（人教A版）高二数学下学期期末考点复习训练专题03 方法篇：求数列前n项的和（重难点突破+课时训练）（解析版）

专题03求数列的前n项和一、考情分析二、考点梳理与题型分析考点一、公式法例1、等比数列中，，，成公差不为0的等差数列，，则数列的前9项和（）A． B．387 C． D．297【答案】B【分析】先设等比数列的公比为，结合条件可知，由等差数列的中项可知，利用等比数列的通项公式进行化简求出，最后利用分组求和法，以及等比数列和等差数列的求和公式，即可求出数列的前9项和.【详解】解：设等比数列的公比为，，，成公差不为0的等差数列，则，，都不相等，，且，，，，即，解得：或（舍去），，所以数列的前9项和：.故选：B.【变式训练1-1】数列满足，则数列的前n项和为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用等差数列的前n项和公式得到，进而得到，利用裂项相消法求和.【详解】依题意得：，，，故选：D．例2、已知公差不为0的等差数列，，．记，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.7]=0，[1.9]=1．(1)求数列的通项公式；(2)求数列前101项和．【答案】(1)(2)192【分析】（1）利用等差数列的通项公式基本量计算出首项和公差，求出通项公式；（2）解不等式得到，当时，，当时，，当时，，从而求出前101项和.(1)设公差为d，，又，故，即，所以，解得：或0（舍去），求得：，数列的通项公式为；(2)，令得：，令，解得：，令，解得：，当时，故当时，，当时，，当时，，设的前n项和为，所以.【变式训练2-1】已知数列是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，．(1)求数列的通项公式；(2)设．记数列的前n项和为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件求得的首项和公差，由此求得的通项公式.（2）利用并项求和法，结合三角函数的知识求得.(1)设等差数列的首项为，公差为，则，结合可解得，所以.(2)，，，，，，，……以此类推，的最小正周期，，所以.考点二、并项求和（分组求和）例3、在等差数列中，(1)求数列的通项公式；(2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列条件列方程，即可求通项公式；（2）先由等比数列通项公式求出，解得，分组求和即可.(1)设等差数列的公差为，则，∴，由，∴，∴数列的通项公式为.(2)∵数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴，即，∴，∴.【变式训练3-1】已知等差数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求数列的前n项和Sn，【答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为d，则由已知条件结合等差数列的通项公式可求出，从而可求出数列的通项公式；（2）结合等比数列的通项公式和（1），可求得，然后利用分组求和法求解即可(1)设等差数列的公差为d．由，可得，即，解得．所以(2)若数列是公比为3的等比数列，且，则．由（1）可得，．考点三、裂项相消法例4、已知正项等比数列的前n项和为，，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知，设出数列公比，根据条件列出方程组，通过解方程即可求解出和，然后利用等比数列通项公式即可求解；（2）由第（1）问求解出的通项公式，带入到中化简并进行裂项，然后求解其前n项和.(1)由已知可得，设等比数列的公比为，因为，，所以或（舍去），可得，，解得，所以，故的通项公式为(2)由第（1）问可知，，所以,，所以，所以，数列的前n项和为.【变式训练4-1】已知等差数列的前项和为，，且.(1)求数列的通项公式；(2)证明：数列的前项和.【答案】(1)(2)证明见解析.【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式；（2）求得，利用裂项法可求得，即可证得原不等式成立.(1)解：设等差数列的公差为，则，解得，因此，.(2)证明：，因此，.故原不等式得证.考点四、错位相减法例5、已知数列满足，.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据递推公式，利用等比数列的定义即可得出结论；（2）利用分组求和法和错位相减法计算即可得出答案.(1)证明：由，得，又，所以，故，故是以为首项，以为公比的等比数列；(2)解：由（1）得，得，所以，设的前n项和为，则，①，②由①-②，得，则，故.【变式训练5-1】在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.设数列的前项和为，且__________.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）若选①：根据，利用数列通项与前n项和的关系求解；若选②：构造利用等比数列的定义求解；（2）根据（1）得到，再利用错位相减法求解.(1)解:若选①：，当时，，当时，满足上式，故若选②：易得于是数列是以为首项，2为公比的等比数列，(2)若选①：由（1）得，从而，，作差得于是若选②由（1）得，从而，，作差得，于是专题03求数列的前n项和A组基础巩固1．已知数列的前项和为，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用裂项相消法求数列的和即可.【详解】解：，所以.故选：C.2．