（人教A版）选择性必修三高中数学同步考点讲与练专题8.1 成对数据的统计相关性（原卷版）

专题8.1成对数据的统计相关性（重难点题型精讲）1．变量的相关关系(1)函数关系

函数关系是一种确定性关系，常用解析式来表示.

(2)相关关系

两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.2．散点图(1)散点图

成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图.

(2)正相关和负相关

如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关.3．线性相关一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，则称这两个变量线性相关.4．样本相关系数(1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(,)，(,)，，(,)，利用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式：（其中，，，和，，，的均值分别为和）.①当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大.

②当r<0时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小.【题型1变量间的相关关系】【方法点拨】根据变量间的相关关系的定义，进行判断求解即可.【例1】下列两个量之间的关系是相关关系的是（

）A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高C．儿童的年龄与体重 D．物体的体积和质量【变式1-1】下列说法正确的是（

）A．y=2x2+1中的xB．正四面体的体积与棱长具有相关关系C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系D．传染病医院感染传染病的医务人员数与医院收治的传染病人数是具有相关关系的两个变量【变式1-2】有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③立方体的棱长和体积.其中两个变量成正相关的是（

）A．①③ B．②③C．② D．③【变式1-3】下列说法正确的是（

）A．任何两个变量都具有相关关系B．球的体积与该球的半径具有相关关系C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系【题型2利用散点图判断相关性】【方法点拨】根据所给的散点图，研究两个变量之间的相关关系，进行求解即可.【例2】对变量x、y由观测数据得散点图1，对变量y、z由观测数据得散点图2.由这两个散点图可以判断（

）A．变量x与y负相关，x与z正相关B．变量x与y负相关，x与z负相关C．变量x与y正相关，x与z正相关D．变量x与y正相关，x与z负相关【变式2-1】在下列各散点图中，两个变量具有正相关关系的是（

）A． B．C． D．【变式2-2】某中学的兴趣小组在某座山测得海拔高度､气压､沸点的六组数据，并绘制出如图所示的散点图，下列说法错误的是（

）A．气压与海拔高度呈负相关 B．沸点与气压呈正相关C．沸点与海拔高度呈正相关 D．沸点与海拔高度的相关性很强【变式2-3】对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（

）A．r2<rC．r4<r【题型3样本相关系数的意义】【方法点拨】对于所给题目，根据样本相关系数的定义和有关概念来进行判断，即可得解.【例3】两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关系数r如下表，其中拟合效果最好的模型是（

）模型模型1模型2模型3模型4相关系数r0.480.960.150.30A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4【变式3-1】对于样本相关系数，下列说法错误的是（

）A．样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性B．样本相关系数可以是正的，也可以是负的C．样本相关系数r∈D．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强【变式3-2】下列有关样本线性相关系数r的说法，错误的是（）A．相关系数r可用来衡量x与y之间的线性相关程度B．r≤1，且rC．r≤1，且rD．r≤1，且r【变式3-3】对于样本相关系数r，下列说法不正确的是（

）A．样本相关系数r可以用来判断成对数据相关的正负性B．样本相关系数r∈[−1,1]C．当r=0时，表明成对样本数据间没有线性相关关系D．样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度也越强【题型4样本相关系数的应用】【方法点拨】样本相关系数是对两个变量相关程度进行定量刻画，|r|越大，表明两个变量之间的线性相关程度越强，运用样本相关系数进行判断的一般步骤如下：(1)整理数据，求出相关值；(2)计算样本相关系数；(3)得出结论.【例4】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得i=120xi=60，i=120yi(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；(2)求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（附：相关系数r=i=1n(x【变式4-1】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据xi,yi(i=1,2,⋯,20)，其中xi和yi分别表示第i(1)估计该地区这种野生动物的数量；(2)求样本xi【变式4-2】下图是我国2014年至2021年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．（注：年份代码1~7分别对应年份2014~2021.）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系．请求出相关系数r，并用相关系数的大小说明y与t相关性的强弱．参考数据和公式：i=17yi=10.97，i=17【变式4-3】为调查野生动物保护地某种野生动物的数量，将保护地分成面积相近的300个地块，并设计两种抽样方案．方案一：在该地区应用简单随机抽样的方法抽取30个作为样本区，依据抽样数据计算得到相应的相关系数r=0.81；方案二：在该地区应用分层抽样的方法抽取30个作为样本区，调查得到样本数据xi,yii=1,2,⋅⋅⋅,30，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得i=130x(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；(2)求方案二抽取的样本xi,y附：若相关系数r∈0.75,1则相关性很强，专题8.1成对数据的统计相关性（重难点题型检测）一．单选题1．对两变量间的关系，下列论述正确的是（

）A．任何两个变量都具有相关关系B．正方形的面积与该正方形的边长具有相关关系C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系2．下列说法正确的是（

