1.3：空间向量及其运算的坐标表示 解析版-2025-2026学年高二数学精讲与精练高分突破系列人教A版2019选择性必修第一册

.3：空间向量及其运算的坐标表示【考点归纳】【知识梳理】知识点一、空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．知识点二、空间一点的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．知识点三、空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．知识点四、空间向量的坐标运算：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3知识点五、空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).知识点六、空间两点间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，：则P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).【例题详解】题型一、求空间点的坐标【例1】（20-21高二·江苏）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)写出，C，，四点的坐标；(2)写出向量，，，的坐标．【答案】(1)点，点，点C，(2)；；；．【分析】（1）根据如图所示的空间直角坐标系以及长方体的长宽高可直接写出点的坐标；（2）利用向量坐标的线性运算可得向量的坐标.【详解】（1）点在z轴上，且，所以点的坐标是．同理，点C的坐标是．点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点的坐标是．点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点的坐标是．（2）；；；．【跟踪训练1】23-24高二上·山东聊城·阶段练习）已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.

【答案】.【分析】利用空间坐标系中向量坐标求法，结合向量的运算进行求解.【详解】易知的中线长为，则，，设分别是轴正方向上的单位向量，轴与的交点为，则，..

【跟踪训练2】（23-24高二下·江苏·课前预习）如图所示，在四棱锥中，建立空间直角坐标系，若，是的中点，求点的坐标.

【答案】【分析】法一：分别求得在坐标轴上的投影可得；法二：设的单位向量分别为，利用空间的线性运算可得，即可求解.【详解】法一：设点在轴、轴、轴上的射影分别为，它们在坐标轴上的坐标分别为，所以点的坐标是.

法二：设的单位向量分别为，则为空间的一个基底，.所以点的坐标是.题型二、空间向量的坐标运算【例2】（23-24高二上·新疆·阶段练习）已知，，.(1)求的值；(2).【答案】(1) (2)【分析】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解.【详解】（1）由，可得，.，故（2），，可得，，故【跟踪训练1】（22-23高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标：(1)； (2)； (3)．【答案】(1) (2) (3)【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可.【详解】（1）．（2）．（3）.【跟踪训练2】（22-23高二上·辽宁朝阳·阶段练习）已知在空间直角坐标系中，，，；(1)若点M满足，求点M的坐标；(2)若，，求．【答案】(1)； (2)16.【分析】（1）设，根据空间向量线性运算的坐标表示，求解即可；（2）先用坐标表示，根据空间向量线性运算和数量积的坐标表示，求解即可.【详解】（1）不妨设点，则，，故，即，即.（2）由题意，，故.题型三、空间向量平行坐标问题【例3】．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，且，则（

）A．-5 B． C．4 D．【答案】D【分析】根据向量平行得对应坐标成比例可列方程求解.【详解】因为，且，所以，解得.故选：D.【跟踪训练1】．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知，，若//，则λ与μ的值可以是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】由向量共线定理可设，列方程求.【详解】因为//，，故可设，又，，所以，所以或，故选：A.【跟踪训练2】．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）已知向量，，若与平行，则实数k的值为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根据已知条件结合向量共线定理求解即可.【详解】因为，所以，，因为与平行，所以存在唯一实数，使，所以，则，解得，故选：B.题型四、空间向量垂直坐标问题【例4】．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可.【详解】由题设，，又与互相垂直，则，解得.故选：C【跟踪训练1】．（24-25高二上·广东惠州·期末）已知空间向量，若，则实数等于（

）A． B． C．1 D．3【答案】D【分析】即等价于.【详解】因为且,所以,解得,故选：D．【跟踪训练2】．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知向量，，若，则的值是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】利用空间向量垂直的坐标表示建立方程，求解参数即可.【详解】因为向量，，所以，因为，所以，即，解得，故D正确.故选：D.题型五：空间向量模长坐标问题【例5】．（24-25高二上·辽宁大连·期末）设，向量，，，且，，则等于（

