（人教A版）高二数学下学期期末考点复习训练专题08 排列与组合（重难点突破+课时训练）（原卷版）

专题08排列与组合一、考情分析二、考点梳理【排列】1．排列的概念：从SKIPIF1<0个不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从SKIPIF1<0个不同元素中取出SKIPIF1<0个元素的一个排列说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从SKIPIF1<0个不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）个元素的所有排列的个数叫做从SKIPIF1<0个元素中取出SKIPIF1<0元素的排列数，用符号SKIPIF1<0表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从SKIPIF1<0个不同元素中，任取SKIPIF1<0个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从SKIPIF1<0个不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号SKIPIF1<0只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：由SKIPIF1<0的意义：假定有排好顺序的2个空位，从SKIPIF1<0个元素SKIPIF1<0中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数SKIPIF1<0．由分步计数原理完成上述填空共有SKIPIF1<0种填法，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0由此，求SKIPIF1<0可以按依次填3个空位来考虑，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0以按依次填SKIPIF1<0个空位来考虑SKIPIF1<0，排列数公式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）说明：（1）公式特征：第一个因数是SKIPIF1<0，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是SKIPIF1<0，共有SKIPIF1<0个因数；（2）全排列：当SKIPIF1<0时即SKIPIF1<0个不同元素全部取出的一个排列全排列数：SKIPIF1<0（叫做n的阶乘） 另外，我们规定0!=1.1组合的概念：一般地，从SKIPIF1<0个不同元素中取出SKIPIF1<0SKIPIF1<0个元素并成一组，叫做从SKIPIF1<0个不同元素中取出SKIPIF1<0个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同【组合】1．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素SKIPIF1<0中取出3个元素的组合数SKIPIF1<0是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数SKIPIF1<0可以求得，故我们可以考察一下SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的关系，如下：组合排列SKIPIF1<0由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数SKIPIF1<0，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有SKIPIF1<0个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有SKIPIF1<0种方法．由分步计数原理得：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0．2.推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数SKIPIF1<0，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数SKIPIF1<0；②求每一个组合中m个元素全排列数SKIPIF1<0，根据分步计数原理得：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0．3.组合数的公式：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0规定:SKIPIF1<0.

三、题型突破重难点题型突破1简单的排列问题例1．某会议结束后，21个会议人员合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，A站在前排正中间位置，B，C两人也站在前排并与A相邻，如果对其他人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【变式训练1-1】甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________.（用数字作答）重难点题型突破2简单的组合问题例2．从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（

）A． B． C． D．【变式训练2-1】甲､乙､丙三人计划参加学校趣味运动会中的千人迎面接力､五人踏板､足球射门､篮球投篮四个比赛项目，由于时间关系，每个人只能随机选择参加一个项目，则甲､乙､丙三人中恰好两人参加同一个比赛项目的概率为（

）A． B． C． D．重难点题型突破3注意缺少“至多”或“最少”例3．现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为（

）A．484 B．472C．252 D．232【变式训练3-1】将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人、至多2人，则不同的安排方法有（

）A．90种 B．120种 C．150种 D．180种重难点题型突破4特殊元素优先处理例4．共五人站成一排，如果必须站在的右边，那么不同的排法有___________种.【变式训练4-1】某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是___________．【变式训练4-2】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字且大于201345的正整数有（

）个.A．478 B．479 C．480 D．481重难点题型突破5相邻问题用捆绑与不相邻问题用插空例5．某学校为高一年级排周一上午的课表，共5节课，需排语文､数学､英语､生物､地理各一节，要求语文､英语之间恰排1门其它学科，则不同的排法数是（

）A．18 B．26 C．36 D．48【变式训练5-1】甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙不相邻的概率是（

）A． B． C． D．【变式训练5-2】，，，，五个人站成一排，则和分别站在的两边（可以相邻也可以不相邻）的概率为（

）A． B． C． D．重难点题型突破6排列与组合中平均分问题例6．将4本不同的书本全部分给甲、乙、丙三位同学，每位同学都分到书的分法有（

）A．12种 B．24种 C．32种 D．36种【变式训练6-1】为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣10名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排3个志愿者，则不同的安排方法共有________种．（用数字作答）重难点题型突破8涂色问题例7．用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（

）A．72 B．96 C．108 D．144【变式训练7-1】如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有A．360种 B．720种 C．780种 D．840种【变式训练7-2】如图，节日花坛中有5个区域，现有四种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有（

）种．A．36 B．48C．54 D．72专题08排列与组合A组基础巩固1．现需编制一个八位的序号，规定如下：序号由4个数字和2个x、1个y、1个z组成；2个x不能连续出现，且y在z的前面；数字在1，2，4，8之间选取，可重复选取，且四个数字之积为8，则符合条件的不同的序号种数为（

）A．12600 B．6300 C．5040 D．25202．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（

）A．54种 B．60种 C．72种 D．96种3．在2021中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加演习的有4艘军舰，5架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机.若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（

