专题1.2 抽样方法（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第三册（解析版）

2/37专题1.2抽样方法教学目标通过实例分析，体会简单随机抽样与分层抽样的差异，通过实例，感受调查研究的意义，了解简单随机抽样的含义及过程，提升数据分析素养。教学重难点1.掌握两种简单随机抽样的方法，感受随机数的“随机性”，能根据实际问题的特点，选用恰当的抽样方法解决问题。（重点）2.了解分层随机抽样的特点和适用范围，掌握各层样本量比例分配的方法，感悟从特殊到一般的思想方法，提升数学抽象素养。（重点）知识点01总体与样本1.简单随机抽样概念：在抽样的过程中通过逐个抽取的方法抽取样本，且总体的每一个个体都有同样的可能性被选入样本，这种抽样方法叫做简单随机抽样。2.两种常见的简单随机抽样：(1)抽签法：抽签法又称抓阄法，是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（或卡片、小球等）上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒里，充分搅拌，最后从盒中不放回地逐个抽取号签，保证每个个体被抽到的可能性相同，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量。(2)随机数法：将总体中的N个个体编号，用随机数工具生成1～N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本。重复上述过程，直到抽足所需要的数量。如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量。简单随机抽样的特征(1)有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析。(2)逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作。(3)不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算。(4)等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性（机会）都相等（与第几次抽取无关），从而保证了抽样的两种简单随机抽样方法的优缺点抽签法优点:简单易行缺点:当总体容量较大时，操作起来比较麻烦适用范围:总体中个体数不多的情形随机数法优点:简单易行，它很好地解决了总体容量较大时抽签法制签困难的问题缺点:总体容量很大，样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便适用范围:总体容量较大，样本容量较小的情形公平性。知识点02分层随机抽样简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层随机抽样。1.分层随机抽样的概念：一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，先把总体分成若干个部分，然后从不同的部分中独立、随机地抽取样本，这种抽样的方法称为分层随机抽样，简称分层抽样。所分成的各个部分称为“层”，一般可按照总体中个体的分类属性（例如，对于人口总体，可按性别、年龄段、受教育情况等）进行分层，分在同一层的个体应具有相近的特征。分层随机抽样的特点(1)适用范围：总体由差异明显的几部分组成。(2)层与层的关系：分成的各层之间互不交叉。(3)各层比例：各层抽取的比例都等于样本量与总体容量的比。(4)可能性：是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性相等。(5)样本：分层随机抽样充分利用了已知信息，使样本具有较好的代表性。抽样方法共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样(1)抽样过程中每个个体被抽到的机会均等；(2)都是不放回抽样从总体中逐个抽取分层随机抽样在各层抽样时可采用简单随机抽样样本容量较小分层随机抽样将总体分成互不相交的层，分层进行抽取总体由差异明显的几部分组成(1)分层随机抽样如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要尽可能小，而层与层之间的差异要尽可能大。(2)根据实际情况，可对每层所抽取的数目进行适当的细微调整。(3)两种抽样方法经常交叉使用。例如，在分层随机抽样中，若每层的个体数较多，则可用简单随机抽样中的随机数法。题型01简单随机抽样【典例1】1．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第3个样本编号是（

）84

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77A．457 B．253 C．007 D．860【答案】C【分析】根据随机数表读法，依次读取数据，不在范围的及与前面重复的都舍去，进而得到结论.【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据为：253，313，457（舍），860（舍），736（舍），253（舍），007，328，所以第3个样本编号为007.故选：C.【变式1】2．为了了解某小区2000户居民缴纳社保情况，从中抽取了100户居民进行调查.该小区每位居民被抽到的可能性为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由样本容量除以总体容量即可.【详解】由题意可知为了了解某小区2000户居民缴纳社保情况，从中抽取了100户居民进行调查，该小区每位居民被抽到的可能性都是相同的，故可能为.故选：C【变式2】某果园种植了240棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28kg，则预估该果园的苹果产量为kg.【答案】6720【分析】将样本均值视为总体均值，即可估计果园的苹果产量.【详解】将样本均值视为总体均值，故预估该果园的苹果产量为kg.故答案为：总体与个体的关系1.总体是统计研究的“目标集合”，可有限/无限，也可特指“调查指标的全体”（如“学生身高”而非“学生”）。2.个体是构成总体的“基本单元”，是单独的研究对象。3.二者关联但概念不同：总体指向“整体目标”，个体指向“局部单元”。题型02分层抽样的特征及适用条件【典例1】某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（

）A．系统抽样法 B．简单随机抽样法C．分层随机抽样法 D．随机数法【答案】C【分析】由分层抽样的适用条件即可判断；【详解】由题意可知，总体由差异明显的三部分构成，所以选用分层随机抽样法．故选：C分层随机抽样的步骤：

（1）根据已经掌握的信息，将总体分成互不相交的层。

（2）根据总体中的个体数N和样本量n计算抽样比k=nN。

（3）确定第i层应该抽取的个体数目ni≈Ni×k（Ni为第i【变式1】为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（

