30、45、60角的三角函数值 同步练习-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版九年级数学下册《1.230。、45。、60。角的三角函数值》

自主学习同步练习题（附答案）

一、单选题

1.下列求三角函数值，正确的是（）

A.sin30°=B.cos30°=-C.sin60°=-D.tan30°=-

2222

2.实数号2n,tan450,-/25,cos60°,sin45°,中无理数的个数有（）个.

A.2B.3C.4D.5

3.&cos60。一sin45。的值等于（）

A.0B.C.V2D.当一1

4.点P（sin3（T,tan45。）关于x轴的对称点为。点Q关于原点的对称点为M,则M的坐标

为（）

A.&T）D.（-pl）C.D.以上答案都不对

5.在Rt△力BC中，ZC=90°,AC=V7,BC=岳,则4B的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D,75°

6.如图，在RtA/lBC中，/.A=90°,点。是边4C上一点，将△48。沿BD翻折后，点A的

对应点上恰好落在3C上，若点E为BC的中点，则sinC=（）

A•三B.1C.当0.1

7.如图所示的网格是正方形网格，和△COE的顶点都是网格线交点，则N/CO的正弦

C.立D.在

23

二、填空题

8.若cos（90。—a）=E，则a=

9.若反比例函数y=:的图象过点(-2,sin300),则k的值为.

10.在△4BC中，(V5tanA-3)2+|2cosB-1|=0,则△ABC为三角形.

11.在等腰△48C中，AB=AC=6,高CO=3,则NB4C=

12.劳动教育是德智体美劳全面发展的主要内容之一，现有一块如图所示的四边形劳动教育

13.如图，在平面直角坐标系中，直线48与x轴交于点A(-28,0),与k轴夹角为30。，将

△48。沿直线48翻折，点。的对应点C恰好落在双曲线y=：(kHO)上，则〃=.

14.△4BC和均为等腰直角三角形，按如图所示的方式放置，△。£1尸的顶点。与4力8。

斜边BC的中点重合，边DE、DF与边48、AC相交于点G,H,若力B=AC=4,乙EDF=45°,

15.计算：

_2

⑴四-2|-6sin450+V18-(丁：

(2)2sin30°+|cos600-1|-4tan45°+

16.先化简，再求值：(1+高)+(胃詈+血一1)，其中m=sin6(T-2

17.如图是一个滑梯示意图，8F是滑梯的支撑杆，四边彩力BCE是矩形.已知。E=2g米,

BC=1米.

(1)若48凡4=60°,则85=米；

(2)若将滑梯8。水平放置，则刚好与DE一样长，求出8D的长.

18.如图，在RtZkABC中，Z.ACB=90°,8和CE分别为边上的高线和中线.

A

⑴若乙"。=24AC。，求tan/ACE的值.

(2)求证：ED2-AD2=-AB2-AC2.

4

19.如图，在AA8C中，AOAB,力D是角平分线，4E是中线，BF1AD于点G,交HE于

点F,交AC于点M,EG的延长线交88于点儿

⑴图中与线段48相等的线段是；

⑵求证：点〃为线段48的中点；

⑶若4847=60。，探究线段/G与DG之间的数量关系，并证明.

20.劳技课上老师让同学们用长方形纸来折等边三角形为主题开展数学活动.

/GD

BHC

图1图2备用图

【操作判断】

（1）步骤一：对折长方形纸片，使力。与BC重合，得到折痕£凡把纸片展平；

步骤二：将48向内折叠，使得点4落在折痕EF上，交EF于点〃，然后将纸张展平，得到第

二条折痕，记为BG；

步骤三：将OG向内折叠与第二道折痕8G重合，然后展开纸张，得第三条折痕，记为GH,

此时GH恰好经过点力’.

请根据以上操作直接写出44GB=。；

【拓展应用】

（2）如图1,若线段长2V5,8c长为6,连接DH,求线段DH的长；

【迁移探究】

（3）如图2,M是线段上的动点，将线段GM绕点〃顺时针旋转60。得到线段MN,连接

HN,CN；在（2）的条件下，请求出点M在运动过程中，当^MN"的周长最小时，线段CN的

长.

