【培优版】北师大版九年级数学上册 菱形的性质与判定 同步练习（含解析）

【培优版】北师大版数学九上1.1菱形的性质与判定同步练习

一、选择题

1.如图，等腰直角三角形4BC中，^BAC=90°,AD上BC于D,4ABC的平分线分别交AC,AD于

E、F两点,M为"•的中点，延长AM交8c于点N,连接FN,NE.下列结论：①4E="；

@AB2=BM-BE；③△4EE是等边三角形；@BF=AN,⑤四边形AENF是菱形，正确结论的序

A.②④⑤B.①②③④⑤C.①③④D.①②④⑤

2.如图.已知菱形力。CO中.过力。中点E作/?"IRD.交对角线。。于点M.交。「的延长线于点

F.连接DF,若CF=2,B£）=4,则。尸的长是（）

A.2y/7B.4v5C.4D.573

3.如图，在菱形ABCD中，ZBAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,点E为垂足，连

接DF,则NCDF为（）

A.80°B.70°C.65°D.60°

4.已知，如图，在菱形ABCD中.（I）分别以C,D为圆心，大于*CD长为半径作弧，两弧分别交

于点E,F；（2）作直线EF,且直线EF恰好经过点A,且与边CD交于点M；（3）连接BM.根据

以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（)

A

A.ZABC=60°B.如果AB=2,那么BM=4

C.BC=2CMD.SMBW=2s△力DM

5.如图，已知菱形ABC。中，过4。中点E作交对角线BO于点M,交BC的延长线于点

F.连接OF,若CF=2,80=4,则DF的长是（）

A.2V7B.4V3C.4D.573

6.如图，在菱形4BCD中，^BAD=60°,。为对角线的交点.将菱形/BCD绕点。逆时针旋转90。得

到菱形/B'C'。'，两个菱形的公共点为巴凡G,〃.对八边形BFB'GOHO'E给出下面四个结论：

①该八边形各边长都相等；

②该八边形各内角都相等；

③点。到该八边形各顶点的距离都相等：

④点。到该八边形各边所在宜线的距离都相等.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

7.如图，菱形A8C0中，48=2,41=120。，点P,Q,K分别为线段8C,CD,80上的任意一

点，则PK+QK的最小值为（）.

AD

/7Q

BPC

A.1B.V3C.2D.隼

8.如图，菱形A8C0中，乙6Ao=60。，AC与BD交于点0,E为CO延长线上的一点，RCD=DE,

连接BE分别交AC,AO于点尸、G,连接0G,则下列结论：（）

①0G=具8;

②与△EGD全等的三角形共有2个；

③S四边形QDEG=$四边形AB0G：

④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形.

A.①③④B.①④C.①②③D.②③④

二、填空题

9.如图，在菱形48co中，48=2,=30°,P为40边上一动点，将△PCO沿CP折叠为△PC。',

E为AB边上一点,BE=CE,则0'E的最小值为_________.

D，

BC

10.如图,在菱形ABCD中,ZC=60°,AB=2,延长BA至点E,使AE=1,现以点D为圆心，以

DE的长为半径画弧，与直线BC相交于点M,则CM的长为

I)c

11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点E为AB的中点，点F在OD上,

DF=OF,连接EF交OA于点G,若OG=1,连接CE,SABEC=12,则线段CE的长

为.

12.已知直线/的解析式为）=2x+2,菱形AO84”4。闰4,…按图所示的方式放置,

顶点A,4,4,4,…均在直线/上，顶点。，Oi,。2,…均在k轴上，则点4的坐标

13.如图，菱形4BCD中，AB=2,M为边4B上的一点，将菱形沿DM折叠后，点A恰好落在BC的

中点E处，贝i〃M=.

三、解答题

14.如图，菱形ABCD中，/-ABC=120°,E为边4B上一点，点/在。8的延长线上，EF=ED,作

点厂关丁•直线48的对称点G,连接EG.

D

(I)依题意补全图形，并证明乙4DE="EB；

(2)用等式表示4E,CG,DF之间的数量关系，并证明.

