2026届高三二轮复习试题数学专题过关检测5解析几何

专题过关检测五解析几何(分值:150分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.1.(2025四川眉山三模)已知点A(4,23),B(1,3),若向量AB是直线l的方向向量,则直线l的倾斜角为()A.30° B.60° C.120° D.150°2.(2025湖南湘潭三模)已知椭圆C:x2m2+y2=1(m>0)的离心率为3m,则C的短轴长为A.12 B.1 C.2 D.3.(2025浙江温州三模)已知圆x2+y2=1和圆(x-3)2+y2=r2(r>0)有公共点,则r的取值范围为()A.[2,+∞) B.[2,4]C.[3,4] D.[1,4]4.(2025陕西咸阳三模)如图,已知曲线C由一段以坐标原点O为圆心的圆弧和双曲线(该双曲线的中心为坐标原点O,F1,F2为其左、右焦点)右支的一部分组成,圆弧和双曲线弧的公共点为A,B,若A,B,F2三点共线,|AF1|=25,|AB|=14,则圆弧的方程为()A.x2+y2=144(x≥10)B.x2+y2=193(x≥12)C.x2+y2=144(x≤10)D.x2+y2=193(x≤12)5.(2025北京石景山一模)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(x0,y0)在C上,若|MF|>4,则()A.x0∈(0,2) B.y0∈(0,2)C.x0∈(2,+∞) D.y0∈(2,+∞)6.(2025江西景德镇三模)动圆M经过直线l:y=x与☉C:(x-6)2+y2=20的交点A,B,过原点O向动圆M作切线,切点为P,若PA·PB>λ恒成立,则实数λ的最大值是(A.82-12 B.20-122C.202-30 D.32-2427.(2025江苏南京二模)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点M,N在C的右支上,且MF=3FN,点N关于原点O的对称点为P.若PF⊥A.52 B.62 C.32 8.(2025山东模拟预测)已知F1,F2为椭圆与双曲线的公共左、右焦点,P为它们的一个公共点,且|PO|=|F2O|,O为坐标原点,e1,e2分别为椭圆和双曲线的离心率,则2e1+1A.22 B.10 C.23 D.10二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共计18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.(2025河北邢台模拟)已知a≠0,a∈R,圆C:x2+y2-2ax-4y+a2=0与直线x=ty交于A,B两点,O为坐标原点,则()A.a=1,t=0时,|AB|=2B.过点O向圆C所引的切线长为|a|C.a=2时,AB中点的轨迹长度为2πD.|OA|·|OB|=a210.(2025河北秦皇岛三模)已知曲线E:1x2+λy2A.当λ=-1时,曲线E关于直线y=-x对称B.当λ=0时,E是两条直线C.当λ=1时,若点P(x,y)是曲线E上的任意一点,则|x|>1D.当λ=2时,曲线E上的点P(x,y)到原点距离的最小值为2+111.(2025山东滨州二模)已知F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点与双曲线C的右焦点重合,且M是双曲线C与抛物线E的一个公共点.若△MF1F2A.2+1 B.2+2C.3+2 D.3+1三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计15分.12.(2025河北秦皇岛三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,直线l经过点F与C的左、右两支各有一个交点,若l与C13.(2025上海杨浦二模)如图,阿基米德椭圆规是由基座、带孔的横杆、两条互相垂直的空槽、两个可动滑块A,B组成的一种绘图工具,横杆的一端C上装有铅笔,假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长,将滑块A,B固定在带孔的横杆上,令滑块A在其中一条空槽上滑动,滑块B在另一条空槽上滑动,铅笔C随之运动就能画出椭圆.当A,B之间的距离为14厘米时,若需要画出一个离心率为45的椭圆,则B,C之间的距离为厘米.14.(2025福建厦门三模)已知直线l:y-2=0与圆O:x2+y2=4相切于点T,A是圆O上一动点,点P满足PO⊥OA,且以P为圆心,PA为半径的圆恰与l相切,则sin∠PTO的最大值为.