）A．圆的面积与半径之间的关系是相关关系B．粮食产量与施肥量之间的关系是函数关系C．一定范围内，学生的成绩与学习时间成正相关关系D．人的体重与视力成负相关关系3．在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合最好的模型是（

A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R24．已知r1表示变量X与Y之间的线性相关系数，r2表示变量U与V之间的线性相关系数，且r1＝0.837，r2＝﹣0.957，则（

）A．变量X与Y之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性B．变量X与Y之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性C．变量U与V之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性D．变量U与V之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性5．下列命题中正确的为（）A．相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强 B．相关系数r越小，两个变量的线性相关性越弱C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D．用相关指数R2来刻画回归效果，R6．若已知i=1nxi−x2是i=1nyiA．21.2 B．1.22 C．0.927．相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程y=b1x+a1，相关系数为r1；方案二：剔除点10,32，根据剩下的数据得到回归直线方程A．0<r1<C．−1<r1<8．给出下列结论：在回归分析中（1）可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R（2）可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；（3）可用相关系数r的值判断模型的拟合效果，r越大，模型的拟合效果越好；（4）可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高.以上结论中，不正确的是（

）A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（3）（4）二．多选题9．在下列各量之间，存在相关关系的是（

）.A．正方体的体积与棱长之间的关系B．一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系C．人的身高与年龄之间的关系D．某户家庭用电量与电价之间的关系10．某同学用搜集到的六组数据xi,yii=1,2,⋯,6绘制了如下散点图，在这六个点中去掉BA．决定系数R2变小 B．相关系数rC．残差平方和变小 D．解释变量x与预报变量y相关性变弱11．对两个变量x与y进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据:x1,yA．若所有样本点都在直线y=−x+1上，则两个变量的样本相关系数为r=1B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．若r越大，则变量x与y的线性相关性越强D．若r越小，则变量x与y的线性相关性越强12．某校高三1班48名物理方向的学生在一次质量检测中，语文成绩、数学成绩与六科总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，“”表示的是该班甲、乙、丙三位同学对应的点.从这次考试的成绩看，下列结论正确的是（

）A．该班六科总成绩排名前6的同学语文成绩比数学成绩排名更好B．在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是语文C．数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强D．在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前的学生是甲三．填空题13．有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②学生与他（她）的学号之间的关系；③森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；④曲线上的点与该点的坐标之间的关系．其中有相关关系的是．（填上你认为正确的所有序号）14．对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图．关于其相关系数的大小比较，将0、r1、r2、r3、r4从小到大排列，应为15．变量X与Y相对应的一组数据为：(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，是则r1与r2的大小关系是16．某中学统计了2011~2021这11年本校学生参加高考数学均分、英语均分、总分均分，得到如表所示的表格：年份20112012201320142015201620172018201920202021数学x（分）7577797480817783808281英语m（分）959810010110210310198107106100总分y（分）473481479485490487478492488493489从表中可知，数学和英语这两科中与总分相关性较高的是.四．解答题17．判断下列两个变量之间是否具有相关关系：(1)月平均气温与家庭月用电量；(2)一天中的最高气温与最低气温；(3)某企业生产的一种商品的销量与其广告费用；(4)谷物的价格与牛肉的价格；(5)在公式LW=12中的L与W．18．某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x（单位：年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如下表所示：使用年限x（单位：年）24568失效费y（单位：万元）34567根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性的强弱．（已知若0.75≤r≤1，则认为y与x线性相关性很强；若0.3≤r<0.75，则认为y与x线性相关性一般；若r<0.3，则认为y19．科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表：x（年龄/岁）26273941495356586061y（脂肪含量/%）14.517.821.225.926.329.631.433.535.234.6根据上表的数据得到下图的散点图．根据上表中的样本数据及其散点图，计算样本相关系数（精确到0.01），并描述它们的相关程度．附：参考数据：y=27，i=110xiyi=13527.8参考公式：相关系数r=i=120．“海水稻”就是耐盐碱水稻，是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区，具有耐盐碱的水稻，它比其它普通的水稻均有更强的生存竞争能力，具有抗涝，抗病虫害，抗倒伏等特点，还具有预防和治疗多种疾病的功效，防癌效果尤为显著.海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的线性回归方程为y=海水浓度xi34567亩产量yi0.620.580.490.40.31残差e（1）请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种的亩产量.（2）①完成上述残差表：②统计学中，常用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大，模型拟合效果越好，并用它来说明预报变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，利用统计学的相关知识，说明浇灌海水浓度对亩产量的贡献率？（计算中数据精确到(附：残差公式ei=y21．某学校组织学生观看了“天宫课堂”第二课的直播后，极大地激发了学生学习科学知识的兴趣，提高