备战2026高考数学-八大专项41小项助你死磕直线圆锥曲线直线讲义版4

8将军饮马问题将军饮马，也就是“距离最短”问题，一般是利用三角形的边长关系，即“三角形的两边之和(差)大于(小于)第三边”，以及“两点之间，线段最短”进行解决．例(2013四川文压轴)在平面直角坐标系内，到点，，，的距离之和最小的点的坐标是_______．解；画出图形，分析易知，四边形ABCD的对角线交点即为所求．类型一A、B两点在直线l的异侧(1)

如左图，在直线l上找一点P，使得最小？方法连结AB与直线l的交点，即为所求的点P．(2)

如右图，在直线l上找一点P，使得最小？方法作点B关于直线l的对称点，连结与直线l的交点，即为所求的点P． 类型二A、B两点在直线l的同侧(1)

如左图，在直线l上找一点P，使得最小？方法作点A关于直线l的对称点，连结与直线l的交点，即为所求的点P．(2)

如右图，在直线l上找一点P，使得最小？方法连结AB与直线l的交点，即为所求的点P．例(1)

已知两点，，直线，在直线l上求一点P，使得最小；(2)

已知两点，，直线，在直线l上求一点P，使得最小；(3)

已知两点，，直线，在直线l上求一点P，使得最大；(4)

已知两点，，直线，在直线l上求一点P，使得最大．答案(1)

；(2)

；(3)

；(4)

．例已知x、y满足，求函数的最小值．解此函数的最小值转化为“求直线动点与两定点、的距离之和的最小值”．易求得点关于直线的对称点为，连接交直线l于点P，则的最小值即为．例(1)

求函数的最小值；(2)

求函数的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时的x值．解(1)

由于，因此，此函数的最小值转化为“求x轴上的动点与两定点、的距离之和的最小值”．画出图形，具体过程略，易求得最小值为．(2)

由于，因此，的最值可以转化为“求x轴上的动点与两定点、的距离之差的绝对值的最值”．画出图形，具体过程略，易求得在处取得最大值为，在处取得最小值为0．注对于形如或的无理函数的最值，一般可以尝试通过上述的方法进行求解，转化为动点与两定点距离和（差）的最值．例已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A、B为焦点且经过点P，则椭圆的离心率的最大值为．法一；由于，故求出a的最小值即可．又，只须求出的最小值即可，则问题转化为：在直线上找一点P使得最小．易知点关于直线的对称点为，因此，点A关于l的对称点为，则，即椭圆的离心率的最大值为．法二设椭圆方程为：，当椭圆和直线l相切时，a最小，离心率最大，利用等效判别式：，即．练习点，，点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值是()．A． B．2 C．3 D．答案选B；点P在直线上，先将最值转化到圆心上，设圆心、圆心，则的最大值为，只须求出的最大值，此时即为将军饮马问题了．例(2016年全国高中数学联赛浙江赛区预赛)已知向量，且．若，则的最小值为()．A． B．26 C． D．24解选B；如图，设，，则，此时问题转化为将军饮马问题：即在线段AB上求一点P，使得的值最小，设点O关于AB的对称点为C，则最小值为．例在平面直角坐标系中有两点、，以原点为圆心，以为半径作圆，与射线交于点M，与x轴正半轴交于点N，则当r变化时，的最小值为．解设，，则 ，问题等价于点、与x轴上的点连线段长的和最短，即为将军饮马问题！因此，作，则，当且仅当时，取得最小值．例在平面直角坐标系xOy中，点P在直线上，从点P向圆、分别引切线，切线长分别记为，则的最小值为．略解；设，结合切线长公式，整理易得： ．类型三造桥选址问题 (1)

如左图，A、B分别在两条平行线m、n的两侧，MN是与平行线垂直且夹在平行线间的定长线段，当MN在运动到何处时，的值最小？方法将点A向下平移MN的长度得到点，连结交直线n于点N，再作NM⊥m于点M即可．注这个就是所谓的“单桥问题”，类似的，也可以推广到“双桥问题”，如中间图所示．(2)

如右图，点A、B在直线l的同侧，MN是在直线l滑动的定长线段，当MN在运动到何处时，最小？方法将点A向右平移MN的长度得到点，作关于直线l的对称点，连结交直线l于点N，再将N向左平移MN的长度即可得到点M．例如图，已知，，，，问a为何值时，四边形APQB的周长最小？答案当时，四边形APQB的周长取得最小值为．类型四双对称问题(1)

如左图，点A在∠MON内，在射线OM、ON上分别找一点B、C，使得△ABC的周长最小？方法作点A分别作关于射线OM、ON的对称点、，连结与射线OM、ON的交点，即为所求的点B、C．(2)

如中间图，点A、B在∠MON内，在射线OM、ON上分别找一点D、C，使得四边形ABCD的周长最小？方法作点A、B分别作关于射线OM、ON的对称点、，连结与射线OM、ON的交点，即为所求的点D、C．(3)