四、解答题:本大题共5小题,共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(2025湖北宜昌二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A(2,33)在C上,(1)求C的标准方程;(2)过F2的直线交双曲线C于M,N两点(M,N两点均位于x轴下方,M在左,N在右),线段AM与线段F1N交于点R,若△F1RM的面积等于△ARN的面积,求|MN|.16.(15分)(2025山东烟台二模)已知双曲线Γ:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为4,(1)求Γ的方程;(2)设过Γ的左焦点F1的直线交Γ的左支于点A,B,过Γ的右焦点F2的直线交Γ的右支于点C,D,若以A,B,C,D为顶点的四边形是面积为46的平行四边形,求直线AB的方程.17.(15分)(2025广东深圳二模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F为E的右焦点,P为E上的动点,当直线PF与x轴垂直时,|PF|=12,R(1)求E的方程:(2)过点R作E的两条切线分别交x轴于M,N两点,求△RMN面积的取值范围.18.(17分)(2025江苏南京二模)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,0),B(1,0),Q(-4,0),动点P满足|PA|+|PB|=4,记点P的轨迹为C.(1)求C的方程.(2)过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E,F(E在F的左侧).设直线AE,AF的斜率分别为k1,k2.①求证:k1k②设直线AF,BE相交于点M,求证:|MA|-|MB|为定值.19.(17分)(2025广东中山模拟预测)在平面直角坐标系xOy中,若在曲线E1的方程F(x,y)=0中,以(λx,λy)(λ为非零的正实数)代替(x,y)得到曲线E2的方程F(λx,λy)=0,则称曲线E1,E2关于原点“伸缩”,变换(x,y)→(λx,λy)称为“伸缩变换”,λ称为伸缩比.(1)已知曲线E1的方程为x24-y2=1,伸缩比λ=12,求E1关于原点“伸缩变换”后所得曲线E(2)射线l的方程y=2x(x≥0),如果椭圆E1:x24+y2=1经“伸缩变换”后得到椭圆E2,若射线l与椭圆E1,E2分别交于两点A,B,且|AB|=33,求椭圆E(3)对抛物线E1:x2=2p1y,作变换(x,y)→(λ1x,λ1y),得抛物线E2:x2=2p2y;对E2作变换(x,y)→(λ2x,λ2y),得抛物线E3:x2=2p3y;如此进行下去,对抛物线En:x2=2pny作变换(x,y)→(λnx,λny),得抛物线En+1:x2=2pn+1y,….若p1=1,λn=2n,求数列{pn}的通项公式pn.

答案：1.A解析直线l的斜率k=23-34-1=33,2.B解析依题意,0<3m<1,即0<m<13,则C的焦点在y轴上,因此3m=1-m21,所以m=12,故C的短轴长为23.B解析由题可得|r-1|≤3≤r+1,解得2≤r≤4.故选B.4.D解析由题可知圆弧和双曲线弧的公共点为A,B,若A,B,F2三点共线,故AB⊥F1F2,所以|AF2|=|BF2|=12|AB|=7,所以|F1F2|=|AF1|2-|AF2|故|OA|=|OF2|2+|AF2|2=122+75.C解析抛物线C:y2=8x的准线方程为x=-2,又点M(x0,y0)在C上,且|MF|>4,则|MF|=x0+2>4,所以x0>2,即x0∈(2,+∞),故A错误,C正确;又y02=8x0,所以y02∈(16,+∞),所以y0∈(4,+∞)∪(-∞,-4),故B,D错误6.D解析将直线l与☉C的方程联立,得A(2,2),B(4,4),设动圆M的方程为(x-6)2+y2-20+λ(x-y)=0,∴切线长|OP|=(0-6)2+02-20+λ(0-0)=4,∵PA·PB=PD2-AD2=PD2-2,而|PD|>|OD|-r=32-4(O,P,D不能三点共线),∴λ的最大值是32-242.