（人教A版）高二数学下学期期末考点复习训练专题09 二项式定理（重难点突破+课时训练）（解析版）

专题09二项式定理一、考情分析二、考点梳理1．两个重要公式(1)排列数公式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，且m≤n)．(2)组合数公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)(n，m∈N*，且m≤n)．2．三个重要性质和定理(1)组合数性质①Ceq\o\al(m,n)＝eq\a\vs4\al(C\o\al(n－m,n))(n，m∈N*，且m≤n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝eq\a\vs4\al(C\o\al(m,n)＋C\o\al(m－1,n))(n，m∈N*，且m≤n)；③Ceq\o\al(0,n)＝1.(2)二项式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－k·bk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn，其中通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr.(3)二项式系数的性质①Ceq\o\al(0,n)＝Ceq\o\al(n,n)，Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(n－1,n)，…，Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－r,n)；②Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；③Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2n－1.三、题型突破重难点题型突破(一)二项式定理及二项展开式的通项公式的应用①．求展开式中的特定项或特定项的系数例1．（1）展开式中的常数项为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件求出二项展开式的通项公式，再求指定项作答.【详解】二项式展开式的通项公式为，由解得：，则，所以展开式中的常数项为.故选：D（2）的展开式中，x的系数为（

）A．10 B． C．20 D．【答案】A【分析】写出的展开式的通式，利用x的次数为1列方程求出，进而可得x的系数.【详解】的展开式的通式为：令得，x的系数为.故选：A.【变式训练1-1】展开式中的常数项是___________.【答案】【分析】由题可得，即得.【详解】因为展开式的通项为令，可得常数项是.故答案为：.【变式训练1-2】的展开式中的系数为__________．【答案】【分析】根据二项展开式的通项公式可求得结果.【详解】因为，又的展开式的通项所以的展开式中的系数为.故答案为：.②．求二项展开式中某项的二项式系数例2．（1）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______．（用数字作答）【答案】-192【分析】根据二项式展开式的二项式系数之和可得，解出n，结合通项公式计算即可求出的系数.【详解】由题意知，二项式系数之和，所以所以，所求的系数为.故答案为：-192（2）若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则（

）．A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】求得二项展开式的第4项与第8项的二项式系数，列出方程，即可求解.【详解】由题意，二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为，，可得，解得.故选：B.【变式训练2-1】已知的二项式展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式的常数项为_______.（结果用数值表示）【答案】1120【分析】由的二项展开式的所有二项式系数的和为可求得的值，进而可写出该二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可求得结果.【详解】由于的二项展开式的所有二项式系数的和为，解得.的展开式通项为，令，解得.因此，的展开式中的常数项为.故答案为：.【变式训练2-2】已知（）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（

）A．展开式中奇数项的二项式系数和为256B．展开式中第6项的系数最大C．展开式中存在常数项D．展开式中含的项的系数为35【答案】BC【分析】由题意得，，再由组合数的性质，求出，再令结合展开式的各项系数之和为1024求出，利用二项式的展开式的性质即可判断四个选项．【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，所以，可得，又展开式的各项系数之和为1024，即当时，，所以，所以二项式，因为展开式的二项式系数和为，所以奇数项的二项式系数和为，故A错误；由可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大，因为与的系数均为1，所以该二项式展开式的各项的二项式系数与该项的系数相同，所以第6项的系数最大，故B正确；若展开式中存在常数项，由通项可得，解得，故C正确；令，可得，所以展开式中含的项的系数为，故D错误．故选：BC．重难点题型突破(二)二项式定理的性质的应用①．二项式系数的和与各项的系数和问题例3．（1）已知的展开式中二项式系数之和为256，则该展开式中含x项的系数为（