参考答案

1.A

【分析】根据特殊角的三角函数值，逐项分析判断即可求解.

【详解】A.sin30°=p故该选项正确，符合题意；

B.cos30°=y,故该选项不正确，不符合题意；

C.sin600=故该选项不正确，不符合题意；

D.tan300=故该选项不正确，不符合题意；

故选:A.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

2.A

【分析】本题主要考查了无理数的定义，特殊角的三角函数值，求一个数的算术平方根，先

求出特殊角的三角函数值，算术平方根，然后再根据无理数的定义即可得出答案.

【详解】解：tan45。=1,V25=5»cos60°=sin45。=亨，

其中无理数有：2TT,sin45°,一共有2个，

故选：A.

3.A

【分析】本题考查特殊角的三角函数值、二次根式减法运算等知识，先计算特殊角的三角函

数值，再由二次根式减法运算求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值、二次根式减法

运算是解决问题的关键.

【详解】解：V2COS60°-sin45°

r-1V2

=^X2"T

=0,

故选：A.

4.B

【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，坐标与图形，解题的关健是熟练掌握特殊角

的三角函数值，求出Pg，。，然后根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，

得出点。的坐标，最后根据原点对称的点横、纵坐标互为相反数，求出M点的坐标即可.

【详解】解：点P(sin30o,tan45。)的坐标为

团点P关于x轴的对称点Q的坐标为(%-1)，

0点。关于原点的对称点股的坐标为(-11)，故B正确.

故选:B.

5.A

【分析】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形边角关系是解题的关键.

先根据正切三角函数的定义求得tanB=铁=冬=4，再根据特殊角的三角函数值求出角

BC<213

度即可.

【详解】解：在RtaABC中，

0ZC=90°,AC=V7,BC=V21,

__/icV7V5

0tanB=—==一,

BCx/213

=30°,

故选：A.

6.D

【分析】根据题意得到0E_L8C,^ABD=^CBD,然后证明出4180=408C=乙。，求出

4c=30。，进而求解即可.

【详解】(3〃=90。，将A4BD沿BD翻折后，点A的对应点E恰好落在BC上，

WE1BC,Z.ABD=Z.CBD,

因点E为8C的中点，

团BE=CE,

团BO=CD,

^\Z-ABD=Z.DBC=Z.C»

0Z4FD+乙CBD+ZC=90°,

团“=30°,

0sinC=sin30°=

2

故选：D.

【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数，折叠的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和

定理等知识，解题的关键是求;I/C=30。.

7.C

【分析】此题考查了勾股定理，求正弦值，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是得

到△ACD是等腰直角三角形.

连接4。，首先证明出△ACD是等腰直角三角形，LADC=90°,得到上ACZ)=45。，然后利

用特殊角的三角函数值求解即可.

【详解】如图所示，连接AO

设正方形网格中每个小正方形的边长为1

0/4D2=12+32=10,CD2=I2+32=10,AC2=22+42=20

团AD=CD,AD2+CD2=AC2

团△力CO是等腰直角三角形，LADC=90°

^LACD=45°

回sinz■力CD=sin45°=—.

2

故选：C.

8.60760g

【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，直接利用特殊角的三角函数值得出答案.

【详解】解：0cos(9O°-a)=y,

团90。-a=30°

Qa=60°,

故答案为：60°.

9.-1

【分析】本题主要考杳了求反比例函数解析式，求特殊角三角函数值，先求出sin3(r=5

再把点(-2,3代入反比例函数解析式中求解即可.

【详解】解：0sin3O°=p

回反比例函数y=：的图象过点（一2,

畤=刍

狄=-1,

故答案为：一1.

10.等边/正

【分析】本题考查了绝对值的非负性，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定，根据特殊

角的三角函数值求出匕力，乙B的值，进而可判断△48C的形状.

【详解】解：0(V3tan>4—3)2+12cos8-1|=0,

0\/3tan/l-3=0,2cosB-1=0,

0tarii4=yj3,cosB=

回乙4=60。"=60°,

国乙C=180°一乙A—乙B=60°,

即ZJ!=4B=Z.C»

团△48。为等边三角形.