故选7.D解析设双曲线的左焦点为F1,连接PF,PF1,NF1,MF1,如图所示.根据双曲线的对称性可知四边形PF1NF为平行四边形,又因为PF⊥MN,所以四边形PF1NF为矩形,设|NF|=t(t>0),因为MF=3FN,则|MF|=3t,由双曲线的定义可得|NF1|=2a+t,|MF1|=2a+3t,又因为△MNF1为直角三角形,所以|MN|2+|NF1|2=|MF1|2,即(4t)2+(2a+t)2=(2a+3t)2,解得t=a,所以|NF1|=3a,|NF|=a,又因为△NFF1为直角三角形,|FF1|=2c,所以|NF|2+|NF1|2=|FF1|2,即a2+9a2=4c2,所以c2a2=104,即8.B解析由题意可设椭圆和双曲线的方程分别为x2a2+y2b2=1(a>b>因为二者共焦点,所以c2=a2-b2=a'2+b'2,如图.设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆和双曲线的定义可知m+n=2a,m-n=2a',由此解得m=a+a',n=a-a',由题意知|PO|=|F2O|=|F1O|=c,所以∠F1PF2=∠F1PO+∠OPF2=12(∠F1PO+∠PF1O)+12(∠F2PO+∠PF2O)=90故在Rt△PF1F2中,由勾股定理可知m2+n2=4c2,代入m,n的表达式可得a2+a'2=2c2,由离心率的定义可得1e12+1e22=2,设x=1e1,y=1e2,则x2+y2=2,问题转化为求2x+y的最大值,设p=(x,y),q=(2,1),由p·q≤|当且仅当两向量同向共线时即x=2y=2105等号成立,所以2e故选B.9.BCD解析圆C:(x-a)2+(y-2)2=4的圆心C(a,2),半径r=2.当a=1,t=0时,点C(1,2)到直线x=0的距离d=1,则|AB|=2r2-d2=2切线长为|OC|2-当a=2时,点C(2,2),令弦AB中点为M,则CM⊥AB,点M的轨迹是以OC为直径的半圆(不含端点),轨迹长度为12|OC|π=2π,C正确由x消去x得(t2+1)y2-(2at+4)y+a2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=a2t2+1,|OA||OB|=|OA·OB|=|x1x2+y1y2|=|(t2+1)y1y2|=a210.BCD解析当λ=-1时,曲线E:1x2-1y2=1,设点(x,y)在曲线上,则点(x,y)关于y=-x对称的点为(-y,-x),所以1(-y)2-1(-x)2=1,即1x2-1y2因为λ=0,所以1x2=1,则x2=1,所以x=±1,即E是两条直线,故B当λ=1时,曲线E:1x2+1y2=1,则1y2=1-1x2>0,所以x2-1x2当λ=2时,曲线E:1x2+2y2=1,则x2+y2=(x2+y2)1x2+2y2=3+y2x2+2x2y2≥3+2y2x2·2x2y2=3+22,当且仅当y2x2=2x2y2,即x211.AC解析由题设F2p2,0,且p>0,a2+b2=c2=p24当|MF2|=|F1F2|=2c时,由抛物线的性质可知|MF2|=xM+c,所以xM=c,故yM2=2pxM=4c所以c2a2-4c化简得c4-6c2a2+a4=0,所以e4-6e2+1=0,求得e2=3+22或e2=3-22,又e>1,得到e2=3+22,解得e=2+1(负值舍去);当|MF1|=|F1F2|=2c时,则|MF2|=2c-2a,由抛物线的性质可知|MF2|=xM+c,则xM=c-2a,所以yM2=2pxM=4c(c-2a),所以(即(c-化简得c4-4ac3-2c2a2+12ca3-3a4=0,所以e4-4e3-2e2+12e-3=0,所以(e2-4e+1)(e2-3)=0,所以e2-4e+1=0或e2-3=0,解得e=2+3或e=3,又c-2a>0,所以e>2,解得e=2+3.综上,e=2+1或e=2+3.故选AC.12.(2,+∞)解析由题意可得双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,由对称性不妨设直线l与渐近线y=-bax垂直,由题意可得直线l的斜率为a又直线l与双曲线C的左、右两支各有一个交点,则ab所以a2<b2,所以a2<c2-a2,所以2a2<c2,所以2<c2a2,即2<e2,解得所以C的离心率的取值范围为(2,+∞).13.21解析依题意,当滑块B在两条空槽的交点处时,BC长为椭圆的短半轴长b,当滑块A在两条空槽的交点处时,AC长为椭圆的长半轴长a,则a=14+b,由椭圆的离心率为45,得a2-b2a=1-(ba)

