2026届高三二轮复习试题数学专题突破练7数列求和的方法

专题突破练7数列求和的方法1.(13分)(2025山东滨州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列2an+1Sn2.(13分)(2025江苏扬州模拟)已知数列{an}中,a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,满足Sn+1=3Sn+n+1(n∈N*).(1)证明:数列an+12是等比数列,并求数列{a(2)设bn=log3(2an+1),求数列(2an+1)(23.(15分)(2025广东深圳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=t(t≠-1),an+1-Sn=n.(1)当t为何值时,数列{an+1}是等比数列?(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,b1=1,点(Tn+1,Tn)在直线xn+1-yn=12上,在(1)的条件下,若不等式b1a1+1+b2a2+14.(15分)(2025浙江台州模拟)对于数列{an},记区间(1,an)内偶数的个数为bn,则称数列{bn}为{an}的偶数列.(1)若数列{dn}为数列{n3}的偶数列,求d3.(2)若数列{cn}为数列{2n+1+3}的偶数列,证明:数列{cn-1}为等比数列.(3)在(2)的前提下,若数列{bn}为等差数列{an}的偶数列,a1=5,a5=13,求数列{bncn}的前n项和Sn.

答案：1.解(1)因为Sn=n2+2n,所以当n=1时,a1=S1=3.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1.当n=1时,上式也成立.所以an=2n+1.(2)由(1)得,2an+1Sn=22n+1+12(1n-1n+2),所以Tn=23+12(1-13)+25+12(12-14)+…+22n+1+12(1n-1n+2),所以Tn=(23+25+…+22n+1)+12.解(1)由题意,当n=1时,S2=3S1+2,得a1+a2=3a1+2.∵a1=1,∴a2=4.当n≥2时,Sn+1=3Sn+n+1,①Sn=3Sn-1+n,②①-②得an+1=3an+1(n≥2).∵a2=4=3a1+1,∴an+1=3an+1(n≥1).则an+1+12=3an+32=3(an+12),∵a1+12∴an+12是以a1+∴an+12=3n2,(2)由(1)得bn=log3(2an+1)=log33n=n,则(2∴(2an+1)(2n-1)bnbn+13.解(1)由an+1-Sn=n,得an-Sn-1=n-1(n≥2),两式相减得an+1-an-(Sn-Sn-1)=1,即an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1)(n≥2),由a1=t及an+1-Sn=n,得a2=t+1.因为数列{an+1}是等比数列,所以只需要a2+1a1+1=t+2t+1=2,解得t=0,此时,数列{an+1}是以(2)由(1)得an=2n-1-1,因为点(Tn+1,Tn)在直线xn+1-yn=12上,所以Tn+1n+1-Tnn=12,故Tnn是以T当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=n(nb1=1满足该式,所以bn=n(n∈N*).不等式b1a1+1+b2即为1+22+322+…令Rn=1+22+322则12Rn=12+22两式相减得12Rn=1+12+122+12所以Rn=4-n+2由Rn≥m-92n恒成立,即4-2n又(4-2n-32n+1)-(4故当n≤3时,4-2当n≥4时,4-2当n=3时,4-2×3-523=318;当n=4时,4-2×4-4.(1)解在区间(1,33)内的偶数为2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,共13个,所以d3=13.(2)证明在区间(1,2n+1+3)内的偶数为2,4,…,2n+1,2n+1+2,则cn=2n+1+2-22+1=2n+1.于是c1-1=2,cn+1-1cn-1(3)解依题意,等差数列{an}的公差d=a5-a15-1=2,则an=5+2(n-1)=2n+3,b由(2)知,cn=2n+1,则bncn=(n+1)(2n+1)=(n+1)·2n+(n+1),令数列{(n+1)·2n}的前n项和为Tn,则Tn=2×2+3×22+…+(n+1)·2n,于是2Tn=2×22+3×23+…+n·2n+(n+1)·2n+1,两式相减得-Tn=4