【数学】浙江省杭州市2026届高三上学期教学质量检测试题(解析版)

浙江省杭州市2026届高三上学期教学质量检测数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故选：B.2.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，因为，所以.故选：B.3.设向量.若，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】由向量的坐标表示出，然后解方程即可.【详解】，∴，解得.故选：A.4.《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有牛､羊､猪各数头（各有至少1头），已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪､羊数量之和，则牛､羊､猪的总头数至少为（）A.12 B.15 C.18 D.21【答案】B【解析】设牛、羊、猪分别为头，则根据题意有，则，则，则，则.故选：B.5.已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】是等差数列，则需要满足，对于A，取等差数列，则,，,则，故A不正确；对于B，取等差数列，则,,，则，故B不正确；对于C，取等差数列，则,,,则，故C不正确；对于D,,,所以，，由于为等差数列，则，所以，故D正确；故选：D.6.设样本数据，，，的平均数，中位数，众数和标准差分别为.当取得最小值时，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，是一个开口向上的关于的二次函数，故函数在对称轴处取得最小值，即.故选：A.7.若圆经过，圆心在直线上，则圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设圆的方程为：，所以，解得：，所以圆的面积为；故选：B.8.设函数，若，则（）A.2 B.1 C.-1 D.-2【答案】D【解析】因为，所以，即，令，，所以在上为单调递增的奇函数，由于，，所以，则，故选：D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在的展开式中，（）A.常数项为20B.含的项的系数为80C.各项系数的和为32D.各项系数中的最大值为80【答案】BD【解析】2x和只有分得的次数相同才能得到常数项，5次方无法均分，因此没有常数项，故A不正确；含x的项为，故x的系数是80，所以B正确；各项系数的和是令时得到，即，故C错误．的展开式的通项公式为：，设第项的系数最大，系数为，则，解得：或，此时系数为，故D正确；故选：BD．10.设函数，则（）A.B.的最小正周期是C.的值域是D.在区间上单调递增【答案】ABC【解析】，∴，故A正确；函数的最小正周期，故B正确；因，则函数的值域是，故C正确；当时，，此时函数单调递减，则函数也单调递减，故D错误.故选：ABC.11.已知函数的函数值等于的正因数的个数.例如.则下列选项正确的是（）A.B.C.D.设，则【答案】ACD【解析】对于A，6的正因数为共4个，所以，故A正确；对于B，，它的因数形如，其中，所以不同的因数有个，即，故B不正确.对于C，因为，所以，所以，故C正确；对于D，，则，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量服从正态分布.若，则__________.【答案】0.28【解析】由题可得：;故答案为：.13.函数在上的最小值为__________.【答案】2【解析】由题可得：，解得：，所以，则，令,解得：，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.故答案为：.14.过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则__________.【答案】【解析】设为上的点，将点绕原点逆时针旋转到，则，由于，则，化简可得：，则点的轨迹为等轴双曲线，其焦点为，，且；所以曲线也是等轴双曲线，其焦点为，，故点到焦点距离之差为常数.即，如图所示.因为点分别是和的中点，故，而，由于，所以.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知等差数列满足.（1）求的通项公式；（2）设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和.解：（1）设等差数列的公差为，则解得，所以的通项公式为.（2）设等比数列的公比是，由，得，解得，所以的通项公式为，此时，，满足，故.结合（1）知，所以数列的前项和.16.设的内角的对边分别为，已知.（1）若.（i）求；（ii）求；（2）求的最大值.解：（1）（i），展开化简得：，所以；（ii）由，而为三角形内角，故，所以，由正弦定理，得.（2）由（1）可得，故均为锐角，所以，当且仅当时，取到最大值.17.已知函数，为的导数，其中为自然对数的底数.（1）求；（2）证明：当时，；（3）设，对任意的，若，求证：.（1）解：，所以；（2）证明：设，，所以在上单调递增，当时，，所以，当时，成立.（3）证明：因为，则，由（2）知，即，∴，所以.原式18.已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，.（1）求椭圆的标准方程；（2）设，（i）求证：；（ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值.（1）解：由题知，，又，解得.故椭圆的方程为.（2）（i）证明：记，由题意知.设直线的方程为，代入椭圆得：.则有，①设与的斜率分别为，则所以.（ii）解：设满足，则，②将代入②，并化简得，③将（2）中①代入③得：，即.又因为直线和直线的交点为.故满足的点都在以为直径的圆上.因为都在以为直径的圆上，故，所以是的角平分线.则，所以，即.所以，解得，所以.19.现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以标号.在棋盘上，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为.棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子次，用表示第次投掷后棋子的位置（为坐标原点），规定：其中向量为前次投掷过程中，掷得偶数的总次数.（1）求点所有可能的坐标；（2）求投掷骰子8次后棋子在原点的概率；（3）投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为的概率为，求的表达式，并指出当为何值时，取得最大值.解：（1）由题意，点可能的坐标为.（2）令向量，则当时，；当时，；当时，其中，且.要保证为原点，则在8次投掷过程中，掷得奇数的次数应为.①若，即8次投掷全部为偶数，共1种情况：偶偶偶偶偶偶偶偶；②若，即8次投掷过程中有5次偶数，3次奇数，则共8种情况：奇偶奇偶奇偶偶偶，奇偶奇偶偶偶偶奇，奇偶偶奇偶偶奇偶，奇偶偶偶偶奇偶奇，偶奇偶奇偶奇偶偶，偶奇偶偶奇偶偶奇，偶偶奇偶奇偶奇偶，偶偶偶奇偶奇偶奇；③若，即6次奇数，仅有1种情况：奇奇偶奇奇偶奇奇.故为坐标原点的概率.（3）当不是3的倍数时，显然有.以下讨论当是3的倍数的情况.不妨设，则掷得偶数的次数为次.记进行加向量为操作，加向量为操作，加向量为操作，不