【提升版】北师大版九年级数学上册 第一章 特殊的平行四边形 单元测试卷（含解析）

【提升版】北师大版数学九上第一章特殊的平行四边形单元测试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一

个是正确的）

1.如图，在菱形48CZ）中，4c=6cm,8D=8cm,则菱形18边上的高CE的长足（）

A.4.8cmB.9.6cmC.5cmD.1Ocm

2.如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，匚AOC=45。，OA=&,则点C的坐标

为（）

A.（V2,1）B.（1,1）C.（1,口）D.（V2+1,1）

3.如图,正方形4BCE的边长为4,Z.EAF=45°,将△A8E绕点A按顺时针方向旋转90。得到△

ADG.若BE=1,贝尸的长为（）

12

B.V7,丁

4.如图，四边形48c。是正方形，在正方形内部作等边三角形EDC,则41EC的度数为（）

AD

A.120°B.125°C.130°D.135°

5.如图所示，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EFDAC于点F,连接EC,

AF=3,（Z1EFC的周长为12,则EC的长为（)

「

B.3V242D.5

6.如图，已知线段AB,按下列步骤作图：分别以A、B为圆心，大于氏为半径画弧，两弧相

交于点M、N,作直线MN,交AB于点O,分别连接MA、MB、NA、NB,如果四边形MANB是

正方形，需要添加的条件是（）

C.MA=NBD.AB平分MAN

7.如图，在矩形ABC。中，E为DC边上一点、,把44DE沿AE翻折，使点。恰好落在8c边二的点F

处，AB=2。AD=4,贝DEC的长为（)

r>/3D.V3

。T

8.如图，在菱形48co中，AC=8,BD=6,E是CD边上一动点,过点E分别作JL。。于点

F,EG100于点G,连接FG,则FG的最小值为（

二、填空题

9.如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC,BC=10,LBCD=60°,两顶点B、D分别在平面直角

坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接0A,则0A的长的最小值是.

10.如图，在正方形4BC0中，点F为CD上一点，8尸与AC交于点E.若乙C8/=18。，则乙4ED等于.

度.

11.正方形4BC0和正方形CEFG中，点。在CG上，BC=1,CE=3,〃是4尸的中点，那么G7的长

是_________.

BE

12.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O作OEDBC,垂足为点E,过点A作

AFDOB,垂足为点F,若BC=2AF,0D=6,则BE的长为.

13.如图，点G是正方ABCO边48上一点，以BG为边作正方形BEFG,延长GF交CO于点“，当矩

形AGHO与正方形BEFG面积相等时，则煞=.

DU

AD

F

BEC

三、解答题

14.如图，在正方形48C。中，BE=CE,请仅用无刻度的直尺画图(保留画图痕迹，不写画法).

(1)在图①中，画出力。的中点M；

(2)在图②中，画出CO的中点M

15.如图1,已知四边形48C0是菱形，点E,F在对角线8。上，BE=DF.

(1)求证：Z-BAE=ZD/1F；

(2)如图2,若AF1BA,点E为BF的中点,连接4c交BD于点O,连接CF并延长交.4。于点

G,在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中等于线段。E的6倍的四条线段.

16.在菱形4BC。中，E,尸分另!为AO,A8上的点，且4E=4F,连接并延长EF,与CB的延长线交

图1图2

（1）如图1,求证：四边形EG80是平行四边形：

（2）如图2,连接4G,若GB=AE,请直接写出长为线段尸8长2倍的线段.

17.如图，在矩形力中，M、N分别是A。、8C的中点，尸、。分别是8"、ON的中点.

（2）连接用。、PN,判断四边形的形状，并说明理由.

（3）矩形48CZ）的边48与4。满足什么长度关系时，四边形M/WQ是正方形？请说明理由.

18.如图,矩形A8CD中，点。是对角线4c的中点,过点。的直线分别交力。、8c边于点从F,AF=

AE.

（I）求证：四边形是菱形；

（2）若8c=8,48=6，求EF的长.