）A． B． C．3 D．9【答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求出，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解.【详解】由题可得，解得，所以向量，，所以，所以.故选：C.【跟踪训练1】．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知向量，，，且．(1)求；(2)若向量与垂直，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据向量加减及模长的坐标运算，结合列方程求参数；（2）由向量加减、垂直的坐标运算求得，再应用向量减法和模长坐标运算求结果.【详解】（1）由，即，所以，整理得；（2）由，又向量与垂直，所以，所以.【跟踪训练2】．（23-24高二上·广东江门·阶段练习）已知向量，，点，.(1)求的值；(2)在直线上存在一点E，使得，求点E的坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据空间向量运算的坐标表示公式，结合空间向量模的坐标表示公式进行求解即可；（2）根据空间向量坐标表示公式，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.【详解】（1）因为向量，，所以向量，，因此，所以；（2）因为，，所以，因为点E在直线上，所以设，因为，所以，因为，所以，所以，因此点E的坐标.题型六：空间向量夹角坐标问题【例6】．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知向量，，其中，，．(1)求；(2)求与的夹角的余弦值．【答案】(1)；(2)0【分析】（1）由数量积和模的坐标表示计算；（2）由向量夹角的坐标表示求解．【详解】（1）由题意，则，所以，；（2），．【跟踪训练1】．（22-23高二上·广西梧州·期中）如图，在正方体中，，，，分别是，，，的中点，则．【答案】/【分析】直接利用向量的坐标运算求出向量的夹角．【详解】利用正方体，建立空间直角坐标系，，设正方体的棱长为2，则，所以，，所以，故，故答案为：．【跟踪训练2】．（24-25高二上·北京·期中）设，向量，且.(1)求；(2)求向量与夹角的余弦值.【答案】(1)3(2)【分析】（1）首先利用向量的共线和向量的垂直求出向量的坐标，进一步求出向量的模；（2）利用向量的线性运算和向量的夹角运算求出结果.【详解】（1）向量，且，故，解得.由于，所以，解得.故，所以，故.（2）由于，故，故.题型七：空间向量坐标综合问题【例7】．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知(1)，求的坐标；(2)求；(3)若与互相垂直，求实数的值.【答案】(1)或(2)(3)或【分析】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得；（2）先求得，，再利用公式即可求得的值；（3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值．【详解】（1）由题可知，，由，得，设，因为，所以，解得，所以或．（2）因为、、，，，所以，，则.（3）因为，，又与垂直，所以，解得或．【跟踪训练1】．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知向量，且.(1)求向量与的夹角；(2)求的值；(3)若向量与互相垂直，求的值．【答案】(1)(2)4(3)【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可；（2）由及已知条件求得，即可求模；（3）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可．【详解】（1）因为，.得，所以.由，可得，因为，所以向量与的夹角为.（2），故4.（3）由向量与互相垂直，得，，整理得，解得.【跟踪训练2】．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点．(1)求证：；(2)求的长；(3)求．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）（2）（3）法1，由题图结合数量积运算律，向量模长公式，向量夹角公式可得答案；法2，由图建立空间直角坐标系，由数量积坐标计算运算律，向量模长坐标公式，向量夹角坐标公式可得答案；【详解】（1）法1，结合题图，，由题，，则，所以，即；法2，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．因为为的中点，所以，所以，，又，所以，即；（2）法1，，，则，从而，则，即的长为；法2，由（1），，则，所以的长为（3）法1，由于，，因此，故．，故．，故；法2，，，所以，，，则．【高分演练】一、单选题1．（25-26高二上·黑龙江）已知向量，，若与共线，则（

）A．12 B．9 C． D．【答案】C【分析】由空间向量共线的充要条件列式求得，，即得.【详解】由向量，共线，故存在，使得，即，解得，，所以．故选：C．2．（25-26高二上·安徽阜阳·开学考试）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量夹角公式的坐标表示求解.【详解】由已知两式相加，得即，两式相减可得即，所以.故选：C3．（25-26高二上·全国·单元测试）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则【答案】D【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；结合空间向量的模长公式可判断B选项；分析可得且不共线，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项.【详解】对于选项A:若，则，解得,故选项A错误；对于选项B:若，则，解得，故选项B错误；对于选项C:若为钝角，则且，解得且，故选项C错误；对于选项D:在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确．故选：D.4．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知空间向量，若与垂直，则（

）A． B． C． D．14【答案】B【分析】根据空间向量数量积的运算及空间向量的模求解.【详解】因为与垂直，所以，解得，所以，故.故选：B5．（24-25高二上·广东广州·期中）已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，利用坐标计算，最后求一元二次函数的最小值.【详解】因点在直线上运动，则设，于是有，因此，，于是得则当时，，此时，点故选：A6．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）向量，，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量的关系列式求解，的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模公式计算得出结果.【详解】由，，则，解得，，，，.故选：C.7．（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，点为的中点，BN=13BD，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式计算得解.【详解】在四棱锥中，平面，且四边形为正方形，则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，的中点，BN=13所以.故选：C8．（24-25高二上·河北石家庄·期末）在棱长为1的正方体中，以D为原点，、、所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，若直线上的点P到直线的距离最短，则P点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，设，利用坐标运算求出在上的投影，利用勾股定理由表示出点P到直线的距离，再由距离最短，得到的值，进而求得P点坐标.【详解】以D为原点、、所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，正方体的棱长为1，则，，设，则，即，，在上的投影为，点P到直线的距离为：，当时，点P到直线的距离最短，所以点P的坐标为故选：C.二、多选题9．（25-26高二上·全国·单元测试）在空间直角坐标系中，为坐标原点，且，，，则下列结论正确的是（

