导数的运算（五大题型）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（解析版）

.2导数的运算题型一基本初等函数的导数公式1．曲线在点处的切线l过定点（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，写出切线方程，即可求得直线经过的定点.【详解】令函数，则，故，所以l的方程为，整理得，所以l经过定点．故选：D．2．若函数，则．【答案】【分析】由题知，则，再利用导数的概念求解即可．【详解】因为，，所以．故答案为：．3．若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线．(1)分别求和在交点处的切线方程；(2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标．【答案】(1)；；(2)；.【分析】（1）根据导数的几何意义直接求切线方程可得；（2）根据公切线的定义可求得公切点，进而可得所求结果.【详解】（1）联立，解得或（舍去），所以交点坐标为．对求导，可得，将代入，得切线斜率．切线方程，即.对求导，，将，得切线斜率．切线方程，即.所以交点处的切线方程为，.（2）设公切点．对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率．对求导，可得，则在点处的切线斜率.因为两函数在点处存在公切线，所以，即①．又因为点在两函数图象上，所以②．由①得，将其代入②可得：，即，解得.将代入（1）得：，解得.将代入得.所以，点的坐标为．4．对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义．(1)设，求；(2)设，若函数在处的切线经过（），求的值并求出集合；(3)若且，求．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）首先根据的解析式求导，并求出和，然后列出不等式，不等式的解集即是.（2）首先对函数求导，根据已知条件求出的值，然后将其对应的函数值和导数值代入不等式中，求出不等式的解集即为.（3）首先根据已知条件列出的表达式，然后求出的关系，然后求出的关系，最后得出的关系.【详解】（1）对求导有，所以，，因此，求解不等式有，由于该式对于任意均成立，所以.（2）对求导有，则在处的切线方程为，将点代入方程可得，解得或，由于，所以.所以，.因此.将不等式化简得：，化简得.解得，所以.（3）先证明：设，则，所以在上的最大值为，进而，因此.再证明：根据和，分别推出和，由不等式性质可得，，即.由于在和处的切线为和，所以在和处的切线重合.因此，.题型二导数的运算法则5．已知函数的导函数为，若，则（

）A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】先求出函数的导函数，再令得的值，代入，令可得答案.【详解】由，得，令得：，解得，所以，.故选：A.6．已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为.【答案】3【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义列出关于a的方程，即可求得答案.【详解】由可得，故曲线在处的切线的斜率为，由于该切线与直线垂直，故，故答案为：37．已知函数，其导函数的图象与轴交于，两点，．(1)求的值；(2)求过点的曲线的切线方程．【答案】(1)1(2)，【分析】（1）由题意是方程的两根，根据韦达定理列方程即可求解；（2）设切点为，由题意，且，，故只需求得切点坐标即可进一步求解.【详解】（1）因为，的图象过点，，，所以，得.（2）点在三次曲线上，设切点为，由切线过原点可列方程得，且由，得，即，解得或，又，，所以所求切线方程为，．8．设.(1)求函数的定义域；(2)当时，求函数在点处的切线方程【答案】(1)(2)【分析】（1）分析出要使函数有意义，须满足真数，即可得解；（2）当时，确定的解析式，利用导数求出在处的斜率，即可求出切线方程.【详解】（1）要使函数有意义，须满足真数，所以函数的定义域为；（2）当时，，则，所以，又，所以函数在点处的切线方程为.题型三导数的加减法9．已知函数，则的值为（）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】求导可得，令求解即可.【详解】因为，则，令可得，解得.故选：D.10．曲线在点处的切线的倾斜角为．【答案】【分析】求导，根据导数的几何意义可得斜率，进而可得倾斜角.【详解】因为，则，当时，，即切线斜率，又因为倾斜角，所以倾斜角.故答案为：.11．已知，函数的图象记为曲线．(1)若点在曲线上，求；(2)在（1）中的条件下，求过点与曲线相切的直线方程；(3)若时均有恒成立，求的值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）由可得出关于的方程，结合可解出的值；（2）设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程；（3）对的符号进行分类讨论，分析可知方程有一负根和一正根，可得出，然后对的取值分类讨论求解即可.【详解】（1）因为的图象记为曲线，若点在曲线上，则，即，因为，解得，故.（2）由（1）可得，设切点为，，所以切线斜率为，切线方程为，将点的坐标代入切线方程得，整理得，即，解得或，当时，所求切线方程为；当时，所求切线方程为.综上所述，所求切线方程为或.（3）对任意的，恒有，分以下几种情况讨论：①当时，即当时，，故当时，，不符合题意；②当且时，即当时，对于方程，，即方程必有两个不等的实根、，设，由韦达定理可得，必有，此时，对任意的，因为，则，，要使得恒成立，即恒成立，只需，故方程的一个根为，所以，因为，解得；③当且时，即当时，由②可知，对任意的，，，当时，，当时，，不符合题意.综上所述，.12．（1）求的导数；（2）求的导数；（3）求的导数；（4）求的导数．【答案】（1）．（2）．（3）．（4）．【分析】（1）展开后利用求导法则求导；（2）展开后利用求导法则求导；（3）使用三角公式化简后利用求导法则求导；（4）利用求导法则求导.【详解】（1），．（2），．（3）先使用三角公式进行化简.，．（4）．题型三导数的乘除法13．已知函数，若，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由求出，再由求出的值.【详解】因为，所以，则，解得.故选：A.14．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的一个值是.【答案】0（或1，两者任选1个即可）【分析】求导，得到切线方程，联立，分与，结合根的判别式得到答案.【详解】，当时，，故在点处的切线方程为，联立与得，当时，，，只有1个公共点，满足要求；当时，由，解得，综上实数a的一个值可以为0，也可以是1故答案为：0（或1，两者任选1个即可）15．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若直线与曲线相切于点，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程即可；（2）由题设，结合导数的几何意义有，列方程求得，即可得.【详解】（1），则，，因此，曲线在点处的切线方程为，即.（2）直线过原点，则，由点在曲线上，得，，又，所以.，整理得，，，则.16．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若直线是曲线的一条切线，求切点的坐标；(3)设函数为曲线上任意一点，求曲线C在点P处的切线斜率的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；（2）设切线坐标，进而可得切线方程，结合题意列方程求解即可；（3）构建，求导结合基本不等式运算求解.【详解】（1）因为，则，可得，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为.（2）切线即为，设切点坐标为，切线斜率，则切线方程为，即，可得，消去可得，且，则，可得，，所以切点坐标为.（3）由（1）可知：，，构建，可知的定义域为，且，可得曲线C在点P处的切线斜率当且仅当，时，等号成立，所以曲线C在点P处的切线斜率的最小值为.题型五简单复合函数的导数17．已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（

）A．6 B．4 C．2 D．0【答案】A【分析】依题意可得，再由为奇函数，得到，两边求导，得到，即可求出是以为周期的周期函数，再由及周期性计算可得.【详解】因为，，所以，，则，即，又为奇函数，所以，所以，即，所以，所以，所以是以为周期的周期函数，所以，，，又，所以，，即，所以.故选：A18．已知函数，则曲线在点处的切线方程为．【答案】【分析】利用导数的几何意义和点斜式写出直线方程即可．【详解】由题意对函数求导得，则，，所以曲线在点处的切线方程为，即．故答案为：．19．已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和.(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）求赋值代入计算即可，求需要先求出的导数然后赋值代入计算即可.（2）求赋值代入计算即可，求需要