19.如图，在正方形48co中，E是BC上的一点，连接AE,过点8作8GJ.4E,垂足为点G,延长8G

交CO于点F,连接4"。

(1)求证：BE=CF；

(2)若正方形48co的边长是5,BE=2,求4尸的长。

20.如图，在正方形力8C。中，点E、尸分别在边BC、CD±,且匚以/=45。，分别连接ERBD,

BD与4F、4E分别相交于点V、M

(1)求证：EF=BE+DE为f证明"EF=BE+DP,小明延长CB至点G,使8G=。凡连接4G,请

画出辅助线并按小明的思路写出证明过程.

(2)若正方形的边长为6,BE=2,求。E的长.

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：设AC、BD相交于点0,

•・•四边形ABCD是菱形，AC=6cm,BD=Scm

•'•OA=^AC=3cm,OB=*BD=4cm,ACDBD,

1°

S峙物-xACxBD—24c?n2,

由勾股定理得力8=yJOA2+OB2=5cm,

由S菱形Me。=ABxCE=24cm2可得，

CEM.8cm；

故答案为：A.

【分析】根据菱形的性质及勾股定理可计算出AB的长度、菱形的面积，即可计算CE的长度.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：作CDDx轴于点D,

则71CDO=90。，

*.*四边形0ABC是菱形，OA=0

••0C=0A=x/2，

又,•,□AO345。，

・•・71OCD=90°-OAOC=90°-45°=45°,

.,.□D0C=COCD,

ACD=OD,

在Rt匚OCD「|LOC=>/2,CD2+OD2=OC2,

A2OD2=OC2=2,

.\OD2=1,

・・・OD=CD=1(负值舍去),

则点C的坐标为(1,1).

故答案为：B.

【分析】作CD"轴于点D,根据菱形的性质可得OC=OA=鱼，根据余角的性质可得

□OCD=45°,贝lJCD=OD,在RUOCD中，根据勾股定理可得OD的值，进而可得点C的坐标.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：由旋转可知，

△ABE=△ADG»

・♦.DG=BE=1,乙GDA=^ABC=90°,LEAB=LGAD,AE=AG.

又；四边形4BCQ是正方形，

CD=AB=4,£.FDA=^DAB=乙BCD=90°,

*：LEAF=45°

•••LEAB+4FAD=Z.DAB-^EAF=90°-45°=45°,

则4G45=LEAF=45°.

在AEA尸和△G4F中，

AE=AG

/-GAF=LEAF,

AF=AF

£;49三△G4F(S4S),

EF=GF.

令D5=x,

RiJCF=4-x,EF=GF=x-^-1,CE=4-1=3.

在R£△CEF中，

EF2=CE2+CF2,

即(％+1)2=(4—％产+32,

解得％=第，

即DF=全

故答案为：C.

【分析】根据旋转性质可知△/IBE三△4DG,可得力E=/1G,^EAB=^GAD,DG=BE=1,再根

据正方形的性质结合角与角之间的相等关系可得/GHF=^EAF=45。，然后根据全等三角形的判定

定埋可证△瓦4尸三△GA/(SAS),可得E/=GF,再令。尸=心结合线段与线段之间的关系，运用勾

股定理计算即可求解。

4.【答案】D

【蟀析】【解答】•・•四边形488是正方形，等边三角形EDC,

・・・AD=CD=DE,□CDE=CCED=60°,EADC=90°,

.,.□ADE=ElADC-L)CDE=90o-60o=30°,

VAD=ED,

/.□DAE=EDEA,

.1800-30°„

・•JDbA--------2-------=------2-----=75c°o，

，□AEC=EDEA4-DCED=75O+60°=135°,

故答案为：D.

【分析】先利用正方形和等边三角形的性质求出匚ADEMADC-匚CDE=90O-6()o=30。，再求出口DEA

的度数，最后利用角的运算求出ZIAEC的度数即可.

5.【答案】D

【蟀析】【解答】解：•・•四边形ABCD是正方形，

/.□BAC=45°,

•・・EF匚AC于点F,AF=3,

••・EF=AF=3,

VOEFC的周长为12,

ACF+CE=9,

在Rt【CEF中，设CE=x,则CF=9・x,

•*-32+(9-x)2=x2,

解得x=5,

ACE=5.

故答案为：D.

