备战2026高考数学-八大专项41小项助你死磕直线圆锥曲线2基础知识抛物线1

8抛物线8.1抛物线的定义抛物线的定义平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离点的轨迹；其中，定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线．注(1)

抛物线的定义，其实质可归结为“一动三定”．一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值(点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1)．(2)

定点，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．8.2抛物线的基本参数下面以抛物线标准方程为例，焦点在x轴上，开口向右；p的几何意义参数p是焦点到准线的距离，称为焦准距，故p恒为正数．顶点为原点，以x轴为对称轴，且没有对称中心，焦点为，准线为，由于抛物线的离心率e都等于1，故抛物线通径为；焦半径，实质就是抛物线的定义．焦点弦；特殊地，当时，为通径．【极坐标秒之】抛物线的其他标准方程如，焦点在轴上，开口向左；，焦点在轴上，开口向上；，焦点在轴上，开口向下，和以上类似，不再赘述．抛物线和椭圆、双曲线的比较(1)

抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它无中心，也没有渐近线．(2)

椭圆、双曲线都有中心，它们均可称为有心圆锥曲线；抛物线没有中心，称为无心圆锥曲线．选学拓展抛物线的一般形式的几何分析二次函数的图象是抛物线，顶点坐标为；焦点的坐标为；准线方程是．焦点的横（纵）坐标是一次项系数的．准线与坐标轴的交点与抛物线的焦点关于顶点对称．【平移思想理解】例(2008全国卷Ⅰ文理)已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．答案2．解的焦点为，故，进而易得三角形的面积为2．方程的求解例根据条件求顶点在原点的抛物线的标准方程：(1)

关于y轴对称，并且经过点；(2)

过点．答案(1)

可设抛物线的标准方程是，代入点．(2)

可设抛物线的标准方程是或，代入点或．注本题关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法即可求出其标准方程.例抛物线的准线与直线的距离为2，则抛物线的方程为.答案或．例A为抛物线上一点，F为焦点，，求过点F且与OA垂直的直线l的方程．答案或．解设，则，即点A的坐标是或，进而易得直线l的方程：或．例已知抛物线上有一点的横坐标为，这点到准线的距离为6，则抛物线的方程为()．A． B．或 C． D．或答案选B．解设此点为，则，代入，解得或．例(1)(2011新课标文)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()．A．18 B．24 C．36 D．48(2)(2005上海理)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()．A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在答案(1)

选B；(2)

选B；．解(1)