15.如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，FC与对隹线BD相交于点C,过点G作GE_LBC

于点E,ZADB=ZFCB.求证：

(1)AB=2BE；

(2)DG=CF+GE.

16.如图，在MBCD中，CE平分用CD,交AD于点E,DF平分交BC于点F,CE与DF

交于点P,连结EF,BP

(2)若AB=2,BC=3,ZA=120°,求BP的值.

17.如图，在菱形ABCD中，ZC-60%。为BD的中点，点E在AD上，点F在AB的延长线上,

且NEOF=120。.求证：AE+BF=|AB.

18.如图，在平行四边形ABCD中，AE_LBC于点E.

备用图

(1)如图1,若AB=AD,EC=1,ZBAE=30°,求AD的长;

(2)如图2,若AD二AE,连接DE,过点A作AFJ_AB交ED于点E在AB上截取AG=AF,

连接DG,交AE于点N,NDAE的角平分线AH与GD相交于点H,求证：GH=DH；

(3)在(2)的条件下，若AN：AD=2：5,AH=2鱼，请直接写出点C到直线DE的距离.

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：:等腰直角三角形48c中，£.BAC=90°,AD1BC于D,

AAD=BD=CD,ZABC=ZACB=ZBAD=ZCAD=45°.

〈BE平分/ABC,

.,.ZABE=ZCBE=22.5°.

VZBAC=ZBDA=90°,

JZAFE=ZBFD=90°-ZCBE,ZAEF=90°-ZABE,

・・・NAFE=NAEF.

AE二AF；故选项①正确；

,・'AE=AF,点M为EF中点，

AAM±BE,ZCAN=ZDAN=22.5°.

.,.ZBMA=ZBAE=90°,

又TNABM二NEBA,

.*.△ABE^AMBA,

，第=器，即4/二故选项②正确；

VZCAD=ZEAF=45°,，△EAF不是等边三角形；故选项③错误；

VZCAN-ZABE-22.50,BA-AC,ZC-ZBAF-450,

.*.△BAF^AACN(ASA),

・・・BF二AN：故选项④正确；

VAM1EF,

AZAMB=ZNMB=90°,

XVBM=BM,ZABE=ZCBE=22.5°,

ABM^ANBM(ASA).

AM=NM,

又FM=EM,

・•・四边形AENF是平行四边形.

又AF=AE,

・•・四边形AENF是菱形，选项⑤正确；

故正确选项杓①②④⑤.

故答案为：D.

【分析】证明NAEF=NAFE,进而可得结论①：山①得AM_LEF,证明△ABES/\MBA,进而可

得结论②；证明NBAD=NCAD=45。，可判断结论③；证明△BAF^^ACN,进而可得结论④；证

明AABMgZXNBM,可得AM=MN,结合FM二EM,AF二AE即可得结论⑤.

2.【答案】A

3.【答案】D

【解析】【解答】解：如图，连接BF,

在ABCF和^DCF中，

VCD=CB,ZDCF=ZBCF,CF=CF

・,.△BCF^ADCF

AZCBF=ZCDF

YFE垂直平分AB,ZBAF=1x80°=40°

.,.ZABF=ZBAF=40°

VZABC=180°-80°=100°,ZCBF=100°-40°=60°

/.ZCDF=60°.

故选D.

【分析】连接BF,利用SAS判定△BCFgADCF,从而得到NCBF=/CDF,根据已知可注得

NCBF的度数，则NCDF也就求得了.

