2.5.2：圆与圆的位置关系 原卷版-2025-2026学年高二数学精讲与精练高分突破系列人教A版2019选择性必修第一册

.5.2：圆与圆的位置关系【考点归纳】【知识梳理】知识点1两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含知识点2两圆的位置关系与公切线条数的关系位置关系公切线条数图示外离4外切3相交2内切1内含0【题型归纳】题型一、两圆位置关系的判断【例1】．（25-26高二上·江苏连云港）圆和圆的位置关系是（

）A．内含 B．相交 C．内切 D．外切【变式1】．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含【变式2】．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（

）A．相交 B．外切 C．内切 D．外离题型二、由圆与圆的位置关系求参数问题【例2】．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1】．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知圆与圆外离，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式2】．（24-25高二上·海南·期末）已知圆，则点，若圆上存在一点满足，则的取值范围为（

）A． B．C． D．题型三、圆与圆的位置关系确定圆的方程【例3】．（24-25高二上·全国）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（

）A．B．或C．D．或【变式1】．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（

）A． B．C．=16 D．【变式2】．（22-23高二上·广西河池·阶段练习）已知动圆与圆外切，同时又与轴相切，则圆的圆心轨迹方程为（

）A． B．和C． D．和题型四、两圆的公共弦方程【例4】．（24-25高二上·广西河池·期末）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为.【变式1】．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则两圆的公共弦所在的直线方程为.【变式2．（24-25高二上·上海·期末）圆：与圆：的相交弦所在直线方程为．题型五、两圆的公共弦长问题【例5】．（24-25高二下·湖北·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦长为.【变式1】．（24-25高二上·贵州·期中）已知圆：与圆：的交点为、，则．【变式2】．（24-25高二上·天津·期中）已知圆与圆相交于点、．①若，则公共弦所在直线方程为．②若弦长，则．题型六、两圆的公切线长问题【例6】．（25-26高二上·湖南·阶段练习）已知直线l与圆和都相切，则直线l的一般式方程为．（写出一个即可）【变式1】．（2024·江西·模拟预测）写出圆与圆的一条公切线方程．【变式2】．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程.题型七：两圆的公切线条数【例7】．（25-26高二上·全国·单元测试）圆：与圆的公切线条数是．【变式1】．（24-25高三下·江苏徐州·阶段练习）已知圆与圆恰有三条公切线，则.【变式2】．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线，．【变式3】．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆和圆，则的公切线共有条.题型八：圆与圆位置关系的综合【例8】．（25-26高二上·广东·阶段练习）已知圆的圆心在直线：上，圆过点，且圆与x轴相切，圆：（）与圆内切，切点为A．(1)求圆的标准方程；(2)求r的值以及点A的坐标；(3)过点A的直线l与圆，在第一象限分别交于B，C两点，若，求直线l的方程．【变式1】．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知圆C：与圆：．(1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值．(2)若，试求：①圆C与圆所得的公共弦长；②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程．【变式2】．（25-26高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于、两点，且，，点在斜率为的直线上.(1)求圆的标准方程；(2)若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程；(3)若存在圆心在直线上，半径为1的圆与圆外切，求的取值范围.【高分演练】一、单选题1．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知圆与圆外切，则（

）A． B． C． D．2．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）圆：与圆：公切线的条数为（

）A．4 B．3 C．2 D．13．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆：（，为常数）与：.若圆心与关于直线对称，则圆与的位置关系为（

）A．内含 B．相交 C．相切 D．相离4．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（

）A．3 B． C． D．25．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）若圆上总存在两个点到点的距离为6，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．6．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（

）A． B． C． D．7．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为（

）A． B．C． D．8．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为（

）A． B． C．1 D．9．（25-26高三上·河北·开学考试）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．10．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知A，B是圆O:与x轴的两个交点，动点满足，记点M的轨迹为，则（

）A．与圆O相切B．是两条平行的直线C．的最大值为D．上的点到原点O的距离的最大值为6二、多选题11．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知圆和圆的公共点为，，则（

）A． B．直线的方程是C． D．为等腰三角形12．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知圆与圆，下列选项正确的有（

）A．若，则两圆外切B．若，则直线为两圆的一条公切线C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为D．若，则两圆公共弦的长度为13．（25-26高二上·重庆·阶段练习）圆和圆的交点为A，B，则有（

）A．圆的圆心为，半径为 B．公共弦AB所在直线方程为C．线段AB中垂线方程为 D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为14．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）已知点在直线上，点在圆上，过点向圆作切线，切点分别为，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为B．若，则直线的方程为C．的最小值为D．的最小值为15．（25-26高二上·湖南·阶段练习）已知点，圆，动点满足，为坐标原点，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（

）A．若过点的直线与圆相切于点，且，则B．若过点的直线与圆相切于点，则面积的最大值为C．若与圆仅有一个公共点，则D．若与圆有两个公共点，则16．（25-26高二上·江苏·期中）圆与圆相交于、两点，则（

）A．的直线方程为B．公共弦的长为4C．线段的垂直平分线方程为D．圆上的点与圆上的点的最大距离为三、填空题17．（25-26高二上·陕西商洛·阶段练习）两圆与的公共弦长等于.18．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）圆经过点，且与圆相切于坐标原点，则圆的标准方程为.19．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知曲线，若圆与都相切，则圆的标准方程为.20．（25-26高二上·全国·课后作业）已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是．21．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆和圆，M，N分别是圆C，D上的动点，为直线上的动点，则的最小值是．四、解答题22、（24-25高二上·云南·阶段练习）已知圆和圆.(1)判断和的位置关系；(2)求与的公共弦所在直线的一般式方程以及公共弦的弦长.23．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知圆，圆，(1)证明圆与圆相交，(2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程.(3)求公共弦长.24．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆过圆：与圆；的交点，且圆的圆心在直线：上.(1)求圆的方程；(2)过圆外一点向圆引两条切线切点为、，求经过两切点的直线方程；(3)求直线：被圆截得的弦长最小时的方程.25．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）若圆与圆关于