）A．的中点坐标为 B．C． D．若，则四点共面【答案】BD【分析】对于A，由空间中点坐标公式可判断选项正误；对于B，由空间向量坐标运算，数量积运算公式可判断选项正误；对于C，验证是否等于0，可判断选项正误；对于D，由可得，据此可判断选项正误.【详解】因为，，，所以，，.对于A，的中点坐标为．故A错误；对于B，，则．故B正确；对于C，，所以，不垂直．故C错误；对于D，因为，所以，所以，所以，即，所以，，共面，所以四点共面，故D正确.故选：BD10．（25-26高二上·全国·单元测试）已知向量，，，则下列结论正确的是（

）A．向量与向量的夹角为 B．C． D．向量在向量上的投影向量为【答案】BC【分析】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可.【详解】对于A，因为，，所以，又，所以，所以A错误；对于B，因为，所以，故，所以B正确；对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确；对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为，所以D错误，．故选：BC.11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知四边形ABCD是平行四边形，，，，则（

）A．点D的坐标是 B．C． D．四边形ABCD的面积是【答案】BD【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】设，则，由，且，可得，所以点的坐标是，故A不正确；因为，则，故B正确；因为，，所以，且，，则，故C错误；由C可知，则四边形的面积为，故D正确；故选：BD12．（24-25高二上·广东深圳·期末）关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面B．已知两个向量，，且，则C．若，且，，则D．，，则在上的投影向量为【答案】BC【分析】利用空间中四点共面的推论可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量垂直的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，若、、、四点共面，则存在、，使得，即，所以，，且，因为对空间中任意一点，有，且，故、、、四点不共面，A错；对于B选项，已知两个向量，，且，设，即，则，解得，故，B对；对于C选项，若，且，，则，C对；对于D选项，若，，则在上的投影向量为，D错.故选：BC.13．（24-25高二上·四川南充·期末）下列给出的命题中正确的有（

）A．已知两个向量，，且，则B．三棱锥中，点为平面上的一点，且，则C．已知，，则在上的投影向量坐标为D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底【答案】ABC【分析】根据空间向量平行求参数，可判断A的真假；根据向量共面求参数，可判断B的真假；根据投影向量的概念判断C的真假；根据空间向量基底的概念判断D的真假.【详解】对A选项：由，所以存在，使得，即，所以，所以，故A正确；对B选项：因为点为平面上的一点，所以存在，使得,即.因为，所以，故B正确；对C选项：在上的投影向量为：，故C正确；对D选项：因为，所以，，三个向量共面，所以不是空间向量的一组基底，故D错误.故选：ABC三、填空题14．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）向量，，则在上的投影向量的坐标为【答案】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】在上的投影向量为，故答案为：15．（25-26高二上·全国·期中）已知，则在方向上的投影向量的坐标为．【答案】【分析】计算出，利用投影向量的计算公式进行求解.【详解】，可得在方向上的投影向量为．故答案为：16．（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知，，，若，则的值为.【答案】【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值.【详解】因为，，所以，由得，又，所以，解得.故答案为：17．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为．【答案】或【分析】根据空间向量共线，运用坐标公式将关于的等式表示出来，然后求出的值.【详解】由题意知所在的直线平行，，，共线的充要条件是显然，，符合题意.当时，由，得代入，得综上，的值为1或.故答案为：1或3.18．（2025·四川成都·三模）在三棱锥中，两两垂直，且．若M为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为.【答案】【分析】将三棱锥放入正方体中建立空间直角坐标系，表示出相关点的坐标，再结合空间向量的线性运算将用三角函数表示，最后利用余弦函数的有界性求解即可．【详解】三棱锥中，两两垂直，且．若为该三棱锥外接球上的一动点，如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的交点，以为原点建立空间直角坐标系，得到，设三棱锥外接球的半径即正方体外接球半径为，则，故，故，由向量模长公式得，而，设，由数量积的定义得，所以，由余弦函数性质得当时，取得最小值．故答案为：．四、解答题19．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间中三点，，．(1)设，且，求的坐标；(2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标；(3)求△ABC【答案】(1)或(2)(3)【分析】（1）由，可设，根据模长求得即