2026届高三二轮复习试题数学压轴大题抢分练1

抢分练11.(17分)(2025江苏宿迁二模)某公司邀请某棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛,规则如下:棋手的初始分为200,每局比赛,棋手胜加100分;平局不得分;棋手负减100分.当棋手总分为0时,挑战失败,比赛终止;当棋手总分为300时,挑战成功,比赛终止;否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为14,1(1)求2局后比赛终止的概率;(2)在3局后比赛终止的条件下,求棋手挑战成功的概率;(3)在挑战过程中,棋手每胜1局,获奖5千元.记n(n≥10)局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为P(n),求P(n)的最大值.2.(17分)(2025山东潍坊二模)双曲线C:x2-y2=a2(a>0)的左、右顶点分别为A,A1,点A1到C的渐近线的距离为22(1)求C的方程;(2)按照如下方式依次构造点An(n≥2且n∈N):过点An-1作斜率为-2的直线交C于另一点Bn-1,设An是点Bn-1关于实轴的对称点,记点An的坐标为(xn,yn).(ⅰ)证明:数列{xn-yn},{xn+yn}是等比数列,并求数列{xn}和{yn}的通项公式;(ⅱ)记△AnAAn+1的面积为S,△AnA1An+1的面积为T,求ST的最大值

答案：1.解(1)设每局比赛棋手胜为事件Ai,每局比赛棋手平为事件Bi,每局比赛棋手负为事件Ci(i∈N*),设“两局后比赛终止”为事件M,因为棋手与机器人比赛2局,所以棋手可能得0分或300分比赛终止.(ⅰ)当棋手得分为0分,则2局均负,即C1C2;(ⅱ)当棋手得分为300分,则2局先平后胜,即B1A2.因为C1C2,B1A2互斥,所以P(M)=P(C1C2+B1A2)=P(C1C2)+P(B1A2)=P(C1)P(C2)+P(B1)P(A2)=(12)2+所以2局后比赛终止的概率为5(2)设“3局后比赛终止”为事件D,“3局后棋手挑战成功”为事件E.因为P(D)=P(B1B2A3+B1C2C3+C1A2A3+C1B2C3)=143+14×(12)2+12×142+12×14×12=所以在3局后比赛终止的条件下,棋手挑战成功的概率为P(E|D)=P(3)因为n局获奖励1万元,说明棋手共胜2局.(ⅰ)当棋手第n局以0分比赛终止,说明前n-1局中有3负2胜,且是“负胜负胜负”的顺序,其余均为平局,共有Cn-(ⅱ)当棋手第n局以300分比赛终止,说明前n-1局中有1负1胜,且是先负后胜的顺序,其余均为平局,共有Cn-则“n(n≥10)局后比赛终止且棋手获得1万元奖励”的概率P(n)=Cn-15(12)所以PCn2+8Cn5-4Cn-12-32Cn-15=(Cn因为n≥10,所以Cn2+8Cn5-4Cn所以P(n+1)P(n)<所以当n=10时,P(n)取最大值为P(10)=2612.解(1)双曲线C的渐近线方程为x±y=0,A1(a,0),则点A1到渐近线的距离为|a|2=22,所以a=1,所以C的方程为x(2)(ⅰ)因为An(xn,yn),所以An-1(xn-1,yn-1),Bn-1(xn,-yn),直线An-1Bn-1的方程为y+yn=-2(x-xn),即y=-2x+2xn-yn,代入x2-y2=1,消去y,整理得3x2-4(2xn-yn)x+(2xn-根据韦达定理得xn-1+xn=43(2xn-yn)所以yn=54xn-34xn-1,yn-1=-2xn-1+2xn-yn=34xn-54由题设有x1+y1=x1-y1=1,因为xn所以{xn-yn}是公比为13的等比数列因为xn+所以{xn+yn}是公比为3的等比数列,所以xn-yn=(13)n-1,xn+yn=3n-1所以xn=3n-1+(1(ⅱ)先证明结论:若MN=(a1,b1),MP=(a2,b2)为两个不共线的非零向量,则S△PMN=12|MN|·|MP|=12|MN|=1=1=1=1=12|a1b2-a2b1|本题中,因为AAn=(xn+1,yn),AAn+1=(xn+1+1,y所以S=12|(xn+1)yn+1-(xn+1+1)yn|=12|xnyn+1-xn+1yn+yn+1-yn因为A1An=(xn-1,yn),A1An+1=(xn+T=12|(xn-1)yn+1-(xn+1-1)yn|=12|xnyn+1-xn+1yn+yn-yn+1又因为xnyn+1-xn+1yn=32n-yn+1-yn=3n-1+(13)n所以S=12[43+3n-1+(13)n],T=12[3n-1+(1所以ST=