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】B

【解析】【解答】解：延长BD和DB,连接OH,

,/菱形ABCD中，ZBAD=60°,

.,.ZBAO=ZDAO=30°,ZAOD=ZAOB=90°,

菱形ABCD绕点O逆时针旋转90。得到菱形ABCD',

:.点、\、C'、D一定在对角线AC、BD±,MOD=OD'=OB=OB',OA=OA'=OC=OC',

・・・AD=C'D,ZD,AH=ZDC'H=30°,

XVZD,HA=ZDHC,

.*.△AD'H^AC'DH(AAS),

・・.D'H=DH,C'H=AH,

同理可证DE二BE,BF=B'F,BG=DG,

VZEA'B=ZHC,D=30°,A'B=CD,ZA'BE=ZC'DH=120°,

.*.△A'BE^ACDH(ASA),

，DH=BE,

，DH二BE=D'H二D'E二BF=B'F二B'G=DG,

・••该八边形各边都相等，故①正确；

根据角平分线的性质定理得点0到该八边形各边所在直线的距离相等，故④正确；

根据题意得NEDH=120。，

•・・/D'OD=90°,ZOD,H=ZODH=60°,

...NDHD=150。，

・•・该八边形各个内角不相等，故②错误；

VOD=OD',D'H=DH,OH=OH,

D'OH^ADOH(SSS),

・•・ZD'OH=ZDOH=45O,ZD'HO=ZDHO=75°,

/.OD^OH,

・••点O到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误，

综上，正确的有①④.

故答案为：B.

【分析】延长BD和DB,连接0H,由菱形性质得NBAO=/DAO=30。，ZAOD=ZAOB=90°,由

旋转性质得点A\B\C\D一定在对角线AC、BD±,OD=OD=OB=OB',OA=OA'=OC=OC,,

从而可用AAS判断出△ADHgZ\CDH,得D'H=DH,CH=AH,同理可证D'E=BE,BF=B'F,

B'G=DG；由ASA判断出△ABENZ\CDH,得DH二BE,据此可判断①；根据角平分线的性质定理

得点。到该八边形各边所在直线的距离相等，可判断④；通过角度计算可判断②；用SSS判断出

△D'OH^ADOH,得NDOH=/DOH=45。，ZD'HO=ZDHO=75°,据此可判断③.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：如图，作点P关于BD的对称点P,连接PQ,当P、K、Q三点共线，且

PQJ_AB时，PK+QK的值最小，即为P'Q的长，

过点C作CH_LAB,

VAB/7CD,

APQ=CH,

•・•四边形ABCD是菱形，180°-

ABC=AB=2,ZABC=I8O°-ZA=6O°,

在RSBCH中,则NBCH=30。,

.\BH=|BC=I,CH=V3

.\PQ=CH=V3,

即PK+QK的最小值为

故答案为：B.

【分析】作点P关于BD的对称点P,连接PQ,当P'KQ三点共线，且PQJ_AB时，PK+QK的

值最小，即为PQ的长，过点C作CH_LAB,由AB〃CD可得PQ=CH,利用直角三角形的性质求

出CH的长即可.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是菱形，

/.AB=BC=CD=DA,AB〃CD,OA=OC,OB=OD,AC1BD,

AZBAG=ZEDG,△ABO^ABCO^ACDO^AAOD(SSS),

ACD=DE,

AAB=DE,

LBAG=乙EDG

△ABG和^DEG中，Z.AGB=乙DGE,

AB=DE

.*.△ABG^ADEG(AAS),

AAG=DG,

，OG是△ACD的中位线，

：-0G=^CD=^AB,故①正确；

VAB/7CE,AB=DE,

・•・四边形ABDE是平行四边形，

AZBCD=ZBAD=60°,

•,.△ABD、△BCD是等边三角形，

，AB二BD=AD,ZODC=6()0,

・・・OD二AG,四边形ABDE是菱形，故④正确；

AAD1BE,

由菱形的性质得：△BGAgZ\BGD@4EGD(SSS),

在aBGA和△COD中，

AG=DO

Z.BAG=乙CDO,

AB=DC

.*.△BGA^ACOD(SAS),

AOB^ACOB^ACOD^AAOD^ABGA^ABGD^AEGD,故②不正确；

VOB=OD,

••BOG=SADOG,

•・•四边形ABDE是菱形，

•ABG=SADGE>

・•・四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；

故答案为：A.

【分析】本题考杳了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等

边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；结论使用AAS证明△ARG咨ADEG,再利用中

位线定理可得出结论①正确；证明4BGA咨/XCODISAS),即可证明出结论②不正确；中线的性质

和菱形的性质证明SAABG=S.DGE,得出结论③正确，证明四边形ABDE是平行四边形、OD=AG,

则四边形ABDE是菱形，得出结论④正确.

