【提升版】北师大版九年级数学上册 矩形的性质与判定 同步练习（含解析）

【提升版】北师大版数学九上1.2矩形的性质与判定同步练习

一、选择题

1.如图，点E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.下列三种说法:

①.四边形EFGH一定是平行四边形；

②.若AC=BD,则四边形EFGH是菱形;

③.若ACJ_BD,则四边形EFGH是矩形.

其中正确的是（）

A.①B.①②C.①③D.①②③

2.如图，已知四边形A8C。是平行四边形,下列结论中不正确的是（）

B.当力CJ.80时，它是菱形

D.当乙48c=90。时，它是矩形

3.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（）

4.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E,AD=8,AB=4,

则DE的长为（）

c,

BC

A.3B.4C.5D.6

5.如图，已知团A8C0的四个内角的平分线分别交于点E、F、G、H,则四边形的形状是

（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

6.如图，在RSABC中，ZACB=90°,点E,点尸分别是AC,8c的中点，。是斜边AB上一点,

添加下列条件可以使四边形DECT7成为矩形的是（）

C

AA^\B

ADb

A.AD=BDB./ACD=/BCD

C.CDA.ABD.CD=AC

7.如图，在△ABC中，AB=3,ACM,BC=5,P为边BC上一动点,.PE1.AB于E,PF_LAC于

F,M为EF中点，则AM的最小值为（）

BpC

A.*B.|C.|D.|

8.如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AD=2V5,ZCOB=60°,BF1AC,交AC

于点M,交CD于点F,延长FO交AB于点E,则下列结论：①FO=FC；②四边形EBFD是菱

形；@AOBE^ACBF；④MB=3.其中结论正确的序号是（:)

A.②③④B.①②③C.①④D.①②③④

二、填空题

9.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=6,则BC的长

10.如图，矩形ABCD中，AB=6.BC=8.E是BC边上的一定点，P是CD边卜的一动点（不与点

C、D重合），M,N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a,在点P运动过程中，a不断变化,

则a的取值范围是

11.如图，在矩形4BC0中，4/）=8,AB=6,对角线AC、BO相交于点石，将△/WE沿着0E翻折到

△FDE,连接CF,则CF的长为.

12.如图，小刘同学在折叠矩形A8CO中发现，当七是4。边的中点时候，将AABE沿6E折叠后得

到AG8E,延长8G,交CD于点F.若连接ER则△EGE丝△EORCF=7,DF=9,请你帮她算

8c的长

D

F

C

13.如图，在矩形48。。中，AB=1,BC=2,将其折叠，使力B边落在对角线4c上，得到折痕4E,

则点E到点B的距离为.

三、解答题

14.如图，过菱形48C0的顶点A作AEJ.8C于点£延长BC至点F,使CT=8E,连接OF.

(1)求证：四边形4EF0是矩形；

(2)若8尸=16,。尸=8,求CO的长.

15.如图，矩形AEBO的对角线.48,0E交于点F,延长4。到点C,使0C=。4,延长8。到点。，使

00=0B,连接A。，DC,BC.

(1)求证：四边形4BCD是菱形；

(2)若OE=10,乙BCD=60°,求菱形48C。的面积.

16.如图，已知矩形ABCD,AD=4,CD=10,P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD

的中点.

pB

(1)求证：四边形PMEN是平行四边形；

(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；

(3)四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由.

17.如图，将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG,点E在AD上，延长DA交GF于点H.

(1)求证：△ABE^AFEH：

(2)连接BH,若NEBC=30。，求NABH的度数.

四、实践探究题

18.综合与实践

问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解

答各小组活动中产生的问题.如图所示，在矩形48CD中，AB=4cm,40=8cm,将矩形纸片进行

折叠:

图2

(1)问题解决:如图1,奋斗小组将该矩形沿对角线AC折叠,点8的对应点为点8',则DE=

cmL2\

皿S„AEC=.

(2)实践探究：如图2,希望小组将矩形ABC。沿着EF(点、E,产分别在边40，边BC上)所在的

有线折叠，点B的对应点为点D,连接BE,

①试判断四边形BEDF的形状，并说明理由;

②求折痕EF的长.

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：•・•点E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，

111

：・EH||BD,GF||BD,EF||AC^EH甘BD,GF=.BD,EF^AC,

乙乙乙

•••EH||GF,EH=GF,

，四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；

若AC=BD,则EF=EH,

・•・平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意；

若ACJ_BD,则EF_LEH,

・•・平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意；

故答案为：D.