已知等差数列，，，则数列的前100项和（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的通项，再利用裂项相消法可求前100项和.【详解】因为为等差数列且，，故，故，故数列的前100项和为，故选：A.3．数列中，，其前项和是，则=（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用裂项求和即可求解.【详解】因为，所以，故选：D.4．已知在前n项和为的数列中，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用并项求和法即可求解.【详解】由，有，则．故选：C5．已知数列的通项公式，则数列的前5项和等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据等比数列的求和公式，以及分组求和的方法，即可求出结果.【详解】因为，所以则数列的前5项和.故选：C6．若数列的通项公式是，则（）A．45 B．65 C．69 D．【答案】B【解析】由题意可得，从而可得，进而可得答案【详解】因为，所以，则，故选：B．7．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为（）A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋n－2 D．2n＋1＋n2－2【答案】D【解析】根据数列{an}的通项公式是等差+等比的形式，采用分组求和的方法，以及等差、等比的前n项和公式，可得结果.【详解】由题可知：设数列{an}的前n项和为所以即所以故故选：D8．数列的前项和，则等于()A．171 B．21 C．10 D．161【答案】D【详解】由题意得．选D．9．在数列中，，，则（）A．224 B．226 C．482 D．508【答案】B【分析】先根据，利用累加法求得，再利用分组求和法求解.【详解】因为数列，满足，，所以，所以，故选：B10．“垛积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】先依次求出各层货物总价，再利用裂项抵消法进行求解.【详解】由题意，得第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，，第层货物总价为万元.设这堆货物总价为万元，则，两式相减，得，即，则，令，得.故选：B.11．在数列{an}中，Sn为它前n项和，已知a2＝1，a3＝6，且数列{an+n}是等比数列，则Sn＝__________．【答案】【分析】根据题意，利用等比数列的基本量求得，利用分组求和法即可求得结果.【详解】令，由题可知：，又为等比数列，设其公比为，故，，故，解得；则.故答案为：.12．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的前2021项和为___________.【答案】【分析】根据题意求出，代入中，再利用裂项相消即可求出答案.【详解】由是等差数列且，可知：，故.，数列的前2021项和为.故答案为：.13．已知数列满足，，则数列的前n项和______．【答案】【分析】先求出，利用裂项相消法求和.【详解】因为数列满足，，所以数列为公差d=2的等差数列，所以，所以所以.故答案为：.14．已知数列的通项公式，则其前项和___________.【答案】，【分析】根据数列的通项公式，求和时采用分组求和法，利用等比数列的前n项和公式，求得答案.【详解】因为，所以，故答案为：，15．已知{an}是公差不为零的等差数列，a5＝14，且a1，a3，a11成等比数列，设bn＝(－1)n＋1an，数列{bn}的前n项的和为Sn，则S2021＝________.【答案】3032【分析】根据已知条件求得，进而求得，利用分组求和法求得.【详解】设等差数列的公差为，由于a1，a3，a11成等比数列，∴，即(a5－2d)2＝(a5－4d)·(a5＋6d).∴14d2＝3a5d.又d≠0，a5＝14，知d＝3，因此an＝a5＋(n－5)×3＝3n－1，bn＝(－1)n＋1(3n－1).∴S2021＝b1＋b2＋b3＋…＋b2021＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(b2020＋b2021).故答案为：16．学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢纶《塞下曲》：“月黑雁飞高，单于夜遁逃.欲将轻骑逐，大雪满弓刀.”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情.这首诗历代传诵，而无人提出疑问，当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：“北方大雪时，群雁早南归.月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出不是质数.现设记，则数列的前项和___________.【答案】【分析】根据题意，化简数列通项公式，利用分组求和的方法求解即可.【详解】依题意有代入得，所以则有故答案为：

