第11章 简单几何体 单元题型大总结（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第三册（原卷版）

2/37第11章简单几何体章末大总结简单几何体教学目标，教学重点，难点知识清单简单几何体教学目标，教学重点，难点知识清单题型精讲强化训练多面体棱柱圆柱柱体中截面有关的计算柱体表面最短距离问题柱体表面积与侧面积柱体体积有关计算椎体中截面问题柱体体积柱体表面积棱锥圆锥棱台圆台椎体、台体体积球球的表面积和体积椎体表面最短距离问题椎体表面积与侧面积椎体体积内切球问题外接球问题教学目标1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；2.逻辑推理：圆柱、圆锥、圆台、的表面积，球的体积公式；3.数学运算：求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积；4.直观想象：球的切、接问题。教学重难点1.教学重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积；2.教学难点：与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积会解决球的切、接问题。知识点01多面体由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为；【即学即练】已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和3，高为，则该正四棱台的体积为．知识点02棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都，由这些面所围成的多面体叫做底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点（2）棱柱的图形【即学即练】如图所示，长方体被平面截成两个几何体，点分别在棱上，点分别在棱上，且，则截得的两个几何体分别是（

）A．三棱柱和五棱柱B．三棱台和五棱柱 C．三棱柱和五棱台 D．三棱台和五棱台知识点03圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边（2）圆柱的图形（3）圆柱的表示圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱【即学即练】以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为（）知识点04柱体体积1、棱柱的体积①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即.2、圆柱的体积：【即学即练】如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为．

知识点05柱体表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和；所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和；图形表面积公式多面体多面体的表面积就是的面积的和，也就是的面积直棱柱圆柱（为圆柱的母线长，为圆柱底面的半径）底面积：侧面积：表面积：【即学即练】已知一圆柱的底面半径，母线长l与底面圆的周长相等，则该圆柱的表面积为.知识点06棱锥有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个，这样的多面体叫做；【即学即练】一个棱锥至少有个面.知识点07圆锥以直角三角形的一条所在直线为，其余两边旋转一周形成的面所围成的轴：旋转轴叫做圆锥的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边锥体：棱锥和圆锥统称为锥体（2）圆锥的图形（3）圆锥的表示用表示它的轴的字母表示，如图，【即学即练】已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为.知识点08棱台用一个于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把和之间的那部分多面体叫做上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：除上下底面以外的面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点（2）棱台的图形【即学即练】正四棱台的上、下地面分别是边长为1、2的正方形，侧棱长为1，则该棱台的体积为.知识点09圆台用于圆锥底面的平面去截圆锥，和之间的部分叫做轴：圆锥的轴底面：圆锥的底面和截面侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分台体：棱台和圆台统称为台体（2）圆台的图形（3）圆台的表示用表示它的轴的字母表示，如图，【即学即练】已知圆台，其上底面圆的直径为2，下底面圆的直径为8，母线长为5，则该圆台的体积为.知识点10椎体、台体体积锥体的体积公式(为底面面积，为高)；台体的体积公式(,分别为上下底面面积，为台体的高)知识点11球半圆以它的直径所在直线为，旋转一周形成的曲面叫做，球面所围成的旋转体叫做，简称球（2）相关概念：球心：半圆的圆心半径：连接和上任意一点的线段直径：连接球面上两点并经过的线段知识点12球的表面积和体积（1）球的表面积：（2）球的体积:【即学即练】一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为、、，则此球的直径为题型01柱体中截面有关的计算【典例1】如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，平面BMN截正方体所得截面为【变式1】如图，正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为.【变式2】如图，正方体的棱长为1，M，N为和的中点，过点A，M，N的平面去截该正方体，则所得截面图形的周长为.【变式3】用一张的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，则圆柱的轴截面面积是.【变式4】一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（

）A．32 B． C． D．题型02柱体表面最短距离问题【典例1】如图，在直三棱柱中，，，，是直线上一动点，则的最小值是（

）

A． B． C． D．【变式1】如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（

）cm．（结果保留根式）A． B． C． D．4【变式2】如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（