是通径，故，即，故．(2)由于，大于通径，故选B．例(2012陕西文压轴、理)如图所示，是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面为，水面宽，水位下降后，水面宽．答案．解建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，l与x抛物线的交点为，代入坐标，解得，即，水位下降1m，则，此时，故水面宽为．例(2015新课标Ⅰ文)已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，A、B是C的准线与E的两个交点，则()．A．3 B．6 C．9 D．12答案选．解选B；例(2014山东文压轴)已知双曲线的焦距为，右顶点为A，抛物线的焦点为F．若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为．答案．解.例(2013山东文理)抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点M．若在点M处的切线平行于的一条渐近线，则()．A． B． C． D．答案选D．解由于，故，可得，代入，解得D．例(2013江西理压轴)抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则．例(2012新课标文理)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线的准线交于A、B两点，，则C的实轴长为()．A． B． C．4 D．8答案选C．解根据对称性，易得到，，代入.，故选C．例(2012山东文)已知双曲线的离心率为2．若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为()．A． B． C． D．答案选D．解，故渐近线为，故，可得D．定义的应用例(2011广东文)设圆C与圆外切，与直线相切，则C的圆心轨迹为()．A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆答案选A．解C的圆心到点的距离与她到直线的距离相等，故选A．例(2017全国Ⅱ理压轴)已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则．答案6．解，设，，则，利用抛物线定义，易得．例(2012天津理)己知抛物线的参数方程为（t为参数），其中，焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，若，点M的横坐标是3，则．答案2．解参数方程对应的标准方程为，易知△MEF为等边三角形，设l与x轴的交点为H，则，解得．例(2017全国Ⅱ文压轴)过抛物线的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()．A． B． C． D．答案选C．解利用抛物线的定义，结合斜率，易知△MNF为正三角形，又，因此，M到直线NF的距离为．例(2011山东理)设为抛物线上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则的取值范围是()．A． B． C． D．答案选C．解只需，即，故选C．注意是相交，不能取等号！例(2015浙江理)如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A、B、C，其中点A、B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是()．A． B． C． D．答案选A．解从应试的角度，且结合答案的形式，八成是考查抛物线的定义，故．例(2016天津理压轴)设抛物线（t为参数，）的焦点为F，准线为l．过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，AF与BC相交于点E．若，且△ACE的面积为，则p的值为_________．答案．解抛物线，即，则，由于，故，进而，其中，，可得，，可解得．例设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作l的垂线，垂足为A，设，PF与AB交于点C．若△PBC的面积为，则．答案．法一不妨设，由于，故．又，故，即，其中，解得，即，所以．例(2008四川理压轴)已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则的面积为()．A．4 B．8 C．16 D．32答案选B．解利用抛物线的定义，设点A在准线上的射影为点B，则，故直线AK的斜率为1，直线AK为，与抛物线联立，解得，…，故选B．例(2007全国Ⅰ文压轴、理)抛物线的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，，垂足为K，则的面积是()．A．4 B． C． D．8答案选．解例(2008宁夏、海南理)已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()．A． B． C． D．答案选A．解利用定义转化成到准线的距离，此时点P、Q的纵坐标都是，易得选A．例(2008辽宁理)已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()．A． B．3 C． D．答案选A．解记，，设P在抛物线准线的投影为H，则所求距离之和 ．例(2009四川理)已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值为()．A．2 B．3 C． D．答案选A．解易知最小值是焦点到直线的距离．点、直线、抛物线模型例(1)

若抛物线上只有两点到直线的距离为1，则实数k的取值范围是．(2)

设抛物线的焦点为F，斜率为k的直线l经过点F，若抛物线C上存在四个点到直线l的距离为2，则k的取值范围是()．A． B． C． D．答案(1)

；(2)选A．解(1)

当时，直线l为，符合题意；当时，设斜率为k的直线与C的切点为，利用替换法则：，故，即切点为，根据题意，只须点P到l的距离即可，解得或．综上所述，实数k的取值范围是：或或．(2)

直线l的方程为：，设到直线l距离为2的直线为：，则，解得，易知直线必定和C有两个交点，因此，只须直线和C有两个交点即可．联立：，令，易解得选A．酒杯小球酒杯小球模型已知酒杯内壁的轴截面为抛物线，在酒杯内放入一个半径为r的小球，若小球能接触到杯底，则．证明欲使得玻璃球触及杯底，只须小球的截面圆与抛物线有且仅有一个交点，联立，解得或，故，即．过定点的几个常用小结论对于抛物线，过定点的弦为PQ，则：(1)

当，即M为焦点时，恒有；(2)

当时，①恒有；②酒杯小球模型；(3)