【分析】由题意可得GH为△ACD的中位线，EF为△ABC的中位线，EH为△ABD的中位线，GF

为ABCD的中位线，则EH〃GF〃BD,HG〃EF〃AC,EH=GF=1BD,HG=EF=|AC,然后根据有

一组对边平行旦相等的四边形是平行四边形可得四边形EFGH一定是平行四边形；根据有一组邻边

相等的平行四边形是菱形；有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此即可一一判断得出答案.

2.【答案】C

【廨析】【解答】解：A、•・,四边形ABCD为平行四边形，，当AB二BC时，平行四边形ABCD为菱

形，A选项正确；

B、•・,四边形ABCD为平行四边形，，当AC_LBD时，平行四边形ABCD为菱形，B选项正确；

C、•・,四边形ABCD为平行四边形，，当AC=BD时，平行四边形ABCD为矩形，C选项错误；

D、・・♦四边形ABCD为平行四边形，，当NABC=90。时，平行四边形ABCD为矩形，D选项正确：

故答案为：C.

【分析】根据题意，山平行四边形的性质、菱形和矩形的判定定理判断得到答案即可。

3.【答案】A

【释析】【解答】解：A、・・・4O=BC=4,AB=CD=3,

，四边形48CD是平行四边形，

但不能说明四边形48co为矩形，故该选项符合题意；

B、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意；

C、VZ71+ZF=90°+90°=180°,

A.4D||BC,又4。=BC=4,

•・・四边形力BCD是平行四边形，

•:乙B=90°,

・•・四边形4BCD是矩形，故该选项不符合题意；

D、;AD=BC=4,AB=CD=3,

・•・四边形48CD是平行四边形，

V32+42=52，

•••△ABC是直角三角形，且乙8二90。，

•・•四边形4BCD是矩形，故该选项不符合题意；

故答案为：A.

【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩

形”即可求解.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：・・•四边形ABCD是矩形，

AAB=CD,ZC=ZA=90°

由折叠的性质可得：C'D=CD=AB；ZC'=ZC=ZA

在AABE^AC'ED中

(CD=AB

乙CEO=AAEB

(乙C=Z71

/.△ABE丝ZXC'ED(AAS)

••・DE二BE

设DE二BE二x,则AE=8-x,ABM,在直角三角形ABE中，

x2=(8-X)2+16

解得x=5

故答案为：C.

【分析】由矩形性质得AB=CD,ZC=ZA=90°,利用折叠的性质得CD=CD=AB,ZC'=ZC=ZA：

再利用AAS证明△ABE且/XCED,利用全等三角形的对应边相等，可证得DE=BE,设DE=BE二x,

可表示出AE的长，然后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是平行四边形

・・・AB〃CD

：,LABC+^BCD=180°

•・・BH平分/ABC,CF平分/BCD

:•乙CBG=，乙48C,乙BCG=建BCD

乙乙

J.LFGH=180°-QCBG+乙BCG)

1

=180°-5{/.ABC+乙BCD)=90°

乙

同理可得：乙EFG=乙FEH=乙EHG=90°

・•・四边形EFGH是矩形

故答案为：B

【分析】根据平行四边形性质可得乙48。+乙8。。=180。，再根据角平分线性质可得乙CRG=

上4BC,乙BCG=g^BCD,再根据三角形内角和定理可得“GH=180。-QC8G+/8CG)=90。,

乙乙

同理可得4EFG=乙FEH=乙EKG=90°,即可求出答案.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：A.添加AD=BD,

,・,点E,点F分别是AC、BC的中点，AD=BD,

AED//BC,DF//AC,

・•・四边形DECF是平行四边形，

VZACB=90°,

・•・四边形DECF是矩形，

，选项A符合题意；

B.由/ACD=/BCD无法判断四边形DECF是矩形，

••・该选项不符合题意；

C.由CD_LAB无法判断四边形DECF是矩形，

・・・该选项不符合题意；

D：由CD二AC无法判断四边形DECF是矩形，

J该选项不符合题意；

故答案为：A.

【分析】根据平行四边形的判定与性质以及矩形的判定方法对每个选项逐一判断即可。

7.【答案】D

【解析】【解答】解:,・,在4ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,

AAB2+AC2=BC2,

即NBAG90。.

又・・・PE_LAB于E,PF_LAC于F,

・•・四边形AEPF是矩形，

AEF=AP.

是EF的中点，

AAM=1EF=1AP.

因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于半,

AAM的最小值是|.

故选D.