B组能力提升17．（多选）在数列中，，前n项的和为Sn，则（）A．的最大值为1 B．数列是等差数列C．数列是等差数列 D．【答案】ABD【分析】对于A：当n=2时，有，对分正负进行讨论，利用基本不等式求出的最大值；对于B、C：利用等差数列的定义进行判断；对于D：利用分组求和法直接求出，即可判断.【详解】对于A：当n=2时，有，若时，由基本不等式可得：（时取等号），所以；若中有一个为0或负值时，；若时，不可能成立；故的最大值为1.故A正确；对于B：数列中，，当n为奇数时，有，所以数列是等差数列，故B正确；对于C：当n为偶数时，有，只有时，数列是等差数列，否则数列不是等差数列，故C不正确；对于D：.故D正确.故选：ABD18．（多选）已知数列是以为首项，为公差的等差数列；是以为首项，为公比的等比数列，设，，则下列结论正确的为（）A． B．C． D．若，则的最大值为【答案】ACD【分析】求出数列、的通项公式，可求得的表达式，可判断A选项；利用分组求和法可判断B选项；设，利用数列的单调性求出数列的最大项的值，可判断C选项；计算出、的值，结合数列的单调性可判断D选项.【详解】由已知可得，，对于A选项，，A对；对于B选项，，B错；对于C选项，由题意可知，，令，则.当时，，即；当时，，即，即数列从第二项开始单调递减，所以，，即，故，C对；对于D选项，，故数列为单调递增数列，因为，，即，D对.故选：ACD.19．（多选）设和分别为数列和的前n项和．已知，，则（）A．是等比数列 B．是递减数列C． D．【答案】ABD【分析】利用及求得的递推关系式，确定数列性质得出通项公式，求出后，可得其单调性，计算，由错位相减求得后，利用的正负可得.，从而判断各选项．【详解】因为，所以当时，，即，又，所以，即，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以．因为，所以，是递减数列．因为，所以．①，②，①－②得，所以，所以，所以．故选：ABD．20．（多选）已知数列满足，则下列结论正确的是（）A．为等比数列B．的通项公式为C．为递增数列D．的前n项和【答案】AB【分析】将给定的递推公式两边取倒数，构造等比数列，求出通项并逐项判断作答.【详解】因数列满足，显然，，两边取倒数得：，即有，而，因此，数列是首项为4，公比为2的等比数列，A正确；于是得，整理得，数列的通项公式为，B正确；因，即数列是递减数列，C不正确；因，则，D不正确.故选：AB21．（多选）在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如：的前n项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列，记为，的前n项和记为，则下列说法正确的是（）第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051……A． B．的前n项和为 C． D．【答案】BCD【分析】根据二项式系数的性质求数列的通项公式，再利用等比数列的前n项和公式求，再利用裂项相消法求数列的前n项和，再根据杨辉三角的特点确定在杨辉三角中的位置，通过与的关系求，由此确定正确选项.【详解】从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，为一个等比数列，，所以，故A错误；的前n项和为，故B正确；去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为构成一个等差数列，项数之和为的最大整数为11，杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1被去掉，取的就是第12行中的第三项，，故C正确；，这11行中共去掉了22个1，，故D正确，故选：BCD．22．（多选）已知等差数列的前项和为，若，，则（）A．若，则数列的前2020项和为4040 B．数列是公比为8的等比数列C． D．若，则数列的前2020项和为【答案】AD【分析】由分组求和可判断A;由等比数列的定义可判断B；由等差数列的性质可判断C；由裂项相消可判断D【详解】等差数列的前项和为，若，，设的公差为，则有，解得，，故，若，则的前2020项，故A正确；由，得，令，则当时，，则数列是公比为的等比数列，故B错误；由等差数列的性质可知，故C错误；若，则的前2020项和，故D正确，故选：AD.23．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an﹣3．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设，，求数列{cn}的前n项和Tn．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用来求得.（2）利用裂项求和法求得.(1)依题意①，当时，.当时，②，①-②得，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，当时，上式也符合，所以.(2)，.所以.24．已知数列{}的前n项和满足：．(1)求数列{}的前3项；(2)求证：数列是等比数列；(3)求数列的前n项和．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).【分析】(1)根据，令n＝1，2，3即可求出前三项；(2)利用与的关系得到{}的递推公式，从而可以证明，其中k为常数；(3)根据(2)求出，从而求出，根据通项公式的特征，分n为奇数和偶数两种情况进行求和，求和时采用分组求和法与错误相减法.(1)当时，有：；当时，有：；当时，有：；综上可知；(2)由已知得：时，，化简得：上式可化为：故数列{}是以为首项，公比为2的等比数列.(3)由（2）知，∴，∴当n为偶数时，=令，①②则①②得，∴，=，所以.当n为奇数时，，，所以.综上，.25．已知数列是递增的等比数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意列出方程求出公比可得；（2）根据错位相减法及分组求和即可得解.(1)设数列的公比为，，则.由得，由得，所以，解得或（舍去），所以.所以数列的通项公式为.(2)由条件知，设，则，将以上两式相减得，所以.设，则.26．已知数列的前n项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）项和转换可得，验证，分析即得解；（2）项和转换可得，转化，裂项相消法求和即得解(1)当时，由得，两式相减可得．因为，符合上式所以，