9.【答案】2—孕

【解析】【解答】解：作EF1BC于点F,则2CFE=90。，

BC=CD=AB=2,

vBE=CE,

ABF=CF=^BC=1,

vLB=30°,

BE=2EF,

：.BF=\/BE2-EF2=V（2FF）2-EF2=\[3EF=1,

•・EF=丁

BE=CE=2EF=2x苧=卷

由折叠得CD'=CD=2,

•••DrE+CE>ca,

•••。七+萼22，

DrE>2-季

・•.D'E的最小值为2-翠，

J

故答案为：2-孕

【分析】作EF±BC于点F,根据菱形的性质得BC=CD=AB=2,由BE=CE得BF=CF=1,而

ZB=30°,因此BE=2EF,从而得到BF=V5EF=1,求得EF哮，所以BE=CE=2EF=空，根据折叠得

CD=CD=2,因为D，E+CE^CD,所以DE+^^2,则DE22-竽，即可求得DE的最小值.

10.【答案】1或3

【解析】【解答］解：（1）如图1所示，当点M在CB的延长线上时，连接BD,过点D作DFLAB

于点F,DG_LBC于点G,

根据题意可知△DAB和^DBC为等边三角形，

ADA=DB,ZDBA=ZDBC=60°,

又,.,DF_LAB,DG1BC,

，DF=DG,

ARtADFE^RtADGM(HL),

AZE-ZM,

VZDAB=ZDBC=60°,

.\ZDAE=ZDBM=120°,

・,.ADEA^ADMB(AAS),

ABM=AE=1,

.\CM=BM+BC=l+2=3；

(2)如图2,当点M在BC的延长线上时，同理可得出△DEAg/^DMC,

F：AB

图2

.*.CM=AE=1,

故答案为：1或3.

【分析】根据菱形的性质可以知道△DAB和ADBC为等边三角形，再根据全等三角形的判定方法斜

边直角边（HL）可以得出RMDFE空RMDGM,从而得到相关线段和角的关系，再由AAS判定方

法得到△DEA^ADMB,根据M点可能存在的位置，分两种情况算出CM的长度.

11.【答案】2V5

【解析】【解答】解：作EM_LOA于M,如图所示：

•・•四边形48C。是菱形，

OD=OB,

:.EM〃OB,

：.AM：MO=AE：EB,

♦：AE=BE,

.'EM是△A8。的中位线，

AEM=1OB,

t：DF=OF,

二.OF=^OD,

:・EM=OF,

•：4MEG=/0FG,NMGE=/OGF,

:・&EMGq丛FOG(AAS),

・・.MG=OG=1,

：.OM=2OG=2,

.•・O4=2OM=3,

：.AC=2OA=S,

•：AE=BE,

BAC的面积=6xa8EC的面积=2x12=24,

*AC・O8=24,

o

：・OB=6,

・・・EM=；O8=3,

VCM=OM+OC=2+7=6,

•*-CE=y/cM2+EM2=3V5.

故答案为：2V5.

【分析】作EMJ_OA于M,先根据菱形的性质得到BOJ_04,OD=OB,进而根据三角形中位线定

理即可得到再结合三角形全等的判定与性质证明△△/。G(AAS)即可得到MG

=0G=\,再结合题意运用勾股定理即可求解。

12.【答案】(2八-1一1,2n)

【解析】【解答】解：设直线I与x轴相交于点M

由一次函数y=2x+2,当x=0时,y=2

AAi(0,2)

当y=0时，2x+2=0,解得:x=-l

AM(-1,0)

丁四边形AOBAi是菱形

，0Ai垂直平分AB

・・。(1,0)

同理:02(3,0)

把x=3代入y=2x+2得y=8

，A3(3,8)

依次规律：An(2〃T—1,2")

故答案为：2")

【分析】先求出直线与x轴，y轴的交点坐标，再根据菱形的性质求出A,A.,A?.…的坐标，即可

求出答案.

