（人教A版）高二数学下学期期末考点复习训练专题04 导数的概念及其几何意义（重难点突破+课时训练）（解析版）

专题04导数的概念及其几何意义一、考情分析二、考点梳理一、平均变化率1.变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；2.平均变化率一般地，函数f(x)在区间上的平均变化率为：3.如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出和②作商：对所求得的差作商，即。二、导数的概念定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作三、求导数的方法：求导数值的一般步骤：求函数的增量：；求平均变化率：；求极限，得导数：。也可称为三步法求导数。三、题型突破重难点题型突破1、平均变化率与瞬时变化率函数在某点处的导数例1．（1）一质点M按运动方程做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），若质点M在时的瞬时速度为8m/s，则常数a的值为（）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】先对已知方程求导，然后结合导数的定义即可直接求解．【详解】解：因为，由题意得，，所以．故选：B（2）设函数在R上可导，则（）A． B． C． D．以上都不对【答案】B【分析】根据极限的定义计算．【详解】由题意．故选：B．（3）多选）已知函数，下列说法正确的是（）A．叫作函数值的增量B．叫作函数在上的平均变化率C．在处的导数记为D．在处的导数记为【答案】ABD【分析】由函数值的增量的意义判断A；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断BCD.【详解】A中，叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A正确；B中，称为函数在到之间的平均变化率，B正确；由导数的定义知函数在处的导数记为，故C错误，D正确.故选：ABD【变式训练1-1】已知某物体位移（米）与时间（秒）的关系是，则速度为9米/秒的时刻是（）A．1秒末 B．0秒末C．3秒末 D．1秒末或3秒末【答案】C【分析】由位移函数的导数表示运动质点的瞬时速度，即令，从而可求得结果【详解】依题意，，由对求导得：，而位移函数的导数表示运动质点的瞬时速度，由速度为9，即得：，，所以速度为9米/秒的时刻是3秒末.故选：C【变式训练1-2】设函数，则（）A．1 B．5 C． D．0【答案】B【分析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.【详解】由题意，所以，所以原式等于.故选：B.【变式训练1-3】（多选）甲､乙两个学校同时开展节能活动，活动开始后两学校的用电量（单位：），（单位：）与时间（单位：）的关系如图所示，则一定有（）A．甲校比乙校节能效果好B．甲校的用电量在上的平均变化率比乙校的用电量在上的平均变化率小C．两学校节能效果一样好D．甲校与乙校在活动期间的用电量总是一样大【答案】AB【分析】根据切线斜率的实际意义判断AC选项的正确性.根据平均变化率的知识确定B选项的正确性.根据图象判断用电量是否“总是一样大”，由此判断D选项的正确性.【详解】由图可知，对任意的，曲线在处的切线斜率的绝对值比曲线在处的切线斜率的绝对值大，所以甲校比乙校节能效果好，A正确，C错误；由图可知，，则甲校的用电量在上的平均变化率比乙校的用电量在上的平均变化率小，B正确；由于曲线和曲线不重合，故D错误.故选：AB.重难点题型突破2、利用定义求导数的值例2．（1）已知函数的定义域为，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数的定义可求得的值.【详解】由导数的定义可得.故选：D.（2）函数在处的导数为（）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】利用导数的定义即可求出结果.【详解】，所以函数在处的导数为.故选：D.（3）（多选）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根据导数的几何意义可得，记，，作直线AB，根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出.【详解】由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知，即.故选：AB【变式训练2-1】已知曲线在点处的切线方程是，则与的值分别为（）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】根据导数的几何意义，结合切线方程可计算得与.【详解】由题意可知，，.故选：D【变式训练2-2】已知函数在处的导数为，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用导数的定义即可求出．【详解】故选：C．【变式训练2-3】（多选）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象不可能是（）A．B．C． D．【答案】BCD【分析】根据导数的几何意义判断即可.【详解】因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上，函数各点处的斜率k是递增的，由图知选BCD．故选：BCD.重难点题型突破3、导数的几何意义例3．曲线在点处的切线方程为________．【答案】【分析】由导数的几何意义求出切线斜率即可求解.【详解】解：因为，所以，所以曲线在点处的切线斜率，所以曲线在点处的切线方程为，即，故答案为：.【变式训练3-1】函数在点处的切线方程为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出曲线方程的导函数，把点的横坐标代入导函数中求出的导函，数值即为切线的斜率，由求出的斜率和点的坐标写出切线方程即可．【详解】由得函数在点处的切线斜率为2，所以所求切线方程为.故选：B．【变式训练3-2】曲线在处的切线方程为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用导数的几何意义求切线方程即可.【详解】由已知得，，即切线的斜率，又∵，∴切线方程为，即，故选：.四、课堂训练（30分钟）1．若函数在区间上的平均变化率为2，则等于（）A． B．2 C．3 D．1【答案】D【分析】直接利用平均变化率的公式求解.【详解】解：由题得.故选：D2．函数在区间上的平均变化率等于（）．A．4 B． C． D．【答案】B【分析】由给定条件求出函数增量，再根据平均变化率的意义列式化简即得.【详解】因函数，则在区间上的函数增量有：，于是有，所以所求平均变化率等于.故选：B3．（多选）下列说法中错误的是（）A．