【数学】浙江省嘉兴八校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考试题(解析版)

浙江省嘉兴八校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点，，则直线的斜率为（）A B. C.3 D.2【答案】C【解析】根据题意可得直线的斜率.故选：C．2.已知直线与垂直，则实数的值为（）A.2 B.-2 C. D.【答案】A【解析】当时，得，此时与不垂直；当时，若，则，解得.故选：A.3.已知分别是椭圆的左、右焦点，点Р在椭圆上，若，则（）A.6 B.3 C. D.2【答案】B【解析】依题意，，则.故选：B.4.已知空间向量与共线，则（）A.-1 B. C. D.1【答案】C【解析】因为空间向量与共线，所以，解得，所以.故选：C.5.在三棱柱中，，，，BC的中点为，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】易知.故选：B.6.过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（）A.2 B. C. D.4【答案】B【解析】由题意有，即.故选：B.7.已知圆和两点，若圆上有且仅有一点，使得，则实数的值是（）A. B.C.或 D.【答案】C【解析】根据题意，圆，其圆心为，半径，由两点，可得以为直径的圆的方程为，设该圆为圆，其圆心为，半径，若点满足，则在圆上，又由圆上有且只有一点使得，则圆与圆相切，则有或，又因为，解得或.故选：C.8.已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得，设，则，，，由，则，即，解得，所以，，，即，解得，所以椭圆的离心率.故选：D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每题全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分.9.已知圆：，则下列说法正确的是（）A.点在圆内B.圆的圆心坐标为，半径为C.圆与轴交于点，则D.直线：与圆相切，则【答案】ABC【解析】对于A，根据点与圆的位置关系，将点代入圆方程，得，所以点在圆内，选项A正确；对于B，因为圆：，所以圆的标准式为，圆心为，半径为2，选项B正确；对于C，令，则，得，所以，因为圆心到轴的距离为1，所以，选项C正确；对于D，因为直线：与圆相切，所以，解得，所以D错误故选：ABC.10.正方体的棱长为，则下列说法正确的是（）A.直线与直线所成的角为B.直线与平面所成的角为C.二面角的平面角为D.点到平面的距离为【答案】ABD【解析】以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，则，对于A：，，又，所以，所以直线与直线所成的角为，故A正确；对于B：因为，，设平面的法向量为，则，故，令，则，所以为平面的一个法向量，又，设直线与平面所成角为，所以，又，所以，所以直线与平面所成的角为，故B正确；对于C：由选项B的解析可得为平面的一个法向量，设平面的法向量为，，，则，故，令，则，所以为平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则，，结合图象可得，所以二面角的平面角为，故C错误；对于D：因为，为平面的一个法向量，所以点到平面的距离，故D正确.故选：ABD.11.如图，在棱长为的正方体中，分别是棱，的中点，点在线段上运动，下列结论正确的是（）A.平面截正方体所得的截面图形是五边形B.直线到平面的距离是C.存在点，使得D.面积的最小值是【答案】AC【解析】对于A，如图直线与、的延长线分别交于，连接分别交于，连接，则五边形即为所得的截面图形，故A正确；对于B，由题可知，平面，平面，∴平面，故点到平面的距离即为直线到平面的距离，设点到平面的距离为h，由正方体的棱长为2可得，，，∴，又，所以，∴由可得，所以直线到平面的距离是，故B错误；对于C，如图建立空间直角坐标系，则，设，∴，又，∴，，假设存在点，使得，∴，整理得，∴（舍去）或，故存点，使得，故C正确；对于D，由上知，所以点在的投影为，∴点到的距离为：，∴当时，，∴面积的最小值是，故D错误.故选：AC.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线的倾斜角为______．【答案】【解析】设直线的倾斜角为，，将直线转化为斜截式，可知直线的斜率为，所以，所以，所以直线的倾斜角为．故答案为：.13.已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点P满足轴，，则的周长为___________．【答案】【解析】设则，由椭圆的定义可知，故，所以，因为轴，所以为直角三角形，由勾股定理得，即，解得，，所以的周长.故答案为：.14.已知圆：与圆关于直线：对称，且圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为，则实数的值为_______．【答案】2或6.【解析】设圆的圆心为，∵圆和圆关于直线对称，∴，解得，∴圆的圆心为．∴．∵圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为为，∴，解得或．四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知空间三点，，，设，.（1）求，；（2）若向量与互相垂直，求实数k的值.解：（1）由题意，，故，；（2）因与互相垂直，则，其中，即，解得或.16.已知的三个顶点是．（1）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程；（2）若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程．解：（1）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点，①当直线与平行，因为，且过点，所以方程为，即；②当直线通过的中点，所以，所以的方程为，即．综上：直线的方程为或．（2）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为，因为直线过点，所以，由基本不等式可得，所以，当且仅当即时，取得最小值24，所以面积，所以当时，面积最小，此时直线的方程为，即．17.在平面直角坐标系中，已知直线：，圆：（1）若直线与圆相切，求实数的值；（2）若，直线与圆相交于两点，求的面积；（3）若直线：与圆交于两点，且（为坐标原点），求实数的值.解：（1）圆的方程可化为，所以圆的圆心的坐标为，半径，因为直线与圆相切，圆心到直线的距离，所以，解得，（2）由（1）圆的圆心的坐标为半径，若，则直线的方程为，圆心到直线的距离，所以，所以的面积，（3）设，，因为，所以，故，由，消得，方程的判别式，由已知是方程的根，所以，，因为，由可得，结合，可得，故，，所以，所以.18.如图，在四棱锥中，平面，，，，点E是棱上靠近P端的三等分点.（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）是否存在棱上一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请指出此时点的位置.（1）证明：因为平面，平面，所以，又因为，有，所以，又，、平面，故平面；（2）证明：方法一：连交于点，连，由，则与相似，则，则，故，又平面，平面，故平面.方法二：以点D为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，有，则，，设平面的一个法向量为，则有，即，令，得，，则，又，可得，又因为平面，所以平面.（3）解：假设存在，设，设，则，，可得，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，则，设平面与平面的夹角为，则，，，化简整理得，解得或（负值舍去），故点是棱的中点.19.已知椭圆的离心率为，A、分别为椭圆的左、右顶点.过点作斜率为的动直线交椭圆于、两点；当变化时，面积的最大值为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）当时，求的面积；（3）如图，设关于原点的对称点为，直线、交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.解：（1）依题