【基础版】北师大版九年级数学上册 矩形的性质与判定 同步练习（含解析）

【基础版】北师大版数学九上1.2矩形的性质与判定同步练习

一、选择题

1.如图，在矩形ABC。中，AC.80相交于点O,AE平分NB40交BC于点E,若4C4E=15。，则

C.72°D.90°

2.关于矩形的性质、下面说法错误的是（)

A.矩形的四个角都是直角

B.矩形的两组对边分别相等

C.矩形的两组对边分别平行

D.矩形的对角线互相垂直平分且相等

3.在矩形A8CD中，以A为圆心，40长为半径画弧，交于F点，以C为圆心，CO长为半径画

弧，交AB于E点，若AD=2,CD=遍,则EF=（）

A.1B.4-V5C.V5-2D.3-V5

4.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（）

A.梯形B.矩形C菱形D.正方形

5.如图，在矩形力BCD中，对角线4C、80相交于点0,AE平分/BAD交BC边于点E,点尸是4E的中

点，连接。F,若乙BDC=2乙ADB,AB=1,则尸。的长度为（）

Av'3

A-Kc.V3-1D.芋

6.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CEJBD,DEDAC,若AC=2,则四边形

CODE的周长是（）

A.2.5B.3C.4D.5

7.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列结论中，不正确的是

)

A.当ABDAD时，四边形ABCD是矩形

B.当AC匚BD时，四边形ABCD是菱形

C.当OA=OB时，四边形ABCD是矩形

D.当AB=AC时，四边形ABCD是菱形

2.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（）

D

A.33

B

A1为］D

D.

BC

二、填空题

9.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是（添加一个

10.如图，矩形ABCD中，点A坐标是（-1,0），点C的坐标是（2,4）,则BD的长

11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,CELBD,垂足为点E,CE=

5,且OE=2DE,贝ljDE的长为.

12.矩形一个角的半分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为cm<

13.如图，在矩形力中，AD=4,48=6,作/£平分［归力。，若连接8R则的长度

为o

三、解答题

14.如图，已知菱形ABCD,延长AD到点F,使DF=AD,延长CD到点E,使DE=CD,顺次

连接点A,C,F,E,A.求证：四边形ACFE是矩形.

15.如图，在DABCD中，过点D作DE匚AB于点E,点F在边CD上，DF=BE,连接AF,BF.

（1）求证：四功形BFDE是矩形:

(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证：AF平分匚DAB.

16.如图，菱形ABCD对角线交于点O,BEQAC,AEQBD,EO与AB交于点F.

(1)试判断四边形力上夕。的形状，并说明你的理由；

(2)求证：EO=DC.

17.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线，过点D作AC

的平行线，两直线相交于点E.

(1)求证：四边形OCED是矩形；

(2)若CE=1,DE=2,则菱形ABCD的面积是.

18.如图，一张矩形纸片46CQ,将点8折叠到对角线4c上的一点M处，折痕CE交AB于点E,

将点。折叠到对角线AC上的点H处,折痕AF交DC于点E

(1)求证：AF||CE.

(2)当乙8AC的大小为多少度时，四边形力灰?尸是菱形？请说明理由.

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是矩形，

AADJBC,DBAD^O0,OB=OA,

•・・AE平分DBAD,

，□BAE=EDAE=1BAD=45°,

,.•□CAE=15°,

・••□BAC=CBAE+QCAE=60°,

/.□OAB是等边三角形，

.\OB=AB,CABO=60°,

.,.□OBC=CABC-CABO=30°,

•IAD门BC.

.,.□DAE=DAEB=45°,

.-.□BAE=DAEB=45°,

AAB=BE,

AOB=BE,

/.□BOE=(180°-DOBE)-2=75°.

故答案为：B.

【分析】由矩形性质得ADnBG匚BAD=90。，OB=OA,由角平分线性质及角的和差可得

BAC=BAE+lCAE=60°,进而根据有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形得QAB是等边三

角形，由等边三角形性质得OB=AB,[ABO=60。，再由角的和差算出DOBC的度数，接着利用平行

线的性质及角平分线定义可推出□BAE=DAEB=45。，由等角对等边及等量代换可得OB=BE,进而根

据等边对等角及三角形内角和定理可求出Z1B0E的度数.

2.【答案】D

【解析】【解答】A、•・•矩形的四个角都是直角，「.A正确，不符合题意；

B、・・,矩形的两组对边分别相等，・・・B正确，不符合题意；

C、•・,矩形的两组对边分别平行，・・・C正确，不符合题意；

D、•・,矩形的对角线互相平分且相等但不垂直，・・・D不正确，符合题意；

故答案为：D.