13.【答案琦

【解析】【解答】解：如图，延长ME交DC的延长线于点N,

B

•・•四边形ABCD是菱形，

，AB〃CD,AB=CD=2,

AZAMD=ZCDM,ZEMB=ZN,ZEBM=ZECN,

・・・E为BC的中点，

/.EB=EC,

EBM^AECN(AAS),

・・.CN=BM,NE=ME,

由折叠得/AMD=NDME,AM二ME,

AZDME=ZCDM,

AMN=DN,

2AM=CD+CN=CD+BM,

・・・2AM=2+2-AM,

AAM=1.

故答案为：!

【分析】由菱形的性质得AB〃CD,AB=CD=2,由平行线的性质得NAMD=NCDM,

ZEMB=ZN,ZEBM=ZECN,然后可用AAS判断出△EBMgAECN,根据全等三角形的对应边

相等得CN=BM,NE=ME,由折叠得NAMD=/DME,AM=ME,则NDME=/CDM,由等角对等

边得MN=DN,贝I」2AM=CD+CN=CD+BM,据此建立方程，求解即可.

14.【答案】（1）解；补全的图形如图所示;

AE

证明：•••菱形力BCD,

：.LADC=乙ABC=120°,

1

-'•LADB=^Z,ADC=60%

1

乙ABD=3乙ABC=60%

乙

：.LADE+LBDE=60°,

乙FEB+乙BFE=60°.

•:ED=EF,

;,乙BDE=乙BFE,

：.LADE=乙FEB.

（2）解：AE,CG,之间的数量关系：O"=CG+2AE.

证明：方法1

如图，连接DG.

AE

菱形48C0,448c=120。,

：-LABD=£ABC=60°=4/1，

为等边三角形,

A.4D=DB,Z-ABF=120%

点F关于A8的对称点G在线段BC上,

-'•EG=EF=ED,Z.GEB=乙FEB=Z.ADE.

■:乙DEB=24+LADE=乙DEG+乙GEB,

：.LDEG=AA=60°,

•••△OEG为等边三角形，

，DE=OG,Z.EDG=60%

:•乙ADE+乙EDB=Z.EDB4-乙BDG=60°,

：.LADE=乙BDG,

**•△ADE=△BDG>

：.AE=BG,

：.DF=DB+BF=BC+AE=CG+BGAE=CG+2AE.

证明：方法2

如图,延长/。到H,使。H=力不

：.AB=EH.

:菱形力8c0,

=AD=EH.

XVz/lDE=/-FEB,DE=EF，

/.△ADE为FEH,

LEHF=Zx4=60。，HF=AE=RH，

・♦.ABF”为等边三角形，

：.HF=BF=AE.

•・•菱形ABC。，/-ABC=120°,点F关于直线AB的对称点为G,

・,.点G在线段BC上，BG=BF=AE,

：.DF=DB+BF=BC+AE=CGBG+AE=CG2AE.

【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可分别求得NADBnNABD=600然后根据DE=EF,可得

ZBDE=ZBFE,再根据等式的性质可求得NADE=NFEB；

（2）首先可证明△ABD是等边三角形，ADEG是等边三角形，从而可根据SAS证得

△ADE咨△BDG,得出AE=BG,乂根据对称得出BG=BF,从而可根据等量代换得出:

DF=DB+BF=BC+AE=CG+BG+AE=CG+2AEo

15.【答案】（1）证明：・・•四边形ABCD是菱形,

AAB=BC,AD〃BC,

AZADB=ZDBC.

VZADB=ZFCB,

AZFCB=ZDBC,

AGB=GC.

XVGE1BC,

ABC=2BE,

AAB=2BE；

HAD

（2）证明：如图，延长CF,DA交于点H,万人/

REC

•・•四边形ABCD是菱形，

，AD〃BC,ZADB=ZDBC,

AZH=ZFCB,

AZH=ZADB,

ADG=HG.

丁点F是AB的中点，

...AF=BF,AB=2BF.

又由（I）得AB=2BE,

ABF=BE.

在AAFH和^BFC中，

LH=Z-FCB

乙AFH=乙BFC,

AF=BF

.*.△AFH丝△BFC（AAS）,

ACF=FH.