当时，恒有；例一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧，它的口宽是的，杯深20，在杯内放一玻璃球，当玻璃球的半径r最大取时，才能使玻璃球触及杯底．答案1；建立直角坐标系，求出抛物线的方程即可，．例对于抛物线上任意一点Q，点都满足，则a的取值范围是()．A． B． C． D．答案选B；解设，则，即恒成立即可．例已知椭圆可与开口向上的抛物线交于相异三点，求c的取值范围．答案；法一显然，抛物线开口向上，故．作仿射变换，令，，可得仿射坐标系，在此仿射坐标系中，椭圆方程变为：，抛物线方程变为：，即为．由酒杯小球模型可知，只有当时，圆和抛物线才有可能交于相异三点，故，即．例在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，定点，点O为坐标原点，点Q为PF的中点，动点M满足：且，过点M作圆的切线，切点分别为A、B，则的最小值是()．A．3 B． C． D．答案选D．分析根据题意，易知点M的轨迹是抛物线，然后，就是抛物线和圆的距离最值问题，处理方法有很多，可以参考前面的“距离圆来如此”专题．解设，由得：，又，故，即．法一设，则点M到圆心的距离为，即，当且仅当时取得等号，此时的切线长为，再利用等面积，易得的最小值是．法二联立：，令，解得，即点M到圆心的距离的最小值为．法三设点为抛物线到圆心距离最小的点，易知抛物线在点M处的切线斜率为，因此，令，解得，即，即抛物线到圆心距离最小值为．例边长为1的正方形ABCD，将正方形沿折痕折起，使得D点落在AB线段上，求折痕所在点集形成的面积．答案．解如左图所示，点D关于折痕l的对称点为，过点作AB的垂线交l于点M，则，故点M在以点D为焦点，AB为准线的抛物线上．在l上任取异于M的一点，作于点N，则，即点必定不在抛物线上，亦即折痕l与抛物线只有唯一的公共点M，故折痕l与抛物线相切于于点M．因此，可画出当取遍AB时，折痕l在正方形内扫过的区域，如右图所示．若以AD所在直线为y轴，AD中点为原点建系，则抛物线为，故折痕所在点集形成的面积为：．例如图，从点发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向此抛物线上的点P，反射后经焦点F又射向抛物线上的点Q，再反射后沿平行于抛物线的轴的方向射向直线上的点N，再反射后又射回点M，则．答案6．解易得，又，故PQ⊥x轴，进而可得，，设直线l和MN的夹角为，则，又，即，解得．例过函数的图象的对称中心，且和抛物线有且只有一个公共点的直线的条数共有()．A．1条 B．2条 C．3条 D．不存在答案选B．解注意到对称中心在抛物线上，则切线只有1条，再加上平行于抛物线对称轴的直线．例平面上的动点P到定点的距离比P到y轴的距离大1，则动点P的轨迹方程为()．A． B．或 C． D．或 答案选D．解如果在解答题中，估计多数学生会只注意了抛物线的第二定义而疏忽了射线．例(2016四川理)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为()．A． B． C． D．1答案选C．法一抛物线，优先使用设点的思想，设，不妨令，由可得：，故，当且仅当，即时取等号．法二画出图象，结合条件“”，联想到重心，因此，设．则点M为△OPQ的重心，利用重心的坐标公式，也可得到．练习设抛物线的交点为F，顶点为O，M是抛物线上的动点，则的最大值为()．A． B． C． D．答案选B．解，设，则，令，则 ，当且仅当，即取得等号．例抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，且，弦AB中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为()．A． B． C． D．答案选A．解设，，则，其中，故 ．当然，从选择题角度，显然是AB⊥x轴时取得最大值．练习设A、B是抛物线上的两个动点，线段AB的中点为M，F为抛物线C的焦点，且，过M作抛物线C的准线l的垂线，垂足为N，则的取值范围为．答案．解设，，其中，则，，故，又，易得．注上限也可以利用得到．排列组合例(2012四川理)方程中的，且a、b、c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()．A．60条 B．62条 C．71条 D．80条答案选B．例(2012四川文)方程中的，且a、b、c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()．A．28条 B．32条 C．36条 D．48条答案选B．例(2007四川理压轴)已知一组抛物线，其中a为2、4、6、8中任取的一个数，b为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是()．A． B． C． D．答案选B．综合题例(2007湖北理)双曲线的左准线为l，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为l，焦点为，与的一个交点为M，则等于()．A． B．1 C． D．答案选A．例已知M是的对称轴和准线的交点，点N是其焦点，点P在该抛物线上，且满足，当m取得最大值时，点P恰在以M、N为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为．答案．法一设，又，，故，当且仅当，即，即P为时取得等号．法二设准线为l，作于点，故，等价于求的最小值，显然，当MP为抛物线的切线时，取得最小值．设，则切线MP的方程为：，代入点，易解得，进而易得双曲线的离心率为．例在平面直角坐标系中，对任意的非零实数m，不在抛物线上但在直线上的点的坐标为．答案、、．解设所求点为，代入抛物线方程，则有：，整理得：．根据题意，只须，解得或；或，解得；因此，所求点的坐标为、、．例(2006全国卷Ⅰ文理)抛物线上的点到直线距离的最小值是()．A． B． C． D．3答案选．例(2006上海理)若曲线与直线没有公共点，则k、b分别应满足的条件是．答案，．解作出函数的图象，如图所示，易得，．例(2011大纲卷理)已知抛物线的焦点为F，直线与C交于A、B两点，则()．A． B． C． D．答案选A．解易求得点，，，故．或者利用余弦定理：，，，．例(2017天津文)设抛物线的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若，则圆的方程为．答案．例(2016全国Ⅰ理)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知，，则C的焦点到准线的距离为()．A．2 B．4 C．6 D．8答案选B．解如图所示，设抛物线C的方程为，圆的半径为r，AB、DE分别交x轴于点M、N，则，，故，即，解得，故选B．例(2014湖南文)平面上一机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离相等．若机器人接触不到过点且斜率为k的直线，则k的取值范围是．答案．解已知机器人的行进轨迹为抛物线，其方程为，设过点的直线为，与抛物线联立：，令得：，亦即．因此，若机器人接触到过点且斜率为k的直线，则，反之，接触不到，则k的取值范围是．例(2013江西文)已知点，抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则()．A． B． C． D．答案选C．解，直线AF的方程为，则直线AF和x轴的夹角满足：．过点M作准线的垂线，垂足为P，则．例(2013安徽理)已知直线交抛物线于A、B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．答案．解不妨令，，设，则，即，由于，故，即a的取值范围为．小背景对于抛物线，A、B为抛物线上不同的两点，如果OA⊥OB，则直线AB恒过定点．例(2009北京理压轴)点P在直线上，若存在过P的直线交抛物线于A、B两点，且，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是()．A．直线l上的所有点都是“点” B．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点” D．直线l上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点”答案选A．解设，，则点A的坐标为，代入得： ，由于恒成立，即关于方程恒有实数解，故直线l上的所有点都是“点”．例(2008上海理)设是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点的直线，记Q是直线l与抛物线的异于原点的交点．(1)