如右图，点A、B分别为边OM、ON上的的定点，在边OM、ON上分别求点D、C，使得最小？方法作点A、B分别作关于射线OM、ON的对称点、，连结与射线OM、ON的交点，即为所求的点D、C．例在四边形ABCD中，，，则△ACD周长的最小值为．解；如是所示，分别作D关于直线BA、BC的对称点，则，，故△ACD周长的最小值为．例如图，，点C在∠AOB内，且．以C为圆心，1为半径作圆，点X、Y分别是射线OB、OA上异于O的动点，点P在圆C上运动，若圆C和∠AOB两边都没有交点，则的最小值为．解做P关于射线OA、OB的对称点，则，且，显然，只有当共线时，有最小，同时，欲使得最小，只须最小即可，显然，的最小值为2，故的最小值为．练习已知点A是圆上的动点，点B、C分别是y轴于直线上的动点，则△ABC周长的最小值为．解设点A关于y轴于直线上的对称点分别为、，则，，显然，只有当共线时，△ABC的周长取得最小值为．例已知是大小为的二面角，C为二面角内一定点，且到半平面、的距离分别为、6，A、B分别是半平面、内的动点，则△ABC周长的最小值为()．A． B． C．15 D．解选D；如图，设点C关于半平面、的对称点分别为、，则 ．情形五垂线段最短(1)

如左图，点A在∠MON外部，在射线OM上找一点P，使得PA与点P到射线ON的距离之和最小？方法过点A作AB⊥ON于点B，则AB与射线OM的交点P即为所求．(2)

如右图，点A在∠MON内部，在射线OM上找一点P，使得PA与点P到射线ON的距离之和最小？法一作点A关于射线OM的对称点，过点作⊥ON于点B，则与射线OM的交点P即为所求．法二作射线OB关于射线OM的对称射线，过点A作AB⊥于点B，则AB与射线OM的交点P即为所求．例已知正实数x、y满足，则的最小值为()．A． B． C．2 D．法一通法先行，利用判别式！令，并将代入，整理可得：，令，解得，当且仅当、时取得等号，故选A．法二利用几何意义，数形结合！设是线段上一点，则x为点P到y轴的距离，且．易求得原点O关于直线的对称点为，则 ．法三利用柯西不等式：，当且仅当，即时取得等号．注柯西不等式配的系数，一般都是特殊的数，熟练了，可以直接目测尝试；当然，试不出来，可以利用待定系数法得到：，令，解得．法四对于含有“”的结构，可以尝试利用极坐标代换；设，则即为，又，即等价于求的最小值．令，即为，令，解得．例已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别是、，若直线与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范围是．解；9曲线间的距离─“圆”来如此距离最小模型已知定点和动点，当取得最小值时，点的坐标满足关系式：．注(1)

这个模型的证明，可以利用，借助导数证得，不过并不严密，是有bug的，因此，此模型在大题中是不能直接使用的，切记切记！！(2)

如果从图像上理解这个模型，相当于是以定点P为圆心的圆，即为，此圆的半径r不断增大，直至和的图象相切时，r刚刚好取得最小值，亦即的最小值．例函数，因其图象像“囧”字，被称为“囧函数”．我们把函数的图象与y轴的交点关于原点对称的点称为函数的“囧点”；以函数的“囧点”为圆心，与函数的图象有公共点的圆，皆称为函数的“囧圆”．当时，有下列命题：①对任意，都有成立；②存在，使得成立；③函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离是；④函数的所有“囧圆”中，其周长的最小值为．其中的正确命题有．（写出所有正确命题的序号）【②③④】解是偶函数，故只需要作出的图象，再对称到y轴左边就可以了；分式函数的作图方法，只要渐近线画出来，图象基本也就定了，易知的渐近线为x轴和，如图所示，为囧点．①当时，显然，故①错误．②易知，而当时，，故②正确．③法一构造圆，利用切线垂直法【通法】利用以囧点J为圆心的圆和相切时临界，设此时的切点为，由于，即，，由于单调递增，观察可知，只能取．法二写出距离的表达式，然后求导或者利用不等式放缩，令，利用导数求解即可，求解也比较简单，故具体过程略．法三联想到的反函数求点到距离的最小值，由于也过点，且和互为反函数，显然，最小距离即为点到点的距离，故③正确．法四写出距离的表达式，利用权方和不等式和常用放缩不等式求解，当且仅当和取等号，易知两者都在处取等．④根据对称性，只需要求出第一象限的图象上的点到囧点J的最小值即可，即求到“囧点”的最短距离，设“囧圆”的半径为R．法一构造圆，利用切线垂直法【通法】同上类似，设切点为，由于，即，此时，会得到一个四次方程：，，……，此时易求得，且．【分母是谁就凑谁！】显然，高中阶段，大多数同学对上述的解法是想不到的．法二写出距离，然后换元＋配方【此类型题的常用套路】，令，则，且，则，令，则，【故下面的等号必定能取到！】则，所以“囧圆”的半径最小值为，故④正确．注此处给出了配方的一般过程，熟练的话，也可不换元，一次到位．例(1)