）A．896 B．1024 C．1792 D．2048【答案】C【分析】由展开式中二项式系数之和为256，可得，从而可得展开式的通项公式为，再令求出，即可得答案.【详解】解：因为的展开式中二项式系数之和为256，所以，解得，所以展开式的通项公式为，令，可得，所以该展开式中含x项的系数为，故选：C.（2）若的展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是______.【答案】5【分析】利用赋值法令表达出展开式的各项系数和，求出，根据二项式展开式的通项公式计算即可得出结果.【详解】解：因为的展开式的各项系数和为32，令，得，所以，又，所以该展开式中的系数是．故答案为：5【变式训练3-1】已知的展开式中所有二项式系数之和是64，则它展开式中x2的系数___________.【答案】【分析】利用二项式定理系数的性质，求出n，然后通过二项式定理的通项公式求出项即可．【详解】解：的展开式的二项式系数之和为64，所以，所以，由二项式定理的通项公式得：当时，展开式中项的系数为：②．二项式系数和项的系数的最值问题例4．（1）若在的展开式中第项的二项式系数最大，则的展开式中，常数项是___________.【答案】60【分析】先求出k，再利用二项展开式的通项公式求出常数项.【详解】的展开式中第项的二项式系数最大，则.的展开式通项，当，即时为常数项，故常数项为.故答案为：60（2）已知，则下列选项正确的是（

）A．B．C．D．展开式中系数最大的为【答案】BD【分析】根据二项展开式的通项可求得，知A错误；采用赋值法，令和，则可求得B正确；采用赋值法，令可求得，由此可计算知C错误；根据二项展开式通项分别求得展开式中系数为正的项，则可知D正确.【详解】展开式通项公式为：，对于A，令，则，A错误；对于B，令，则；令，则；，B正确；对于C，令得：，，C错误；对于D，为正数，为负数，又，，，，展开式中系数最大的为，D正确.故选：BD.【变式训练4-1】若，则的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】分别把与代入题干所给的式子中，再求出的系数，即可得到答案.【详解】令，得；令，得；展开式中的系数为2，故.所以.故选：A.【变式训练4-2】的展开式中，x的指数为偶数的项的系数之和为（

）A．64 B．48 C．32 D．16【答案】D【分析】根据与的展开式中x的指数为偶数的项相乘及与的展开式中x的指数为偶数的项相乘，得到展开式中x的指数为偶数的项的系数之和.【详解】的展开式中，所有x的指数为偶数的项的系数之和为.故选：D.专题09二项式定理A组基础巩固1．在的展开式中的系数为20，则常数（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】写出二项展开式通项公式，求得的项数后，由系数为20可得参数值．【详解】由题意得二项展开式的通项公式为，依题意，令，则，，解得．故选：A．2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二项式系数求得正确答案.【详解】依题意..故选：C3．二项式的展开式中，的系数为（

）A． B． C．10 D．15【答案】A【分析】首先求出二项式展开式的通项，再令求出，再代入计算可得；【详解】解：二项式展开式的通项为，令，解得，所以，故的系数为；故选：A4．的展开式中的系数为（

）A．－50 B．－10 C．10 D．50【答案】A【分析】根据二项式定理得出展开式的通项，求出，，进而得出的系数.【详解】展开式的通项为，则，，故展开式中的系数为.故选：A5．若的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项是（

）A．240 B．－240 C．160 D．－160【答案】A【分析】根据二项式系数和公式可求得，再由二项定理展开式的通项求得常数项.【详解】由二项式定理性质可知，二项式系数和为，所以，根据二项展开式的通项公式为，令，则，所以展开式中的常数项为240.故选：A.6．的展开式中，常数项为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项计算即可得解.【详解】的展开式通项为，令，可得，因此，展开式中常数项为.故选：A.7．展开式中各项系数和为，则该展开式中常数项为（

）A．8 B．28 C．56 D．70【答案】B【分析】根据题意求得，再结合二项展开式的通项确定的值，即可求解.【详解】由展开式中各项系数和为，令，可得，解得，即，则展开式的通项为，令，解得，所以展开式的通项为.故选：B.8．已知的展开式中二项式系数和为128，则展开式中有理项的项数为（

）A．0 B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】先根据展开式中二项式系数的和求出，得到通项公式，求出有理项个数.【详解】由题展开式中二项式系数的和为，解得，所以二项式为，则展开式的通项为，，1，2…，7.所以当，3，6时，为有理项，所以展开式中有理项共3项.故选：C.9．的各项系数和为（

）A． B．27 C．16 D．【答案】A【分析】使用二项式定理将式子展开即可求解.【详解】，各项系数和为.故选：A.10．若的展开式中的系数为75，则（

）A．-3 B．-2 C．2 D．3【答案】A【分析】结合二项式的展开式的通项公式以及多项式的乘法运算可得，进而可求出结果.【详解】的展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为，由题知，，解得．故选：A.11．的展开式中，的系数为（