）A．51种 B．168种 C．224种 D．336种4．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（

）A．12 B．14 C．16 D．185．2021年1月10日，是我国设立的第一个“中国人民警察节”，2020年，某省人民群众对公安机关的满意度测评居首位．为感谢公安干警的辛勤付出，6名学生到甲、乙、丙、丁4个值勤岗亭做志愿者，每名学生只去1个值勤岗亭，且每个值勤岗亭均有志愿者值勤．若甲值勤岗亭安排3名志愿者，则不同的安排方法共有（

）A．60种 B．96种 C．120种 D．240种6．为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法､音乐､美术､体育社团，现将5名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案共有（

）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种7．某工程队有卡车､挖掘机､吊车､混凝土搅拌车各一辆，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆，则不同的派法种数是（

）A．18 B．9 C．27 D．368．通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，笫二部分为由阿拉伯数字与英文字母组成的序号．其中序号的编码规则为：①由0，1，2，…，9这10个阿拉伯数字与除，之外的24个英文字母组成；②最多只能有2个位置是英文字母，如：粤，则采用5位序号编码的粤牌照最多能发放的汽车号牌数为（

）A．586万张 B．682万张 C．696万张 D．706万张9．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（

）A．30种 B．60种 C．90种 D．150种10．从1到10这十个数中任取三个，这三个数的和为奇数的概率为（

）A． B． C． D．11．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A､B､C､D､E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（

）A． B． C． D．12．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为:宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取三个音阶，排成一个三个音阶的音序，则这个音序中必含“徵”这个音阶的概率为（

）A． B． C． D．13．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（

）A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；14．六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为（

）A． B． C． D．15．现有甲、乙、丙、丁、戌5人参加社区志愿者服务活动，每人从事团购、体温测量、进出人员信息登记、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.若甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（

）A．234 B．152 C．126 D．10816．某校迎新晚会上有个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有A．种 B．种 C．种 D．种17．某电影院的一个放映室前3排的位置如图所示，甲和乙各自买了一张同一个场次的电影票，已知他们买的票的座位都在前3排，则他们观影时座位不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率约为（）A．0.87 B．0.89 C．0.91 D．0.9218．某校为庆祝建党一百周年，要安排一场共11个节目的文艺晚会，除第1个节目和最后一个节目已经确定外，3个音乐节目要求排在2，6，9的位置，3个舞蹈节目必须相邻，3个曲艺节目没有要求，共有不同的演出顺序（

）种A．144 B．192 C．216 D．32419．某班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有两个节目连排，则不同排法的种数是（

）A．240 B．188 C．432 D．28820．某公司计划举办一场晚会，节目有1个朗诵，1个武术表演，2个话剧表演，3个歌舞表演，要求第一个节目为歌舞表演，最后一个节目为话剧表演，且相同种类的节目不相邻，则不同的节目演出顺序的种数为（

）A．432 B．252 C．192 D．18021．将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是（

）A． B．120 C．240 D．72022．如图，一块长方形花圃，计划在A、B、C、D四个区域分别种上3种不同颜色鲜花中的某一种，允许同一种颜色的鲜花使用多次，但相邻区域必须种不同颜色的鲜花，不同的种植方案有（

）A．9种 B．8种 C．7种 D．6种23．如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（

）A．280 B．180 C．96 D．60B组能力提升24．将2个2021，3个2019，4个2020填入如图的九宫格中，使得每行数字之和、每列数字之和都为奇数，不同的填法有___________种.（用数字回答）25．由数字1，3，4，6，五个数字组成没有重复数字的五位数，所有这些五位数各位数字之和为2640，则______．26．某九位数的各个数位由数字1，2，3组成，其中每个数字各出现3次，且数字1和数字2不能相邻，则符合条件的不同九位数的个数是___．（用数字作答）27．某外语组9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，则不同的选法有________种．28．某地区有3个疫苗接种定点医院，现有10名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少需要2名至多需要4名志愿者，则不同的安排方法共有___________种.29．5名志愿者进入3个不同的场馆参加工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为______．30．习近平总书记在湖南省湘西州花垣县十八洞村考察时，首次提出“精准扶贫”概念，“精准扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略.为配合国家“精准扶贫”战略，某省农业厅派出6名农业技术专家（4男2女）分成两组，到该省两个贫困县参加扶贫工作，若要求女专家不单独成组，且每组至多4人，则不同的选派方案共有__________种.31．甲、乙、丙3个公司承包5项不同工程，甲、乙公司均承包2项，丙公司承包1项，则共有______种承包方式．32．将5名北京冬奥会志愿者全部分配到花样滑冰､短道速滑､高山滑雪3个项目进行培训，每名志愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，并且甲､乙两名志愿者必须分配在一起，则共有种不同的分配方式___________.33．新年音乐会安排了2个唱歌､3个乐器和2个舞蹈共7个节目，则2个唱