.【例2】已知随机变量X服从二项分布B12,p，若E2X−3=5，则DA．83 B．8 C．12 【变式2-1】德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路､计算机等领域.某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数A=a1a2a3a4，其中aii=1,2,3,4出现0的概率为13A．43 B．2 C．83【变式2-2】已知随机变量ξ+η=8，若ξ∼B(10,0.3)，则E(η),D(η)分别是（

）A．4和2.4 B．5和2.1 C．2和2.4 D．4和5.6【变式2-3】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4，且P(X=4)<P(X=6)，则E(X)=（

）A．6 B．5 C．4 D．3【题型3二项分布中的最大值问题】【方法点拨】对于二项分布中的最值问题，结合P(X=k)的单调性确定P(X=k)的最大值和对应的k的值，进行求解即可.【例3】某人在11次射击中击中目标的次数为X，若X~B11,0.8，若PX=k最大，则k＝（A．7 B．8 C．9 D．10【变式3-1】若X∼B10,12，则P(X=k)取得最大值时，k=A．4 B．5 C．6 D．5或6【变式3-2】已知X∼Bn,p，若4PX=2=3PX=3，则A．56 B．45 C．34【变式3-3】经检测有一批产品合格率为34，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P(ξ=k)取得最大值时k的值为（

A．2 B．3 C．4 D．5【题型4超几何分布的判断】【方法点拨】对于所给的随机变量X，根据超几何分布的定义来进行判断即可.【例4】下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（

）A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为XB．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为XC．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X【变式4-1】一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②X表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；④X表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④【变式4-2】在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（

）A．N＝15，M＝7，n＝10B．N＝15，M＝10，n＝7C．N＝22，M＝10，n＝7D．N＝22，M＝7，n＝10【变式4-3】一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从（

）A．二项分布，且EX=8 C．超几何分布，且EX=8 【题型5二项分布的实际应用】【方法点拨】利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤：(1)根据题意设出随机变量；(2)分析随机变量是否服从二项分布；(3)若服从二项分布，则求出参数n和p的值；(4)根据需要列出相关式子并解决问题.【例5】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，期望EX=3，方差(1)求n和p的值，并写出X的分布列.；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．【变式5-1】某公园种植了4棵棕榈树，各棵棕榈树成活与否是相互独立的，且成活率均为23，设ξ(1)求ξ的分布列；(2)若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活，则需要补种，求需要补种棕榈树的概率.【变式5-2】新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．(1)设A类服装单件销售价格为ξ元，B类服装单件销售价格为η元，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）的大小；(2)某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率均为13．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，若P(X≤n)≤0.5(n∈N)【变式5-3】2022年冬奥会刚刚结束，比赛涉及到的各项运动让人们津津乐道．高山滑雪（A1pineSkiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具，从山上向山下，沿着旗门设定的赛道滑下的雪上竞速运动项目．冬季奥运会高山滑雪设男子项目、女子项目、混合项日．其中，男子项目设滑降、回转、大回转、超级大回转、全能5个小项，其中回转和大回转属技术项目．现有90名运动员参加该项目的比赛，组委会根据报名人数制定如下比赛规则：根据第一轮比赛的成绩，排名在前30位的运动员进入胜者组，直接进入第二轮比赛，排名在后60位的运动员进入败者组进行一场加赛，加赛排名在前10位的运动员从败者组复活，进入第二轮比赛．现已知每位参赛运动员水平相当．(1)求每位运动员进入胜者组的概率，及每位败者组运动员复活的概率；(2)从所有参赛的运动员中随机抽取5人，设这5人中进入胜者组的人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)从败者组中选取10人，其中最有可能有多少人能复活？试用你所学过的数学和统计学理论进行分析．【题型6超几何分布的实际应用】【方法点拨】利用超几何分布模型解决实际问题的一般步骤：(1)根据题意设出随机变量；(2)分析随机变量是否服从超几何分布；(3)若服从超几何分布，则求出随机变量的概率及分布列；(4)根据需要列出相关式子并解决问题.【例6】北京时间2月20日，北京2022年冬奥会闭幕式在国家体育场举行.北京2022年冬奥会的举行激发了人们的冰雪兴趣，带火了冬季旅游，某旅游平台计划在注册会员中调查对冰雪运动的爱好情况，其中男会员有1000名，女会员有800名，用分层抽样的方法随机抽取36名会员进行详细调查，调查结果发现抽取的这36名会员中喜欢冰雪运动的男会员有8人，女会员有4人.(1)在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有多少人？(2)在抽取的喜欢冰雪运动的会员中任选3人，记选出的3人中男会员有X人，求随机变量X的分布列与数学期望.【变式6-1】为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游4名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这9名导游中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率；(2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.【变式6-2】近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）．厨余垃圾桶可回收物桶其他垃圾桶厨余垃圾602020可回收物104010其他垃圾3040170(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率P；(2)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设X为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量X的分布列及数学期望．【变式6-3】为了解昆山震川高级中学中学高二年级学生身视力情况，对高二年级（1）班—（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行视力监测．经统计，每班10名学生中视力监测成绩达到优秀的人数统计如下：班号12345678人数86947598(1)若用散点图预测高二年级学生视力情况，从高二年级学生中任意抽测1人，求该生视力监测成绩达到优秀的概率；(2)若从以上统计的高二（2）班的10名学生中按分层抽样抽出5人，再从5人中任取2人，设X表示2人中视力监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列及其数学期望；(3)假设每个班学生视力优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的视力优秀率相等．现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“ξk=1”表示第k班抽到的这名同学视力优秀，“ξk=0”表示第k班抽到的这名同学视力不是优秀（k=1，2，，8）．写出方差Dξ1，专题7.4二项分布与超几何分布（重难点题型检测）一．单选题1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（