）A．按性别分层随机抽样 B．按学段分层随机抽样C．抽签法 D．随机数表法【答案】B【分析】由分层抽样的概念即可判断；【详解】因为男、女生的阅读时间差异不大，而小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，故应按照学段分层随机抽样．故选：B．【变式2】某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②．完成①②这两项调查采用的抽样方法依次是．【答案】分层随机抽样，简单随机抽样【分析】通过随机抽样的定义进行判断．【详解】解：对于调查①，某公司在四个地区的销售点存在明显的差距，故采用的是：分层随机抽样；对于调查②，明显是采用的是：简单随机抽样，故答案为：分层随机抽样，简单随机抽样【变式3】某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则可在老年人中剔除人，然后进行抽样.【答案】1分层【分析】根据题意，中年人和青年人都是9的倍数，所以从老年人中剔除1人，采用分层抽样的分法进行抽样.【详解】因为中年人54人，青年人81人都是9的倍数，所以老年人28人中需要剔除1人，剩余27人也是9的倍数，由于总体中由老年人、中年人和青年人三层组成，所以采用分层抽样的分法进行抽样.故答案为：；分层.题型03抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算【典例3】某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（

）A．25 B．15 C．30 D．20【答案】D【分析】先求出全校女生人数，再根据分层抽样的比例计算即可.【详解】2500人中女生人数为,则容量为50的样本中女生的人数为.故选：D【变式1】某校高一､高二､高三学生共1260人，为了解学生新学期适应情况，现用分层抽样的方法进行调查，若分别从三个年级中抽取的人数之比为，则该校高三的学生人数为.【答案】【分析】根据样本各层之比等于总体各层之比即可.【详解】三个年级中抽取的人数比和三个年级学生的人数比一样，所以高三的学生人数为.故答案为：【变式2】某中学高一年级有男生640人，女生480人.为了解该年级男､女学生的身高差异，应采用（从“简单随机”和“分层随机”中选一个最合适的填入）抽样.若样本容量为112，则应抽取的女生人数为.【答案】分层随机48【分析】利用分层抽样结合分层抽样的样本容量的计算公式求解即可.【详解】因为男､女学生的身高存在明显差异，所以应采取分层随机抽样的方法抽取样本.若样本容量为112，则应抽取的女生人数为.故答案为：分层随机，48.一、单选题1．下列说法正确的是（

）A．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，且，说明乙的跳远成绩比甲稳定D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生【答案】A【分析】求出数据2，2，3，4的众数、中位数，即可判断A；由抽样调查的特征可判断B；由方差的意义判断C；由概率的意义判断D.【详解】对于A，由题意可知数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5，故A正确；对于B，了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，故B错误；对于C，由题意可得，则，所以甲的跳远成绩比乙稳定，故C错误；对于D，可能性是1%的事件在一次试验中可能会发生，故D错误.故选：A2．某市准备建一个体育文化公园，针对公园中的体育设施，某社区采用分层随机抽样的方法对成年居民进行了调查．已知该社区青年居民有840人，中年居民有700人，老年居民有560人．若要从中抽取300人进行调查，则应该从中年居民中抽取的人数是（

）A．100 B．125 C．160 D．200【答案】A【分析】应用分层抽样等比例性质求中年居民中抽取的人数.【详解】由题意知，中年居民所占的比例为，故应该从中年居民中抽取的人数为人.故选：A3．从某校高一年级学生60名女生中，经调查偏理科的40人，偏文科的20人，利用分层抽样抽取6人，随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分层抽样得到抽取6人中偏理科和偏文科的人数，利用列举法求古典概型的概率.【详解】60名女生中，偏理科与偏文科的人数比为，所以分层抽样抽取6人，偏理科的人数为，设为，偏文科的人数为，设为，故随机抽取3人，一共有以下情况，，，，共20种情况，其中至少有2人偏理科的情况为，，共16种情况，所以随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是.故选：D4．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为300的样本，则从高二年级抽取的学生人数为（