【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明NBAO90。；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半，则AM=4EF,要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩

形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF二AP,则EF的最小值即为AP的最小

值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：・・•四边形ABCD是矩形，

AAC=BD,

.\OA=OC=OD=OB,

■:乙COB=60°,

•••△OBC是等边三角形，

：・OB=BC=OC/OBC=60°,

*：BFLAC,

：・OM=MC,

・・・FM是OC的垂直平分线，

AFt?=FC,故①正确；

'：0B=CB,FO=FC,FB=FB,

，AOBF=ACBF(SSS),

"FOB=Z-FCB=90。，

9：LOBC=60°,

乙ABO=30°,

乙OBM=乙CBM=30°,

Z-ABO=Z-OBF,

||CD,

：.LOCF=Z-OAE,

'：OA=OC/AOE=乙FOC,

：.(\AOE=^COF(ASA\

OE=OF,

•：OB1EF,

・•・四边形EBFD是菱形，故②正确；

,：LOBE=^OBF=^CBF,

，③正确；

,:BC=AD=2百，FM1OC,LCBM=30°

：.BM=3

故答案为：D.

【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定得出^OBC是等边三角形，进而判断①正确；根据

ASA证明△AOE与ACOF全等，进而判断②正确：根据全等三角形的性质判断③④正确即可.

9.【答案】2V3

【解析】【解答】解：•・•四边形AECF是菱形,

AOA=OC,

,・•折叠,

ABC=OC=OA,

•・•四边形ABCD是矩形，

AZABC=90°,

在RtZkABC中，BC=0C,

AZBAC=30°,

・・BC—遮，

VAB=6,

ABC=2\[3.

故答案为：2g.

【分析】根据菱形的性质和折叠得BC=OC=3A,从而在RtAABC中，BC=，C,得NBAC=3（尸,

乙

根据含30。角的直角三角形的三边关系即可求解.

10.【答案】4<a<5

【解析】【解答】解：•・•矩形ABCD中，AB=6,BC=8,

・•・对角线AC=,62+82=1。，

•・・P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），

•••3VAPV10,

连接AP,

VM,N分别是AE、PE的中点，

・・・\11\1是4AEP的中位线，

AMNAP

=乙1,

A4<a<5.

故答案为：4<a<5.

【分析】根据矩形的性质求出AC,然后求出AP的取值范围，再根据三角形的中位线平行于第三边

并且等于第三边的一半可得MN=1AP.

11.【答案】卷

【解析】【解答】解：连接AF,AF交BD于点G,

根据折叠的性质可得，BD垂直平分AF,

•・•四边形ABCD为矩形，

AAC=BD,AE=CE,

AEG为△ACF的中位线，

ACF=2EG,

在直角三角形ABD中，由勾股定理得，BD=10,

AAE=BE=5,

设EG为m,则BG为5-m,

/.62-(5-m)2=52-m2,

・,・m3_7

/.CF=2EG=2m=^；

故答案为:,

【分析】连接AF,由折叠的性质即可证明EG为4ACF的中位线，结合勾股定理列出方程求解即

可。

12.【答案】24

【辞析】【解答】•••四边形ABCD是矩形，点E是AD的中点，CF=7,DF=9,

.-.AD=BC,AB=CD,ZA=ZC=ZD=90°,

11

AAE=DE==《BC,

由折叠的性质可得BG=AB=CD=7+9=16,GE=AE,ZBGE=ZA=90°,

••.GE=DE,ZEGF=ZD=90°,

••.RsECF^RtAEDF(HL),

...GF=DF=9,

...BF=16+9=25,

BC=JBF?-"2=,252-72=24,

【分析】先利用矩形的性质求得AD=BC,AB=CD,ZA=ZC=ZD=90°,进一步得到4E=0E=

//ID=/BC,根据折叠的性质可得BG=AB=CD=16,GE=AE,ZBGE=ZA=90°,进一步可得

GE=DE,ZEGF=ZD=90°,从而证明Rt/kECFMRSEDF(HL),利用全等三角形的性质以及勾股定

理即可求解.

13.【答案】与1

【解析】【解答】解：如图，由折叠知:AF=AB=1,EF=BE,ZAFE=ZB=90°,

.'.ZEFC=90°,

在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,

•*.AC=V12+22=V5，

ACF=AC-AF=V5-1,CE=BC-BE=2-EF,

在RsEFC中，EF2+CF2=CE2,即EF?+(V5-1)2=(2-FE)2,

解得：EF=与1,

ABE=EF=iIzl

2

故答案为：与1.

【分析】由折叠知AF=AB=I,EF=BE./AFE=/B=90°,利用勾股定理求出AC=VI,从而得出

CF=AC-AF=V5-I,CE=BC-BE=2-EF,在RtAEFC中利用勾股定理建立关于EF的方程并解之即可.