）A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为XB．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为XC．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X2．已知随机变量X∼B(n,p)，若E(X)=1,D(X)=45，则P(X=3)=（A．643125 B．128625 C．1253．设随机变量X，Y满足：Y=3X−1，X∼B2,p，若PX≥1=59A．3 B．13 C．4 D．4．若X～B(6,12)，则使P(X＝k)最大的kA．2 B．3 C．2或3 D．45．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（

）A．P(X=1)=25 B．随机变量C．随机变量X服从几何分布 D．E6．已知随机变量ξiξ012P1−2p其中i=1，2，若12<pA．Eξ1<Eξ2，DC．Eξ1>Eξ2，D7．为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为19，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一轮中有4件产品，记一箱产品获利X元，则PX≥−80A．96625 B．256625 C．6086258．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出n1≤n≤6,n∈N∗个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着nA．Eξ增加，Dξ增加 B．Eξ增加，Dξ减小C．Eξ减小，Dξ增加 D．Eξ减小，Dξ减小二．多选题9．某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，k=0，1，2，3．则下列判断正确的是（

）A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布C．P(X=k)<P(Y=k) D．E(X)=E(Y)10．某计算机程序每运行一次都随机出现一个n位二进制数A=a1a2a3a4⋯an，其中A．PX=0=1C．X的数学期望EX=n2 11．已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为ξ，Pξ=1=1645，A．这10件产品的次品率为20% B．次品数为8件C．Eξ=0.4 12．学校食坣每天中都会提供A,B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为23，选择B套餐的概率为13.而前一天选择了A套餐的学生第二天诜择A套餐的概率为14，选择B套餐的概率为34；前一天选择B套餐的学生第一天选择A套餐的概率为12，选择B套餐的概率也是12，如此往复.记某同学第n天选择A套餐的概率为An，选择B套餐的概率为Bn.一个月（30天）后，记甲､乙A．An+BnC．PX=1≈0.288 三．填空题13．已知随机变量ξ∼B5,p，且Eξ=10914．设随机变量ξ~B(2,p),η~B(3,p)，若P(ξ≥1)=59，则P(η≥2)=15．袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则E(X)=16．在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为p(0<p<1)，若当p=p0时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则p0=四．解答题17．写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？（1）X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数．（2）X2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和．（3）有一批产品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件数为X3．（4）有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X4(N－M>n>0)．18．2022年10月1日，某超市举行“迎国庆促销抽奖活动”，所有购物的顾客，以收银台机打发票为准，尾数为偶数（尾数中的奇偶数随机出现）的顾客，可以获得三次抽奖，三次抽奖获得奖品的概率分别为12，13，(1)求顾客获得两个奖品的概率；(2)若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为X，求X的分布列与数学期望.19．某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，竞赛成绩的频率分布表如下：竞赛成绩50,6060,7070,8080,9090,100频率0.080.240.360.200.12(1)估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)已知样本中竞赛成绩在50,60的男生有2人，从样本中竞赛成绩在50,60的学生中随机抽取3人进行调查，记抽取的男生人数为X，求X的分布列及期望.20．高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：时间（x小时/周）00<x≤0.50.5<x≤1x>1人数20403010(1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生