）A．40 B． C．80 D．【答案】D【分析】求出的展开式为，在令，即可求出结果.【详解】因为的展开式为令，所以的系数为.故选：D.12．已知的展开式中的系数为，则该二项展开式中的常数项为（

）A． B． C．640 D．320【答案】A【分析】根据二项式定理的通项公式求的展开式中项和常数项，从而可求出的值；然后再利用二项式定理求该二项展开式中的常数项.【详解】的展开式的通项公式为，令，得；令，得(舍去).故的展开式中的系数为，解得.令，得(舍去)；令，得.故的展开式中的常数项为.故选：A.13．的展开式中的系数是________．（用数字作答）【答案】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的次数等于5，求出的值，从而可求出答案【详解】的展开式的通项公式，令8－3r＝5，得r＝1，故所求的系数是－4故答案为：14．若二项式的展开式中二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为__________.【答案】28【分析】根据给定条件求出幂指数n，再求出展开式的通项公式即可推理计算作答.【详解】因二项式的展开式中二项式系数的和为256，则，解得，二项式展开式的通项，由，即得：，所以展开式中的常数项为28.故答案为：2815．若二项武的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值是_________．【答案】7【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为0，进而可得结果.【详解】的展开式的通项，令，得，因为，所以当时，有最小值为7.故答案为：7.故答案为：.16．的展开式中含项的系数为，则实数______．【答案】3【分析】先求得通项公式，再令，求得k＝3，代入求解即可.【详解】由二项式定理可得：展开式的通项为，则由，解得k＝3，所以展开式中含项的系数为，解得a＝3．故答案为：317．若的展开式中的系数是，则实数a的值是___________.【答案】【分析】根据二项式展开式的通项，求得含的项为，从而求得参数值.【详解】二项式展开式中含的项为，则，解得，故答案为：-218．的二项展开式中的系数为____________【答案】【分析】根据二项式定理计算即可.【详解】解：展开式的通项公式为，故当时，的二项展开式中的项为，其系数为.故答案为：19．已知二项式的展开式中，常数项为，则实数___________.【答案】2【分析】写出二项式的展开式公式，令，结合题意即可求出参数a【详解】二项式的展开式通项公式为令，解得，因为常数项为14，所以，解得，故答案为：220．二项展开式中的x的有理项的系数和为______【答案】255【分析】易得展开式的通项为，再由为有理数求解.【详解】展开式的通项为，若为有理数，则，所以x的有理项的系数和为，故答案为：255

B组能力提升21．（多选）下列关于多项式的展开式的结论中，正确的是（

）A．各项系数之和为 B．各项系数的绝对值之和为C．不存在项 D．常数项为【答案】AD【分析】赋值法判断A、B；根据已知多项式，结合二项式定理判断C、D的正误.【详解】令得，故A正确﹔取多项式，将代入多项式可得，故B错误﹔由题设，，若要得到含项，只需个因式中个取，剩下个取，故C错误;个因式中个取，个取，剩下个取，得5个因式中个取个取，剩下个取，得，5个因式中均取，得.故常数项为，D正确.故选：AD.22．（多选）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（

）A．各项系数之和为1B．各项系数的绝对值之和为212C．存在常数项D．x3的系数为40【答案】BCD【分析】令，可以判断A；多项式的展开式各项系数的绝对值之和与多项式的展开式各项系数之和相等,可判断选项B；利用通项公式可判断C，D.【详解】由题意令可得，各项系数之和为26，故A错误；多项式的展开式各项系数的绝对值之和与多项式的展开式各项系数之和相等，故令，得各项系数的绝对值之和为212，故B正确；由，易知该多项式的展开式中一定存在常数项，故C正确；由题中的多项式可知，若出现x3，可能的组合只有和，结合排列组合的性质可得x3的系数为，故D正确.故选：BCD.23．（多选）已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（

）A． B．展开式中二项式系数之和为256C．展开式中常数项为 D．展开式系数的绝对值的和为【答案】AD【分析】对于A选项，令二项式中的为1得到展开式的各项系数和得到，求解；对于B选项，因为二项式系数和为,由于，从而展开式中二项式系数之和