若，，，求点Q的坐标；(2)

若点在椭圆上，，求证：点Q落在双曲线；(3)

若动点满足，，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．例(1998全国卷文理)如图，直线和相交于点M，，点．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，，，且．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．解以为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．同时，由题设可知：曲线段C是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点．设曲线段C的方程为：，，，，，则 ，解得：或，又因为ΔAMN是锐角三角形，所以，故舍去，故．由可得，因此，曲线段C的方程为．例(2005重庆理压轴)连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（填写所有正确选项的序号）．①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形答案②③⑤；例已知实数，直线与抛物线和圆，从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为．答案．例已知点，抛物线的准线为l，点P在C上，作PH⊥l于H，且，，则．答案．解由于PH∥x轴，，故，又，故△APF、△PHF都是正三角形．设准线l与x轴的交点为G，则，，故，解得．例已知抛物线和所围成的封闭曲线，如图所示，给定点，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A对称，则实数a的取值范围是()．A． B． C． D．答案选D．解设直线与两条抛物线分别交于点、，且BC的中垂线过点A，如图所示，此时恰好可以得到三对关于点A对称不同的点．因此，，且，故．例点到抛物线准线的距离为4，F为抛物线的焦点，点．当点P在直线上运动时，的最小值为()．A． B． C． D．答案选B．解易得，，此时，抛物线就去打酱油了．法一利用代数法；设，易得，，故，令，则，，易知是关于t的增函数，故的最小值为．法二利用几何法；易知FN⊥l，延长FN交直线l于点M，在△PFN中，利用两边之差小于第三边，可得： ，第一个等号成立的条件是P、F、N三点共线，第二个等号是PF⊥l，两个等号的成立条件刚好一致．例(2011重庆理压轴)设圆C位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为．答案．解欲使得圆C的半径最大，则圆C的圆心在x上，且与直线相切，设圆的半径为r，则圆C的方程为，与抛物线联立：，由可得．8.3抛物线的定长动弦结论设AB为抛物线的定长动弦，M为AB的中点，，抛物线的通径长为．(1)

若，则当且仅当AB经过焦点时，点M到准线的距离取得最小值为，此时点M到焦点的距离为；(2)