2=4514.33解析设P(x,y),则x≠因为直线l:y-2=0与圆O:x2+y2=4相切于点T,则T(0,2),又以P为圆心,PA为半径的圆恰与l相切,则可得|y-2|=|PA|=OA2+OP2=x2+y2从而可设Px0,-x024,且x0≠则sin∠PTO=|x由于x0216+4x02+2≥2x0216·4x02+2所以sin∠PTO=1x故sin∠PTO的最大值为3315.解(1)因为AF2⊥F1F2,且A2,33,所以焦点F2(2,0),即c=2,又4a2-13b所以双曲线C:x23-y2=(2)由题知直线斜率不为0,设过F2(2,0)的直线为x=my+2(m>0),联立x=my+2,x23-y2=1,消x得到(则Δ=(4m)2-4×(m2-3)=12(m2+1)>0,且m≠3.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-4mm2-3,y1因为S△F1RM=S△ARN,所以S即点F1(-2,0)和点A2,33到直线x=my+2的距离相等,则有|-4|1+m2=-33m1+m2,解得m16.解(1)由双曲线Γ:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为4,可得2c=4,所以c=2,且6a2又因为c2=a2+b2,即a2+b2=4,联立a2+b2=4,6a2所以Γ的方程为x23-y2=(2)由题意知,四边形ABCD为平行四边形,可得直线AB与CD平行,当直线AB斜率不存在时,令x=-2,代入双曲线方程x23-y2=1,可得y=±此时四边形ABCD为矩形,面积为4×233=所以直线AB斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+2),则直线CD的方程为y=k(x-2),直线AB和CD的距离d=|4设A(x1,y1),B(x2,y2),联立x整理得(1-3k2)x2-12k2x-12k2-3=0,则1-3k2≠0,Δ=12(k2+1)>0,且x1+x2=12k21-3k2,又由双曲线的渐近线的方程为y=±33x要使得过Γ的左焦点F1的直线交Γ的左支于点A,B,可得k2>13,则|AB|=1+k2|x1-x2所以S四边形ABCD=|AB|×d=23(1+k化简可得7k4-8k2+1=0,解得k2=17,或k2=1因为k2>13,所以k2=1,解得k=±故直线AB的方程为y=±(x+2),即x-y+2=0或x+y+2=0.17.解(1)设点F(c,0)(c>0),当直线PF与x轴垂直时,不妨设点Pc,12,则c2a2因为|PR|的最小值为2-b=1,所以b=1,又由a2=b2+c2,解得a=2,c=3,故E的方程为x24+y2=(2)如图,设点M(m,0),N(n,0),R(t,2),显然直线RM,RN斜率不为0,设lRM:x=t-m2y+m,lRN:x=联立x得[16+(t-m)2]y2+4(t-m)my+4(m2-4)=0.因为直线RM与E相切,所以Δ=[4(t-m)m]2-4[16+(t-m)2]·4(m2-4)=0,于是16(t-m)2m2-16[16+(t-m)2](m2-4)=0,化简得3m2+2tm-t2-16=0,又直线RN与E相切,同理有3n2+2tn-t2-16=0,故m,n是关于x的一元二次方程3x2+2tx-t2-16=0的两根,则m+n=-2t3,mn=-所以|MN|=|m-n|=(m又t2≥0,所以S△RMN=12|MN|·2=4所以△RMN面积的取值范围为833,+∞.18.(1)解由|AB|=2,|PA|+|PB|=4>|AB|,所以点P在以A,B为焦点,4为长轴长的椭圆上.设椭圆方程为x2a2+y2b