若圆与曲线没有公共点，则半径r的取值范围是()．A． B． C． D．(2)

关于x的方程有四个相异实根，则实数a的取值范围为()．A． B． C． D．解(1)

选C；等价于圆与曲线没有公共点．法一注意到圆心在曲线的对称轴上，，设临界切点为，则 ，即，解得，不妨取，则，由于没有公共点，故．法二利用配方法：，故．(2)

选B；等价于曲线和圆有四个交点，因此，此题和上题实质一样．另法关键还是配方得到：，即．方向一可以看成飘带函数和有四个交点；方向二转化成两个二次方程：，两个方程的判别式都大于0即可．方向三利用导数作出函数的图象，平移直线，与其有四个交点即可．例已知点P为曲线上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为()．A． B． C． D．分析曲线化为：，结合图形，只需考虑左支即可，此时．法一通法先行，利用圆！设，则，令，，…，，可得此时点P为，故，故选D．法二常数替换法＋配方法【下面是以y主元进行的配方！】，当且仅当时取等号．法三常数替换法＋多元函数极值【利用了偏导数，解唯一必定就是所求！】，令，令，可得，故．法四条件极值，可利用拉格朗日乘法，解法方程组，后略．例(1)

已知点P是抛物线上的动点，点Q为函数上的动点，则的最小值为()．A． B． C． D．(2)

若点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为()．A． B． C． D．分析对于含有超越函数、的此类题，如果是超越函数和非超越函数组合类型，则一般可以直接观察，先猜出临界点，而且，临界点一般是超越函数和坐标轴的交点，当然，并不绝对，需要借助切线法验证的！解(1)

选A；猜想是临界点，然后，利用切线法验证临界点即为所求．另法利用权方和不等式，三个等号依次是、、，解得时取等号．(2)

选D；过点，联想到的反函数也过点．例(1)(2012新课标理压轴)设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为()．A． B． C． D．(2)(2016厦门一中高三12月月考)已知点P在曲线上，点Q在曲线上，线段PQ的中点为M，O是坐标原点，则线段OM长的最小值是．分析对于含有超越函数、的此类题，如果是双超越函数组合类型，则一般是利用反函数，转化为求到对称轴的距离，然后，利用求出相应的平行切线即可（和构造圆是相通的！）．解(1)选D；注意到曲线与曲线互为反函数，其图象关于直线对称，故可先求点P到直线的最近距离．函数的导数为，由得，，所以，当P点为点时，点到直线的最近距离为，即，故选D．(2)；设P关于O的对称点为R，则R在曲线上，且，注意到曲线与曲线互为反函数，其图象关于直线对称，同上题类似，易求得最小值是．例已知点P为函数的图象上任意一点，点Q为圆上任意一点，则线段PQ的长度的最小值为．法一利用圆的切线垂直找临界切点，此时的零点一般也需要借助瞪眼法观察设圆的圆心为O，则，即，此时同样瞪眼观察，e为此方程的零点，可得临界切点为，……，故线段PQ的长度的最小值为．法二直接写出距离，利用导数求解，此时的极值点一般需要借助瞪眼法观察设圆的圆心为O，则，令，则，此时瞪眼观察，可知，故．例已知点P、Q分别是曲线与直线上的动点，则线段PQ长的最小值为．答案．法一利用平行切线法设临界的相切直线为，与双曲线联立：，令，可解得或9，因此，当时，．法二利用导数求出临界的切点坐标令，解得，结合图形可知，点到直线的距离即为．法三利用点到直线的距离设，则点P到直线的距离为，又，因此，当，即时，，亦即．例直线，当k变化时，直线被椭圆截得的最大弦长是()．A．4 B．2 C． D．不能确定解选C；常规方法就是联立利用弦长公式，此处略过．当然，如果能注意到直线恒过椭圆的短轴上顶点，因此，设椭圆上任意一点，故，此时．或者构造圆，利用斜率，设最大弦长为PQ，，则，易得．例(1990全国卷文压轴、理)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．分析此题实质是考察二次函数的最值和对称轴之间的关系．法一设椭圆方程为，则，即，故椭圆方程为．设椭圆上的点到点P的距离为d，则 ，其中.①若，即时，在处取得最大值，故，解得，又，与矛盾，故舍去．②当时，在对称轴处取得最大值，故，即，因此，椭圆的方程为，同时，令，可得点到点P的距离等于．注也可以利用的参数方程，则，讨论同上类似．法二法一是利用距离结合最值讨论求解的，相对繁琐一些！也可以从临界情形出发求解，不过切记，此法不能用在大题中！！设椭圆上到点P的距离等于的点为，椭圆在点Q的切线斜率为．则临界情形为以P为圆心，为半径的圆和椭圆相切，此时有，又（中点点差法的极限形式），可得：，即，解得，后续同上．例(2013重庆文压轴、理)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点作x轴的垂线交椭圆于两点，．(1)

求该椭圆的标准方程；(2)(理)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点，过作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若，求圆Q的标准方程．(2)(文压轴)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点，过作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求的面积S的最大值，