在ABGF和^BGE中,

BF=BE

Z.FBG=乙EBG,

BG=BG

:BGF^ABGE(SAS),

AFG=CE,

ADG=HG=HF+FG=CF+GE.

【解析】【分析】（l）由菱形得性质可得AB=BC,AD〃BC,结合己知条件可得GB二GC,根据等腰

三角形的性质可得BC=2BE,即可得解；

（2）延长CF,DA交于点H,先用AAS证明△AFHgABFC,可得CF=FH,进而再用SAS证明

△BGF咨ZXBGE,可得FG=CE,由线段得和差运算可得结论.

16.【答案】（1）证明：•・•四边形ABCD为平行四边形，...AD〃BC,AZEDF=ZDFC.VDF平分

ZADC,AZEDF=ZCDF,AZDFC=ZCDF,ACD=CF,同理可得CD=DE,ACF=DE,且

CF〃DE,J四边形CDEF为菱形.

（2）解：如图，过P作PG_LBC于G.

VAB=2,BC=3,ZA=120°,且四边形CDEF为菱形，，CF=EF=CD=AB==2,Z-ECF=

111

=60。，,•.△CEF为等边三角形,/.CE=CF=2,PC=^CE=1,ACG=

PC=』,PG=§PC=噂，BG=BC-CG=3-在Rt△BPG中，由勾股定理可得

22_

BP=\/BG2+PG2=卿+停）=历,即BP的值为V7.

【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得CD=CF,同理可得CD=

DE,又因为CF4DE,根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论;

（2）过P作PGJ_BC于G,先在RSPGC中求得PG和CG的长，从而求得BG的长，在

RSBPG中，根据勾股定理可求得BP的长即可解答.

17.【答案】证明：如图，过点。作OG〃AB交AD于点G.

DC

・・・AB=AD,ZA=ZC=60°,ZADC=ZABC=120°,

AZADB=CABD=60°,

AABD是等边三角形，ZOBF=120°,ABD=AD=AB..

VOG^AB,AZDGO=ZA=60°,ZDOG=ZABD=6()°,

・•・△DGO是等边三角形。

AOG=DG=OD=1BD=OB=AAD,

ZOGE=ZGOB=120°=ZOBF,

AAG=1AD.VZEOF=120°,AZGOE=ZBOF.

乙OGE=^OBF,

0G=OB,

(乙GOE=(BOF,

?.△OEG^AOFB(ASA),

ACE=BF,

AAE+BF=AE+CE=AG=1AD=AAB.

【解析】【分析】过点O作OG//AB交AD于点G,根据菱形的性质得到：AB=AD,乙4=乙。=

60。，Z.ADC=Z.ABC=120%进而证明△4BD和△DGO为等边三角形，即可得到：0G=DG=

OD=gBD=OB=＞。，乙OGE=乙GOB=120°=4。8/，再利用"ASA”证明△OEG三卜OFB,得

到：CE=BF,进而即可求证.

18.【答案】(1)解：VAE±BC,ZBAE=30°,/.BE=1AB,

〈四边形ABCD是平行四边形，AB=AD,

・•・四边形ABCD是菱形，

・・・AB=BC,

VBC=BE+EC,EC=1,

/.AB=iAB+i,解得：AB=2

・・.AD=AB=2,即AD的长为2

(2)证明：连接EG,

ZGAE+ZEAF=ZEAF+ZFAD=90°,

AZGAE=ZFAD,

VAG=AF,AE=AD,

:AEG^AADF(SAS),

.\ZAEG=ZADF,

•「△ADE是等腰直角三角形，

.\ZADE=ZAED=45°,

/.ZAEG=ZADF=45°,

/.ZDEG=90°,即DEJ_EG,

延长AH交DE于点M,

TAH平分NDAE,

AAMIDE,DM=AM,

，AM〃EG,

.DH_DM

,,丽=雁’

VDM=EM,

AGH-DH；

(3)解：点C到DE的距离为:鱼

【解析】【解答］解：(3)VAN：AD=2：5,AD=AE

AAN：NE=2：3

由AM〃EG可得△AHN〜△EGN

•典—处,