）A．60 B．90 C．120 D．150【答案】B【分析】先求出高二学生的占样本的抽样比，再乘以即可.【详解】由题意：从高二年级抽取的学生人数为：.故选：B二、填空题5．一支田径队有男运动员60人，女运动员48人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为27的样本，则抽取女运动员的人数为【答案】12【分析】确定男女运动员的比例，根据分层抽样中的比例，即可求得答案.【详解】由题意可知田径队中男运动员有60人，女运动员48人，即男女运动员比例为，故用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为27的样本，则抽取女运动员的人数为，故答案为：126．某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，..，899进行编号，从中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据下图，读出的第6个数的编号是.167662276656502671073290797853135538585988975414101256859926968273109916967293155712101421882649817655595635643854824622316243099006184432532383013030【答案】315【分析】利用随机数表的性质并结合题意求解即可.【详解】由题意最先读到的1个的编号是685，向右读下一个数是992，992它大于899，故舍去，再下一个数是696，再下一个数是827，再下一个数是310，再下一个数是991，舍去，再下一个数是696，舍去，再下一个数是729，再下一个数是315，则读出的第6个数是315.故答案为：3157．某林区有针叶林、阔叶林、混交林三类树种区域，面积占比为，每个区域树种种植密度均相同．现采用分层随机抽样调查各类树种生长情况，若从针叶林区域抽取了120株样树，则在该林区总共抽取的树种数量为．【答案】【分析】设该林区总共抽取的树种数量为，根据分层随机抽样求出针叶林占比即可.【详解】由题意，设该林区总共抽取的树种数量为，因为针叶林、阔叶林、混交林三类树种区域的面积占比为，所以针叶林区域占比为，又因为从针叶林区域抽取了株样树，所以，解得，故该林区总共抽取的树种数量为.故答案为：.8．采用分层抽样的方法抽取一个容量为80的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽取30人，高三年级共有600人，则这个学校共有高中学生人.【答案】【分析】首先求出高三年级抽取的人数，再根据抽样比即可求出总人数.【详解】依题意高三年级共抽取人.又高三年级共有600人，所以抽样比为，所以学校共有高中生人.故答案为：.9．某单位共有名职工，其中岁以下的有人，-岁的有人，岁及以上的有人.现用分层抽样的方法，从中抽取名职工进行问卷调查，则抽取的岁及以上的职工人数为.【答案】【分析】首先求出抽样比，即可求出岁及以上的职工应抽取的人数.【详解】因为抽样比例为，所以岁及以上的职工应抽取(人).故答案为：.10．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为，标准差为4.则样本中所有员工的体重的标准差为.【答案】【分析】根据题意先求平均数，再结合分层抽样方差公式计算方差，从而得出标准差.【详解】依题意样本中所有员工的体重的平均值为，则样本中所有员工的体重的方差，所以样本中所有员工的体重的方差为120，标准差为.故答案为：11．某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为．类别老年教师中年教师青年教师合计人数367264172【答案】【分析】由题意分层抽样的定义和方法，求出则该样本的老年教师人数．【详解】解：在抽取的样本中，青年教师有32人，而抽样的比例为，该样本的老年教师人数为，则有，，故答案为：．12．某新闻机构想了解全国人民对2024年巴黎奥运会开幕式的评价，决定从某市2个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本．若2个区人口数之比为2∶7，且人口较少的一个区抽出100人，则这个样本的容量为．【答案】450【分析】根据分层抽样的抽取比例相同求解即可．【详解】设样本容量为，则，解得，所以样本容量为450，故答案为：450．三、解答题13．当今，青少年视力水平的下降已引起全社会的关注．为了了解某中学高三年级400名学生的视力情况，从中抽取了50名学生进行视力检测．(1)在这个问题中，总体、样本各是什么？(2)为深入了解这50名学生的视力情况，从中随机抽取6人，分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【分析】（1）根据总体、样本的定义及题干信息确定问题中总体和样本；（2）根据抽签法、随机数法的抽样过程，设计抽样步骤即可.【详解】（1）总体是该中学高三年级400名学生的视力，样本是所抽取的50名学生的视力；（2）利用抽签法步骤如下：第一步：将这50名学生编号，编号为1，2，3，…，50．第二步：将50个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签．第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．第四步：从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码．对应上面6个号码的学生就是抽取的学生;利用随机数法步骤如下：第一步：将这50名学生编号，编号为．第二步：用计算机产生范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号．第三步：重复第二步的过程，若出现重复的号码，则舍去，直到抽足6个号码．对应上面6个号码的学生就是抽取的学生.14．有以下三个案例：案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量；案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入情况；案例三：从某校1000名高一学生中抽取10人参加一项主题为“学雷锋，树新风”的志愿者活动.(1)你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适？(2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程？【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的使用范围合理进行选择；（2）分层抽样步骤：分层、确定抽样比、按抽样比确定各层样本数、在各层按简单随机抽样方式抽取样本、汇总.【详解】（1）案例一数量少，用简单随机抽样，案例二员工收入差距明显，用分层抽样，案例三数量多，用系统抽样.（2）分层抽样的抽样过程如下：①分层，将总体分为高级职称，中级职称、初级职称及其余人员四层；②确定抽样比例；③按上述比例确定各层样本数分别为8人、16人、10人、6人；④按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本；⑤汇总构成一个容量为40的样本.15．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用按比例分配的分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况，应从老、中、青员工中分别抽取多少人？【答案】6人，9人，10人【分析】首先利用分层抽样的知识求出抽样比，即可求出老、中、青员工的人数.【详解】根据题意，抽样比为，因此，应从老、中、青员工中分别抽取（人）；（人）；（人）.16．下面的抽样中适合用简单随机抽样的有哪些？(1)某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈；(2)从10台冰箱中抽出3台进行质量检查；(3)某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意