若，则当且仅当AB垂直于抛物线的对称轴时，点M到准线的距离取得最小值为，此时点M到焦点的距离为．证明不失一般性，设抛物线的方程为，设，，．(1)

利用三角形的边长关系【几何法！】由于抛物线的通径是最短的焦点弦，因此，当时，AB可以经过焦点．此时，在△ABF中，，又（点是点在准线上的投影），显然，当且仅当A、B、F三点共线的时候，点到准线的距离取得最小值为．此时，易得点的横坐标，即，由于AB过焦点，易知，故．(2)

利用抛物线定长弦的中点轨迹【代数法！】由于，AB一定不经过焦点，故不能利用上述的几何法求解．因此，只能利用代数法求解，具体方法可参考如下的例题．例抛物线的动弦AB的长为6，求弦AB的中点M到y轴的最短距离．答案．法一利用倒斜率直线方程＋韦达定理设，，，为了避免讨论斜率，因此，设动弦AB所在的直线为：，与抛物线方程联立：，，，且．则M到y轴的最短距离…①，又，即，可得，代入①，并整理可得：，令，则，，利用对勾函数的性质，易知当时，d关于s是单调递增的，故，此时，．法二利用抛物线的两点式方程＋选择合适的弦长公式设，，，则直线AB的方程为：（倒斜率直线方程），即，又点M在直线AB上，可得：…又，代入消去，整理可得： ，其中，利用对勾函数函数的性质，易知当，即，即AB垂直于x轴时，取得最小值为．法三利用和差设点法设，，，其中为直线AB的倾斜角，且．将点A、B代入抛物线方程：，①－②可得：，再将此式代入①中，整理可得：，后略．注①对勾函数的性质，考试不能直接用，需要借助导数，求极值点，进而求最值．②法一和法二实质一样，只是书写方式不同而已；对于法三，也比较巧妙，且实际的计算量也很小，同时，对于弦的等分点问题，除了我们常用的参数方程＋韦达套路，也可以尝试此法进行求解，有兴趣的可以自行探究一下．

8.4抛物线的焦点弦模型如图，过抛物线焦点F，且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，设是AB的中点，l是抛物线的准线，过点A、M、B分别作l的垂线，垂足分别为C、D、N．AC、BD分别交y轴于点S、T．连结MN交抛物线于点Q，延长AB交准线l于点P，则有如下的性质：1.焦半径，，其中；【极坐标的形式，很常用，很好使，一定要熟记！不过，在大题中，需要提前推导一遍才能使用！！】2.；【可推广至n个，结合前面的极坐标专题！】3.焦点弦；此外，当时，此时的焦点弦也叫作通径，它是最短的焦点弦，长度为．4.原点O到焦点弦AB的距离为，又，则．【半个屁方除正弦】5.，．【显然是等比替换性质的特例】例(2012北京理)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60º，则△OAF的面积为．答案利用极坐标易得，故．例(1)(2012安徽文)过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若，则．(2)(2012重庆理)过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若，，则．答案(1)利用结论：，，，故．(2)不妨令倾斜角为锐角，，．例(2012安徽理)过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O是原点，若，则△AOB的面积为()．A． B． C． D．答案选C．法一利用极坐标，，，，，故．法二，，利用抛物线的等比性质：，即，不妨假设点A在x轴的上方，则．例(2010湖南理)过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A、B两点，A、B在x轴上的正射影分别为D、C．若梯形ABCD的面积为，则．答案2．解，，，故梯形ABCD的面积为，即．例已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值是．答案32；或．例设抛物线的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，且，则()．A．1 B．2 C．3 D．4答案选D，下面给出一般情况的证明．一般情况已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴的交点为N，过点F作直线与此抛物线交于A、B两点，若，则有：．证法一易得，，又，解得．证法二假设点A在B的上方，设直线AB的倾斜角为，则，，故．又，即，故．例已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线交抛物线于A、B两点（点A在x轴上方）．设线段AB上有一点M，满足，过点M作x轴的垂线，垂足为H，若，则．答案9．解利用极坐标：，，，其中．由可得：，又，代入，可解得．6.(1)