故答案为：等边.

11.30或150/150或30

【分析】本题考查特殊角的三角函数值，分情况讨论是解题关键.分锐角三角形和钝角三角

形两种情况，结合三角函数值分析计算.

【详解】解：当2氏4c为锐角时,如图

在R£UCD中，s^BAC=^=\=\

^BAC=30°

当Z8/1C为钝角时,

D

B

=AC=6,高CD=3,

在Rt/kACO中，sin^CAD=^=^=1

团乙乙4。=30°,则484c=150°,

综上,Z.BAC=30。或1500,

故答案为：30或150.

12.625V3

【分析】本题考查了三角形的面积，正弦函数的定理，特殊角的三角函数；过力作/E1BC交

BD于E,过C作C/14。交力。于F,由正弦函数的定义得AE=A8-sin，8,可求出AE的长，

同理可求C"的长，由S四边形.BCD=SA4BC+SMDC即可求解；理解正弦函数的定义"sina=

噂四'，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

斜边

【详解】解：如图，过A作力E18C交BD于E,过C作CF14D交AD于凡

•••AE=AB-sinZ.B

=30-sin60°

二30x整

=15V3,

同理可求CF=10V3,

二S四边形48CD=SAABC+S^ADC

11

=-BC-AE+-AD-CF

22

1l1广

=-x50x15V3+-x50x1073

乙乙

=625V3E),

故答案：625-\/3.

13.-3V3

【分析】本题主要考查了酣折的性质，锐角三角函数，反比例函数的解析式，理解翻折的性

质，求点C的坐标是解答比题的关健.设点C的坐标为a，y),过点C作CO_Lx轴，作CE

轴，由折叠的性质易得乙。48=△。48=30。，AC=A0=2^3,LACB=LAOB=90°,用

锐角三角函数的定义得CO,CE,得点。的坐标，进而得出答案.

【详解】解：设点。的坐标为(％y),过点。作CDlx轴，作CEly轴，

回将△力B。沿直线4?翻折，

^Z-CAB=Z-OAB=30°,AC=AO=273,乙ACB=LAOB=90°,

团CO=y=AC-sin60°=2\/3x—=3,

0Z/1CF=乙DCE=90°,

0ZFCE=/.ACD=30°,

团8c=BO=AO-tan30°=2A/3Xy=2

CE=\x\=BC•cos300=2X—=V3,

2

团点c在第二象限，

团x=-V3,

回点C恰好落在双曲线

0/c=x-y=—V3x3=-3x/3

故答案为：一3vs.

14.-

3

【分析】本题考查二角形面积，角，边等性质，相似二角形判定及性质.根据题意先判定

&GBDFDCH,利用相似三角形性质得袈=瞿，继而得到△AG，，△BDG,△MC的面

HCDC

积，继而得到本题答案.

【详解】解：^sin^AGH=

啜力

团设力"=4x,GH=5x,

团△4BC是等腰直角三角形，

^LBAC=90°,AAGH是直角三角形，

团AG=VG/72-AH2=J（5x）2一（4%）2=3x,

则：BG=AB-AG=4-3x,

WC=AC-AH=4-4x,

团△力BC为等腰直角三角形，

团8C=V42+42=4\/2,LABC=Z.BCA=45°,

0AOEF的顶点。与△ABC斜边BC的中点重合，

配。=DC="C=2左，

2

团480〃是△£），（；的外角，

^Z-BDH=Z.DHC+乙HCD,Z-BDE+乙EDF=乙DHC+/HCD,

^LBDE+45°=乙DHC+45°,

团tBOE=Z.DHC,

0AGBD—△DCH,

喘啮，即：黑=爰

解得：匕=2,x2=

当与=2时，AH=4x=8>AC=4（舍〉,

当%2=决寸,4H=4%=g<<。=4,且4-4x=4—g=g>0,

故X2=:符合题意，

«5

则：AG=3x=1,AH=4x=p

团BG=AB-AG=3tCH=CA-AH=

^AGH=^AG-AH=1，

0ABDG的高k=BG•sinB=3xsin450=—,

2

团S&8DG=2*BD，h1=3>

妨0//C的高九2=HC-sinC=—,

3

国S^DHC=\*°C•电=£

团=S4A8c-S^AGH~S^BGD-S^DHC=9

故答案为：|.