【分析】根据正方形的性质得口8人©=45。，从而得DAEF是等腰RP,由DEFC的周长为12,得

CF+CE=9,在RECEF中，设CE=x,则CF=9-x,根据勾股定理列方程,解方程即可求解.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：由作图方法得AM=BM=AN=BN,

・♦・四边形AMBN为菱形，

.\OM=ON,OA=OB,

・••当OA=OM时，可得AB-MN,

••・四边形AMNB为正方形.

故答案为：A.

【分析】利用作图方法得到AM=BM=AN=BN,从而可判断四边形AMBN为菱形，得至I」OM=ON,

OA=OB,然后当OA=OM时可得对角线相等，根据正方形的判定方法即可求解.

7.【答案】A

【辞析】【解答】解：•・•四边形ABCD为矩形，

AAB=CD,AD=BC,

•・,把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在8c边上的点F处，

/.AF=AD=4,EF=DE=2A/3-EC,

在Rt匚ABF中，BF=V/1F2->4B2=2,

・•・CF=BC-BF=2,

在Rt匚CEF中，EC2=EF2-CF2

即2=(2V3-EC)2-22

解得，EC=绛.

故答案为：A.

【分析】根据矩形的性质得AB=CD,AD=BC,根据翻折的性质得AF=AD=4,EF=DE=2百一

EC,根据勾股定理得RF从而推出CF,再根据勾股定理得EC,即可求得.

8.【答案】B

【解析】【解答】解:连接0E,如图:

•・•四边形ABCD为菱形,

A.4C1BD,0D=0B=鼻。=3,0A=0C=\AC=4,

在RMOOC中，DC=ylOD2+OC2=5,

•：EF1OC,EG1OD,

・•・四功形OFEG为矩形,

:・GF=0E,则当OEICO时，OE自最小值,

11

工S4OCD=^OCOD=^CD-OE,

.OC-OD-

••DE=「丁=2.4,

，FG的最小值为：2.4,

故答案为：B.

【分析】连接OE,根据菱形的性质得到：AC1BD,0D=OB=^BD,OA=OC=^ACf然后利

用勾股定理计算出DC的长度，再证明四边形OFEG为矩形.进而得到：GF=OE,则当。E1CD

时，OE有最小值，最后利用等面积法即可求出OE的长.

9.【答案】5V3-5

【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AEBD于点E,

当点A,O,E在一条直线上,此时AQ最短.

•・•平行四边形ABCD中，AB=BC,BC=10,□BCD=60°,

AAB=AD=CD=BC=10,匚BAA匚BCD=60°,

AliABD是等边三角形，

「•AE过点O,E为BD中点，则此时EO=5,

故AO的最小值为：AO=AE-EO=ABsin600-1XBD=5>/3-5.

故答案为：5g-5.

【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出A点位置，进而求出AO的长.

10.【答案】63

【解析】【解答】解：♦.•四边形ABCZ）是正方形，具有关于对角线所在直线对称的对称性,

・••乙ACB=/.ACD=45°,乙CDE=乙CBE,LADE=乙ABE,

又.•4/lED是△CED的夕卜角，

：,LAED=4ECO+乙EDC=45°+18°=63°,

故答案为：63.

【分析】根据轴对称的性质可得乙4C8=41CD=45。，乙CDE=LCBE,Z.ADE=Z.ABE,再利用

三角形外角的性质可得4力E0=乙ECD+乙EDC=450+18°=63。。

11.【答案】V5

【解析】【解答】解：•・•正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1,CE=3

.*.AB=BC=1,CE=EF=3,CE=90°

延长AD交EF于M,连接AC,CF

则AM=BC+CE=4,FM=EF-AB=2,LAMF=90°

•••四边形ABCD和四边形GCEF是正方形

:./-ACD=乙GCF=45°

Z-ACF=90°

为AF的中点

1

CH=-^AF

乙

-AF=yjAM24-FM2=2而

•••CH-V5

故答案为：V5

【分析】延长AD交EF于M,连接AC,CF,根据正方形性质及勾股定理即可求出答案.