以焦点弦AB为直径的圆与准线l相切于点N，则①NA⊥NB；②在中，，，；③由于点O在以AB为直径的圆内，易知必为钝角，即．证明①由于MN是梯形ACDB的中位线，故．例过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，，过线段AB的中点作y轴的垂线，垂足为P，则()．A．36 B．40 C．50 D．52答案选C．解设AB的中点为M，利用三角形的中线长定理，易得：．(2)

连结CF、DF，分别交y轴于点J、K，则点J、K分别是OS、OT的中点．【利用CSOF】(3)

以焦半径为直径的圆和y轴相切；如图，以焦半径AF为直径的圆H和y轴交于点J．【证明可参照前面的焦点三角形中的相关专题】(4)

以两垂足C、D直径端点的圆与焦点弦AB相切，且切于焦点F，即FC⊥FD．【焦点对焦点弦在准线投影点的张角】证明利用AC＝AF，AC∥OF，可得：∠AFC＝∠FCA＝∠CFO，同理可得：∠BFD＝∠DFO，故∠CFD＝90°．【此时的AJ过点N与否并不能确定，故不可以想当然得到NC＝NF．】【利用解析法，则等价于证明：，即，这显然是成立的！更多背景拓展见专题“极点极线模型之焦准距的平方与共圆模型”】(5)

FN⊥AB；A、J、N三点共线，B、K、N三点共线（或AN垂直平分CF交y轴于点J，BN垂直平分DF交y轴于点K）；四边形FJNK为矩形【全等是关键】证明由上面的(4)知：在中，有，又，，故△ACN∽△AFN，所以FN⊥AB；同时，结合(2)可知：A、J、N三点共线，即AN垂直平分CF交y轴于点J，同理可得：BN垂直平分DF交y轴于点K．【“FN⊥AB”的拓展参见“极点极线之切点弦方程之过焦点的切点弦”】(6)

以OS、OT为直径的圆分别和焦半径AF、BF相切．证明作JI⊥AF于点I，易知△ASJ≌△AFJ，故JF＝JS＝JO，注①焦点弦相关的垂直关系（亦即共圆关系）比较多，如果从几何角度证明，可以大致记个证明的顺序是：从矩形JNKF的左上角N→右下角F→余下的两个角J、K．②上述的几何证明了解即可，可不必硬性掌握，考试之中，如果出现，果断利用解析法，毕竟解析法思路简单直接，计算量也不是很大．例(2003北京春招理压轴)已知动圆过定点，且与定直线相切，点C在l上．(1)

求动圆圆心的轨迹M的方程；(2)

设过点P，且斜率为的直线与曲线M相交于A、B两点．(＝2\×

romani)

问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；(＝2\×

romanii)

当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围．答案(1)

；(2)(＝2\×

romani)不存在；(＝2\×

romanii)或．解(1)

依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为．(2)(＝2\×

romani)直线AB为，假设点A在x轴的上方，则联立，解得点、，则，假设存在点使得△ABC为正三角形，线段AB的垂直平分线为：，令，可得，即点C为，此时，但是与相矛盾，故直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形．(＝2\×

romanii)

法一求出三条边长，利用余弦定理，但是，不要忘记排除共线的情况设点使△ABC成钝角三角形，由，即点C为，此时A、B、C三点共线，故．由于，，，因此，①当，即，即时，∠CAB为钝角；②当，即，即时，∠CBA为钝角；③当，即，即，该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角．因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是或．法二借助背景，即“以抛物线的焦点弦为直径的圆和准线相切”，只需要分析临界情况即可以AB为直径的圆的方程为，而圆心到直线的距离为，所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点．当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A，B，C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角．因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角．过点A且与AB垂直的直线方程为，令，可得；过点B且与AB垂直的直线方程为，令，可得令；又，即点C为，此时A、B、C三点共线，故．因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是或．例(2013新课标Ⅱ理)设抛物线的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则C的方程为()．A．或 B．或C．或 D．或答案选C．法一常规解法，利用抛物线的设点法＋圆的双根式方程，不利用结论设点，由，可得，又，则以MF为直径的圆的方程为：【圆的双根式方程要熟练书写！】，然后代入点，可得：，解得，进而，解得或8，故选C．法二