【分析】利用矩形的性质逐项分析判断即可.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：连接CE,如图所示:

AF=AD=2,CE=CD=遍，

在RtaCBE中，Z5=90°,BC=AD=2,CE=CD=县,则由勾股定理可得BE="E?-BC2=

J(四2-22=1，

AE=AB-BE=V5-1,

•.EF=AF-AE=2-1)=3-V5,

故答案为：D.

【分析】连接CE,根据同圆的半径相等得AO=2,CE=CD=V5,根据勾股定理算出BE,

进而根据AE=AB-BE,EF=AF-AE,代入计算即可.

A.4C=BD,

•・,点E、F、G、H分别为AB、AD、BC、CD的中点，

AFF||BD,EF二BD,GH||BD,GH=/D,FG=^AC,

乙乙乙

，EF||GH,EF=GH,

・•・四边形ABCD为平行四边形,

VEF=FG,

・•・四边形ABCD为菱形,

故答案为：C.

【分析】根据题意画出图形，利用三角形中位线定理得到：EFIIBD,EF=BD,GH||BD,GH=

gBD,FG=^AC,进而证明四边形ABCD为平行四边形，最后根据”邻边相等的平行四边形为菱形

”，即可求解.

5.【答案】D

【辞析】【解答】V四边形ABCD为矩形，

/.AD1ZBC,AO=CO,AB=DC=1,CADC=EBCD=OABC=90°

VLBDC=DADB

，匚BDC=60°

・•・BC=V3

AE平分匚BAD

rBAE=nBEA=45°

JBE=AB=1

EC=V3-1

・.・F为AE的中点，AC=CO

・•・FO=1FC

・•・F0=听1

故答案为D

【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线，勾股定理。热悉矩形的边、角、对角线的性质是解

题关键。

6.【答案】C

【解析】【解答】解：・・,CEUBD,DEQAC,

・•・四边形CODE是平行四边形，

•・•四边形ABCD是矩形，

AAC=BD=2,OA=OC,OB=OD,

：・0D=OC=^AC=1

・•・四边形CODE是菱形，

，四边形CODE的周长为：40c=4x1=4.

故答案为：C.

【分析】由CE匚BD,DELAC,可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根

据矩形的性质，易得OC=OD=3,即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案.

7.【答案】D

【解析］【解答】解：A、当AB二AD时，匚BAD=90。，根据有一个角是90。的平行四边形是矩形可得

四边形ABCD是矩形，故此选项正确，不符合题意；

B、当AC匚BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，故此选项

正确，不符合题意；

C、•・•四边形ABCD是平行四边形，

AAO=CO,BO=DO,

当OA=OB时，可得AO=CO=BO=DO,即AC=BD,

根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形，故此选项正确，不符合题意；

D、当AB=AC时，不能判定平行四边形是矩形，故此选项错误，符合题意.

故答案为：D.

【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断A选项；根据对角线互相垂直的平行四边

形是菱形，可判断B选项，根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断C选项，一条对角线与一边

相等的平行四边形不能判断是菱形，据此可判断D选项.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：A、・.,4Z)=BC=4,AB=CD=3,

・•・四边形4BCO是平行四边形，

但不能说明四边形48C。为矩形，故该选项符合题意；

B、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意；

C、'：LA+=90°+90°=180°,

：.AD||BC,又AD=BC=4,

・•.四边形48CD是平行四边形，

•:4B=90°,

・•・四边形4BCO是矩形，故该选项不符合题意；

D、-：AD=BC=4,AB=CD=3,

・•・四边形A8CD是平行四边形，

V32+42=52,

.••△4BC是直角三角形，且二90。，

・•・四边形4BCD是矩形，故该选项不符合题意；

故答案为：A.

【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩

形''即可求解.

9.【答案】匚ABC=90。或AC=BD.

【解析】【解答】

解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形

故添加条件：□ABC=90。或AC=BD.

故答案为：［ABC=90。或AC=BD.

【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形或有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行解答即

可.

10.【答案】5

【解析】【解答】解：•・•点A的坐标是(-1,0),点C的坐标是(2,4),

・，・线段AC=卜+(2+1.=5,

•・•四边形ABCD是矩形，

・・・BD=AC=5,

故答案为：5.

【分析】利用两点间的距离公式即可算出AC的长，根据矩形的对角线长度相等求得BD的长.