12.【答案】3V3

【解析】【解答】•••四边形ABCD是矩形

AO=BO=OD=OC=6,乙ABC=90°

二/.ABF+“BE=90°

•••AF1OB,

乙ABF十^BAF=90°,乙AFB=90°

AZ.BAF=乙OBE

vOEJBC,OB=OC

BE=EC=^BC,乙BEO=90°

•••BC=2AF,

•••△ABFBOE

AB=BO,BE=AF

vOB=OA

ABO是等边三角形

vAF1BO

1

•••乙BAF=30°

1

BF=^AB

,-----V3

•••AF=yJAB2-BF2=

AB=OA=6

AF=3V3

:.BE=AF=3x/3.

故答案为：3次.

【分析】先求出△AB尸三△BOE,再利用勾股定理计算求解即可。

13.【答案】上匹

【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为1,正方形BEFG的边长为m,

则AB=AD=1,AG=1-m,

•••矩形AGHD与正方形BEFG面积相等,

/.1-m=m2,

解得m尸今5m2=石匹（舍去）

・・・BGW在,AG=1--1+75=3-75

-22~,

,柜_2,5_3_店_-1+75

•*BG~一心'5一店一1一-2-1

故答案为：二1要.

【分析】设正方形ABCD的边长为1,正方形BEFG的边长为m,则AB=AD=1,AG=l-m,根据矩

形AGHD与正方形BEFG面积相等列出关于m的方程，解方程求出m,即可求得结论.

14.【答案】（1）解：点F为所求

（2）解：点G即为所求

AF\D

【解析】【解答】（1）解：如图1,连接AC,BD交于的0,作直线0E交AD于点F,贝!点F即为

所求；

理由：•・•四边形ABCD是正方形，

AADZJCB,OA=OB=OC=OD,

...点。在BC的垂直平分线上，

VBE=CE,

・••点E在BC的垂直平分线上，

•••0E1BC,

AOE：AD,

V0A=0D,

・••点F为AD边的中点；

（2）解：如图，设直线OE交BC于点H,连接CF,DH交于点M,连接EM,并延长EM交CD

于点G,则点G即为所求.

F\D

理由：由(1)得：LDFH=CFHC=EDCH=90°,AF=2AD=/BC=BH,

・•・四边形CDFH是矩形，

，FM=CM=HG=DM,

VOA=OB,

ARtaAOFDRtDBOH(HL),

AOF=OH,

AOM为L1CFH的中位线，

AOMDCH,即MGDCH,

.DG_DM_.

^CG=HM=lf

即点G为CD边的中点.

【分析】(1)连接AC,BD交于的O,作直线OE交AD于点F,根据正方形的性质可得点O在

BC的垂直平分线上，再根据BE=CE,可得OE匚BC,从而得到OE匚AD,即可求解；

(2)设直线OE交BC于点H,连接CF,DH交于点M,连接EM,并延长EM交CD于点G,先

证明四边形CDFH是矩形，可得FM=CM=HG=DM,再根据Rt匚AOFDRt匚ROH,可得OM为nCFH

的中位线，从而得到MGZJCH再由平行线分线段成比例，即可求解.

15.【答案】(1)证明：•・•四边形ABCO是菱形，

,\AB=AD»Z.ABD=Z.ADB»

;BE=DF,

A△ABE=^ADF(SAS),

：.^BAE=乙DAF

(2)解：图2中等于线段OE的旧倍的四条线段分别是/。、C。、AG.DG.

【解析】【解答］解：(2)-：LABE=^ADF(SAS),

：.AE=AFf

V.4F1BA,

.•・△AB/是直角三角形，

•・•点E为BF的中点，

：.AE=EF=BE,

：.AE=EF=AF,

•MAEF是等边三角形，

：.LEAF=^AFE=60°,

•・•四边形/BCD是菱形，

A.4C1BD,AO=CO,

-'•LEAO=乙FAO=\/-EAF=30%

：,AE=2OE,

・；4O=y/AE2-OE2=V（2OFi2-OE2=WOE,

:・CO=AO=V3OE,

A.4F=BE=DF,

A^FAD=ZLADF=^AFE=30°，

•••四边形A8C0是菱形，

：.LADC=2/.ADF=60°,AD=CD,

•••△ACO是等边三角形，

•'.AC—DC,AD-AC—2AO,

XV4F=DF,

，CG垂直平分40,

：,AD=2AG=2OG,

・'•AG=DG=AO=WOE,

综上可知，图2中等于线段OE的K倍的四条线段分别是/。、co.AG.DG.