）A． B． C． D．【变式3】如图，在单位正方体中，分别为线段和上为两动点，求的最小值.【变式4】如图，在长方体中，，，是上一动点，求的最小值．

题型03柱体表面积与侧面积【典例1】已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则该圆柱的表面积是.【变式1】若圆柱的高为10，底面积为，则这个圆柱的侧面积为.【变式2】一个长方体的长、宽、高分别为1、2、4，若一个正方体的体积和该长方体体积相等，则这个正方体的表面积为．【变式3】有一根长为hcm，底面半径为rcm的圆柱形铁管，用一段铁丝在该圆柱的侧面上缠绕3圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，若铁丝长度的最小值为20cm，则圆柱侧面积的最大值为．【变式4】有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为，高为，则这个正六棱柱的机械零件的表面积为.题型04柱体体积有关计算【典例1】如图，在正三棱柱中，，分别为的中点，则多面体体积为．

【变式1】如图，在三棱柱中，，E是棱AB上一点，且满足，若平面把三棱柱分成大、小两部分，则大、小两部分的体积比为．

【变式2】若一个螺栓的底面是正六边形，它的正（主）视图和俯视图如图，则它的体积是．

【变式3】将的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱，则圆柱的最大体积是．【变式4】如图，在△ABC中，，DB⊥平面ABC，且，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为．题型05椎体中截面问题【典例1】已知正四面体棱长为2，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得的截面面积之和为．【变式1】如图，空间四边形的边，成的角，且，，平行于与的截面分别交，，，于，则截面面积的最大值为.【变式2】若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于.【变式3】已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为．【变式4】已知圆锥的底面半径为，高为1，则过圆锥的顶点的截面面积的最大值为．题型06椎体表面最短距离问题【典例1】如图，在三棱锥中，平面，，，为线段的中点，分别为线段和线段上任意一点，则的最小值为．【变式1】如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为.

【变式2】半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，点M，N分别在线段，上，则的最小值为.

【变式3】《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面分别为棱，上一点，则的最小值为.【变式4】如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于．题型07椎体表面积与侧面积【典例1】在中，，，，现以所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积为.【变式1】如图已知点在圆锥的底面圆周上，为圆锥顶点，为圆锥的底面中心，且圆锥的底面积为，，若与截面所成角为，则圆锥的侧面积为.【变式2】已知四棱锥如图所示，其中底面为长为4，宽为3的长方形，顶点在底面的投影为底面中心，高为2．则该几何体的体积，表面积．【变式3】如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则四棱锥的表面积为【变式4】若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则该圆锥的侧面积为．题型08椎体体积【典例1】设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为.【变式1】已知四面体的三组对棱相等，依次为，，5，则该四面体的体积为．【变式2】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chú

méng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行.现有如图所示——刍甍，，侧面和为等边三角形，且与底面所成角相等；若，E到底面的距离为，则该刍甍的体积为.【变式3】已知中，，将顶点绕棱AB旋转到，当时，三棱锥的体积为.【变式4】圆O的半径为3，从中剪出扇形AOB围成一个圆锥无底，当所得的圆锥的体积最大时，圆心角为.题型09内切球问题【典例1】已知经过圆锥SO的轴的截面是顶角为的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则（

）A． B． C． D．【变式1】某圆锥的底面直径和高均是2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为（

）A． B．C． D．【变式2】如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（

）A． B． C． D．【变式3】如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【变式4】四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（

）A．0 B． C． D．题型10外接球问题【典例1】已知三棱锥，点到平面的距离是，则三棱锥的外接球表面积为．【变式1】某圆台的上下底面半径分别为1和2，若它的外接球表面积为，则该圆台的高为.【变式2】已知三棱锥，底面，，，，，则三棱锥的外接球表面积为.【变式3】三棱锥中，面，，，则三棱锥的外接球表面积为.【变式4】三棱锥中，平面平面，，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为.1．若一个圆台的上、下底面圆的半径分别为3和8．母线长为13，则该圆台的体积为．2．已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为．3．已知某圆柱的外接球的表面积为，则该圆柱的侧面积的最大值为．4．已知圆柱的底面直径与球的半径均为2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长为.5．如图，在正方体中，分别是棱的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是.6．在三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的表面积为．7．正三棱柱中，，若其六个顶点均在