11.【答案】V5

【解析］【解答】解：•・•四边形ABCD是矩形

AOC=1AC=iBD=OD

设DE=x,则OE=2x,OC=OD=3x,

VCE1BD,

/.□OEC=90°

在直角三角形OEC中

CE=y/OC2-OE2=V5x=5

x=V5

即DE的长为晒.

故答案为：区.

【分析】设DE=x,则OE=2x,根据矩形的性质可得OJOD=3X,在直角三角形OEC中：可求得

CE=V5x,即可求得*=V5,即DE的长为V5.

12.【答案】4或12

【解析】【解答】解:

(1)⑵

□DE=lcm,EC=3cm.因为AE平分DDAB,

故：DAE=45。,匚ADE中，AD=DE=1,

矩形面积为lx(1+3)=4cm2.(2)DE=3cm,EC=lcm.因为AE平分E1DAB,

故」DAE=45。,ADE中，AD=DE=3,

矩形面积为3x(1+3)=12cm2.

故答案为4或12.

【分析】本题有两种情况，匚DE=lcm,EC=3cm.由角平分线的定义得出口口人£=45。，根据矩形的性

质及等角对等边得出AD=DE=1,然后由矩形的面积公式计算即可;(2)DE=3cm,EC=lcm,由角

平分线的定义得出「DAE=45。，根据矩形的性质及等角对等边得出AD=DE=3,然后由矩形的面积公

式计算即可。

13.【答案】2V5

【蟀析】【解答】••・四边形48CQ是矩形,

-.AB||CD,BC=AD=4,CD=AB=6,DBCD=90°,

Z.FAB=Z.AFD,

•ME平分「氏4。，

:.Z.DAF=Z.FAB,

•••Z.DAF=Z-FAB,

.•.DF=AD=4,

••.CF=CD-DF=6-4=2,

由勾股定理可得BF=7BC2+C尸2=V42+22=2V5,

故答案为：2遍.

【分析】根据矩形的性质得至必B||CD,BC=AD=4,CD=AB=6,□BCD=90°,进而得到/凡48=

乙4FD,由角平分线的性质得到4DAF=4凡48,从而求得CF的值，最后利用勾股定理即可求解.

14.【答案】解：*：DF=AD,DE=CD,

，四边形ACFE是平行四边形，

•・•四边形ABCD是菱形，

：.AD=CD,

：.DF=AD=DE=CD,

：.DF+AD=DECD,

即AF=CE,

：.uACFE是矩形.

【解.析】【分析】由对角线互相平分的四边形为平行四边形，得ACEF为平行四边形，再由ABCD为

菱形，得至IJAD=CD,进而得到AE=CF,利用对角线相等的平行四边形为矩形即可得证.

15.【答案】(1)证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，

AABJCD.

VBEIDF,BE=DF,

・•・四边形BFDE是平行四边形.

VDEAB,

/.Z]DEB=90°,

，四边形BFDE是矩形；

(2)证明：•・,四边形ABCD是平行四边形，

AABJDC,

A：iDFA=LFAB.

在Rt匚BCF中，由勾股定理，得

BC=7FC2+F52=4+42=5,

・・・AD=BC=DF=5,

/.□DAF=EDFA,

.,.□DAF=LFAB,

即AF平分匚DAB.

【解析】【分析】3)根据有一个角为直角的平行四边形为矩形即可证明。

(2)先利用勾股定理求出BC=5,则AD=DF,则DDAFFDFA,再由DF「1AE,得r)DFA=「】FAE,

即可得E1DFA=LIFAE,即可证。

16.【答案】(1)解：四边形AEBO是矩形.

i正明：VBEEAC,AECBD

・•・四边形AEBO是平行四边形.

乂•・•菱形ABCD对角线交于点0

AACQBD,即Z）AOB=90。.

・•・四边形AEBO是矩形.

（2）证明：•・,四边形AEBO是矩形

.\EO=AB,

在菱形ABCD中，AB=DC.

AEO=DC.

【辞析】【分析】（1）先根据平行四边形的判定证明四边形AEBO是平行四边形，进而根据菱形的性

质得到AC1BD,即口人08=90。，从而根据矩形的判定即可求解；

（2）先根据矩形的性质得到EO=AB,进而根据菱形的性质即可求解。

17.【答案】（1）证明：•・•四边形ABCD是菱形，

AACDBD,

/.□COD=90°.

VCEDOD,DECOC,

・・・四边形OCED是平行四边形，

又"OD=90。，

・•・平行四边形OCED是矩形；

（2）4

【解析】【解答】解：（2）•.•四边形O