【分析】（1）由菱形的性质并结合」知条件用边角边可证匚ABEIDADF,然后根据全等三角形的性

质可求解；

（2）由（1）中的全等三角形并结合已知易证三角形ABF是直角三角形、三角形ACD是等边三角

形，可得DEAFRAFE=60。，由菱形的性质用勾股定理求出AO的值，易得

□DAF=OADF=1[AFE=30°,在等边三角形ACD中，由等边三角形的性质可求解.

16.【答案】（1）证明：•・•四边形力BCO是菱形，

A.4D||BC,AD=力8,

*：AE=AF,

：.AB-AF=AD-AE,即BF=OE,

*：AE=AF,

C.LAEF=Z.AFE.Z-AEF=/-EGB.

'：CAPE=（BFG,

二（BFG=乙BGF,

:・BG=BF,

-'.DE=BG,

・•・四边形EG80是平行四边形；

（2）解：长为线段FB长2倍的线段有48、BC、CD、AD.

【解析】【解答】解：（2）•・•四边形EG8D是平行四边形，・・・G8=0E,

*：GB=AE,

：.AE=DE,

•:BG=BF,

••・BG=BF=AF=AE=DE=^AB=^AD=^CD=/c，

乙乙乙乙

，长为线段长2倍的线段有48、BC、CD、AD.

【分析】（1）由菱形的性质和线段的构成可得BG=DE,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四

边形可求解；

（2）由平行四边形的性质并结合已知，根据线段的构成可得

BG=BF=AF=AE=DE=1AB=1AD=1CD=1BC,即长为线段长2倍的线段有力B、BC、CD、AD.

乙乙乙乙

17.【答案】（1）证明：•・•四边形ABCD是矩形，

=CD,AD=BC,LMAB=Z.C=90°,

VM.N分别是AD、BC的中点，：.AM=CN,

：.△MBA=△NDC（SAS）,：,BM=DN

（2）解：四边形MPNQ是菱形，理由如下：

如图，连接MN,则四边形ABNM是矩形，

TP是BM的中点，:・MP=PB=PN,

同理可得MQ=DQ=NQ,

•:BM=DN,:.MP=PN=MQ=NQ,

・•・四边形MPNQ是菱形.

（3）解：当力0=2AB时，四边形MPNQ是正方形，理由如下：

如图：连接PQ、AP.

由（2）可知，四边形MPNQ是菱形，：.PQ工MN,

V4DIMN,：,PQ||AD,

VP.Q分别是AN、DN的中点，・・.AD=2PQ,

V.4D=2AB,:.PQ=AB,

•:MN=AB,・・・MN=PQ,・••菱形MPNQ是正方形.

【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质得到4B=CD,AD=BC,^MAB=zC=90°,进而运用三

角形全等的判定（SAS）与性质证明△MBAwaNOC（SAS）即可求解；

（2）连接MN,则四边形ABNM是矩形，先根据中点即可得到MP=PB=PN,同理可得MQ=

DQ=NQ,再结合菱形的判定即可求解；

（3）连接PQ、AP,先根据菱形的性质得到PQ1MN,进而根据平行线的判定得到PQIMD,再根

据题意运用正方形的判定即可求解。

18.【答案】（1）证明：•・,四边形4BCD是矩形

•••AD||CF

Z-DAC=乙BCA

是对角线AC的中点

OA=OC

又；Z.AOE=乙COF

AOE=△COF(ASA)

AE=CF

又；AE||CF

・•・四边形AF"是平行四边形

乂：AF=AE

是菱形

(2)解：•・•四边形ABC。是矩形

乙B=90°

在RM48C中，

AB=6,BC=8，

AC=^AB2+BC2=10

-%OA=OC=^AC=5.

•••四边形4FCE是菱形

CF=AFfEF1AC,EF=2OF

Z-COF=90°

令CF=AF=x,则8尸=8—x

在Rt△48”中，

•••AB2+BF2=AF2,:.62+(8-x)2=%2

解得久=孕，即。5=孕

44

r—-------15

OF=y/FC2