若不存在，则曲线在处没有切线B．若曲线在处有切线，则必存在C．若存在，则曲线在处的切线的斜率存在D．若曲线在处的切线的斜率不存在，则曲线在该点处没有切钱【答案】ABD【分析】根据导数的几何意义，结合题意，对每一个命题进行分析判断，适当地举出反例，说明命题是否正确．【详解】解：对于A，不存在时，曲线在点，处不一定没有切线，如，则，当时不存在，但曲线在该点处的切线方程为，故A错误；对于B，曲线在点，处有切线时，不一定存在，因为A、B是逆否命题，举例如A中函数即可，故B错误；对于C，当存在时，根据曲线在某点处的导数几何意义知，在点，处的切线斜率存在即为，故C正确；对于D，当曲线在点，处的切线斜率不存在时，曲线在该点处也可能有切线，此时切线垂直轴，故D错误．故选：C．4．气球的半径从2增加到3时，气球的体积平均膨胀率为______．【答案】【分析】根据平均变化率的概念直接计算即可.【详解】∵，，∴气球的体积平均膨胀率为．故答案为：5．函数在区间上的平均变化率为___________.【答案】【分析】根据函数平均变化率求法即可求得答案.【详解】由题意，函数的平均变化率为：.故答案为：.6．若，则___．【答案】【分析】导数的定义公式的变形应用，要求分子分母的变化量相同.【详解】故答案为：.专题04导数的概念及其几何意义A组基础巩固1．自由落体运动的公式为，若，则下列说法正确的是（）A．是在0~1s这段时间内的速度B．是1s到s这段时间内的速度C．是物体在s这一时刻的速度D．是物体从1s到s这段时间内的平均速度【答案】D【分析】代入解析式，化简，由平均速度的概念判断即可.【详解】由平均速度的概念可知，，表示1s到这段时间内的平均速度，故D正确.故选：D2．函数在区间上的平均变化率等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平均变化率的定义算出答案即可.【详解】函数在区间上的平均变化率等于故选：C3．一物体的运动方程是，则t在内的平均速度为（）A．0.41 B．4.1 C．0.3 D．3【答案】B【分析】由平均速度的定义求解即可【详解】，故选：B4.设在处可导，则（）．A．B．C．D．【答案】C【分析】根据导数的定义即可求解.【详解】解：∵在处可导，∴，故选：C.5．已知物体做自由落体的运动方程为，且无限趋近于0时，无限趋近于9.8m/s．那么关于9.8m/s正确的说法是（）．A．物体在0~1s这一段时间内的速度B．物体在这一段时间内的速度C．物体在1s这一时刻的速度D．物体从1s到这一段时间内的平均速度【答案】C【分析】结合导数定义式知，应表示的是在1这一时刻的瞬时速度.【详解】由平均速度的概念，表示的是这一段时间内的平均速度，其极限值即，表示这一时刻的瞬时速度．故选：C6．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合图象，利用平均变化率的定义求解.【详解】因为，，，由图象知，所以．故选：A7．一物体的运动满足曲线方程s(t)＝4t2＋2t－3，且s′（5）＝42(m/s)，其实际意义是（）A．物体5s内共走过42mB．物体每5s运动42mC．物体从开始运动到第5s运动的平均速度是42m/sD．物体以t＝5s时的瞬时速度运动的话，每经过1s，物体运动的路程为42m【答案】D【分析】根据瞬时速度的定义即可得出选项.【详解】由导数的物理意义知，s′（5）＝42(m/s)表示物体在t＝5s时的瞬时速度．故选：D.8．函数y＝x2＋2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0的平均变化率为k2，则（）A．k1<k2 B．k1>k2 C．k1＝k2 D．不确定【答案】D【分析】计算出，求出k1－k2＝2Δx，即得解.【详解】解：由题得k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx.所以k1－k2＝2Δx，因为Δx的正负不确定，所以k1与k2的大小关系也不确定.故选：D9．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】过点作切线，过点作切线，连接，得到直线，由导数的几何意义可知(2)(3)，整理可得答案．【详解】过点作切线，过点作切线，连接，得到直线，由图可知，的斜率的斜率的斜率，即(2)(3)，即(3)(3)(2)(2)，故选：B．10．已知函数在处可导，若，则____________．【答案】2【分析】根据导数与极限的定义求解．【详解】，所以．故答案为：2．11．若函数在处的导数是8，则________．【答案】1【分析】结合即可求解.【详解】根据导数的定义知，，解得．故答案为：112．已知，则___________.【答案】-8【分析】根据导函数的定义可得答案.【详解】解：令，因为.所以，故答案为：.13．某生物种群的数量Q与时间t的关系近似地符合.给出下列四个结论：①该生物种群的数量不会超过10；②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比；④该生物种群数量的增长速度最大的时间.根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【分析】对解析式上下同时除以，结合反比例函数模型可判断①正确；对求导，即为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断③错，②④正确【详解】，因为，故，，故该生物种群的数量不会超过10，①正确；由，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，③错；因为为对勾函数模型，故，当且仅当时取到等号，故整体先增加后减小，当时，最大，故②④正确，综上所述，①②④正确，故答案为：①②④14．函数在上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是______．【答案】#【分析】根据导数的定义分别求出从到和从到的平均变化率，利用作差法比较的大小即可.【详解】∵函数从到的改变量为，∴．∵函数从到的改变量为，∴．∵，而，∴．

B组能力提升15．（多选）已知函数的图象如下图，则函数在区间上的平均变化率情况是（）A．在区间上的平均变化率最小B．在区间上的平均变化率大于0C．在区间上的平均变化率比上的大D．在区间上的平均变化率最大【答案】BC【分析】利用平均变化率的定义逐一判断即可.【详解】函数在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，，即函数在区间上的平均变化率小于0；在区间，，上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大.故选：BC16．（多选）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则（）A．物体在时的瞬时速度为0m/s B．物体在时的瞬时速度为1m