14.【答案】(1)证明：•・•菱形4BCD,

：.AD=BC.AD||BC,

：.AD||EF,

VCF=BE,

••・EF=BC=AD,

・•・四边形AEFD是平行四边形，

V.4E1BC,

：.LAEF=90°,

，平行四边形4"。为矩形；

(2)解：・・•菱形4BCD,

:,BC=CD,

•・•矩形力E/7。，

：.LF=90°,

设BC=CD=x,则：CF=BF-BC=16-x,

222

在RMCDF中，CD=CF+DFt

・•・/=(16-x)2+82,

解得：x=10,

：-CD=10.

【解析】【分析】（1）首先根据AOIIEF,可证得四边形4EFD是平行四边形，再根据4E18C,

即可得出平行四边形AEFD为矩形；

（2）设BC=CO=x,贝ij：CF=BF-BC=16-%,在RtACD/中，^CD2=CF2+DF2,即

可得出*2=（16-乃2+82,解方程求解，即可得出CD的长。

15.【答案】（1）证明：:。。=40,DO=B0,

・•・四边形/BCD是平行四边形，

•••四边形/£8。是矩形，

：.LAOB=90°,

：.BDLAC,

・••四边形力BCD是菱形.

（2）解：•・•四边形力BCD是菱形，

：.CD=CB=AB

•:乙BCD=60°

；・ABCD为等边三角形

：.CD=CB=BD=AB

•・•四边形AE80是矩形，

.*.AB=OE=10»

:.BD=CB=10

•・•四边形4BCD是菱形，

:・0B=。0=5,乙BOC=90%

在RtZiBOC中，由勾股定理得：0C=5V3

A.4C=10V3

:,S其形ABCD=.BD=x10x10V3=50V3.

【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分证四边形48co是平行四边形，根据四边形力EB。是矩形可

得BO14C,根据对角线互相垂宜的四边形是菱形求证即可:

（2）根据菱形的性质证为等边三角形，由四边形4EB。是矩形，再运用勾股定理求出AC的

氏度，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可.

16.【答案】（1）解：:M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，/.ME是PC的中位线，NE是PD

的中位线，・・・ME〃PC,EN/7PD,・•・四边形PMEN是平行四边形

（AP=BP

（2）解：当AP=5时，在PAD和RsPBC中，乙4=,，△PADg△PBC,

AD=BC

PD=PC,M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，/.NE=PM=1PD,ME=PN=1PC,Z.

PM=ME=EN=PN,四边形PMEN是菱形

（3）解：四边形PMEN可能是矩形.若四边形PMEN是矩形，则/DPC=90°.设PA=x,PB=10-

22222222

x,DP=,16+7,CP=j16+（10-x）-DP+CP=DC16+x+16+（l（）-x）=10x

-10x+l6=0x=2或x=8.故当AP=2或AP=8时，四边形PMEN是矩形.

【解析】【分析】（l）根据已知易证ME是aPDC的中位线，NE是^PDC的中位线，就可证得

ME〃PC,EN〃PD,再根据前组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可证得结论。

（2）当AP=5时，易证AP=BP,利用全等三角形的判定定理，可证得△PAD/Z\PBC,就可得出

PD=PC,再中点的定义及三角形中位线定理，就可证得PM=ME=EN二PN,然后利用四边相等的四边

形是菱形，即可得证。

（3）根据题意可知四边形PMEN可能是矩形，因此可得出NDPC=90。，设PA=x,可用含x的代数

式表示出PR,利用勾股定理求出DP、CP,建立关于x的方程，求出x的值，就可得出结果。

17.【答案】（1）证明：•・•四边形ABCD是矩形，

・・・AB=DC,ZBAE=ZD=90°,

由旋转性质，得：FE=DC,ZEFH=ZD=90°,

，AB=FE,ZBAE=ZEFH,

在矩形BEFG中，GF〃BE,

/.ZAEB-ZFHE,

在AABEfllAFEH中,

/-AEB=乙FHE

/BAE=4EFH,

AB=FE

ABE^AFEH(AAS),

H

BC

（2）解：・・•四边形是矩形，

，AD〃BC,

/.ZHEB=ZEBC=30°,

ABE=AFEH,

ABE=EH,

.\ZEHB=ZEBH=1（180°-30°）=75°,

乙

VZBAH=90°,

AZABH=90°-ZEHB=15°,即NABH的度数为15°.

【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AB=DC,ZBAE=ZD=90°,再根据旋转的性质可得

FE=DC,ZEFH=ZD=90°,则AB=FE,ZBAE=ZEFH,根据直线平行性质可得/AEB=

ZFHE,再根据全等三角形判定定理即可求出答案.

（2）根据直线平行性质可得NHEB=NEBC=30。，再根据全等三角形性质可得BE=EH,则NEHB

=ZEBH=1（180°-30°）=75。，再根据NABH=90。-NEHB