15.⑴一&-2

(2)-1

【分析】(1)根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质及负整数指数累

分别化简，再相加减即可；

(2)把特殊角的三角函数值代入计算，再根据绝对值及立方根性质化简，最后再加减即可；

本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解

题的关键.

【详解】(1)解：原式=2-a一6x4+3或一4

=2-&-3应+3&-4

=—V2—2；

(2)解：原式=2乂；+畛一1|一4乂1+2

1

=1+--4+2

乙

=-1.

2

16.j逗

m+23

【分析】本题主要考杳了分式的化简求值、特殊角的三角函数值.首先根据分式的运算法则

把分式化简可得：原式=白，根据特殊角的三角函数值可知m+2="，把血+2的值整体

m+22

代入化简后的分式中计算即可.

【详解】解；(1I।小1)

\zn+l/\m+1/

/m+11\4m+54-(m-1)(TN4-1)

\m4-1+m+1/m+1

m+24m+5+(m-l)(m+1)

-m+1丁m+1

m+24m+5+m2-1

-m+1°m+1

m+2(m+2产

~m+1^m+1

_m+2m+1

-m+1•(m+2产

=--i-，

m+2

•••m=sin600-2,

,V3近

•••m+o2=--2o+2o=一,

22

团原式=总=爰=专=竽

2

17.(1)4

(2咛米

【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理解三角形和三角函数的知识，掌握以上知识是解

答本题的关键；

(1)根据矩形的性质可得48=2百米，然后通过三角函数的知识即可求解；

(2)通过矩形的性质得到/E=1米，718=26米，然后设8D=DE=x,则1,

在Rt△48。中，通过勾股定理进行计算，即可求解：

【详解】(1)解:由题可得B4_L0E,

^Z.BAF=90°,

因四边形4BCE是矩形，

团4B=CE=2四米，

^BFA=60。

lasinzBFA=sin60°=—=—,

BF2

解得：8F=4米，

故答案为：4：

(2)解：由题意可知：BD=DE,

•••四边形4BCE是矩形，

^AE=BC=1米，AB=CE=2百米，

设BD=DE=x,则/D=x-1,

在Rt△力BD中，AB2+AD2=BD2,

即(2⑹2+(%一1)2=%2,解得，％=¥，

WD=孩米.

18.⑴V5

(2)见解析

【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、特殊角

的三角函数值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键.

(1)先说明乙4c。=30。，再根据高的定义和中线的定义说明为等边三角形，则

AACE=60%最后根据特殊角的三角函数值即可解答；

(2)先根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得AE=DE、EC=：AB,再根据勾股

定理可得EO2=EC2—C/)2、AD2=AC2_CD2f最后杈据等量代换即可证明结论.

【详解】(1)解：^ACB=^ACD+乙BCD=90°,且NBCD=2^ACD,

0ZJ1CD=30°.

团CO为力B边上的高线，

azyl=900-Z-ACD=60c.

又团CE为斜边AB上的中线，

^CE=-AB=AE.

2

团△力CE为等边三角形，

团4力CE=60°,

团tan乙4CE=tan60°=V3.

(2)解：因4ACE为等边三角形，CD为力B边上的高线，

团4E=DE,

13CE为斜边48上的中线,

^EC=-AB.

2

由勾股定理得回=EC?-CD2,AD2=AC2-CD2,

□FD2-AD2=EC2-AC2=1AB2-AC2,即.ED2-AD2=1AB2-AC2.

44

19.(1)AM

(2)见解析；

⑶案。见解析

【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形的

判定及性质，能够合理的作出辅助线，找到三角形全等或相似的条件是关键.

(1)由己知条件可证△A8G三△AMG,则根据全等的性质可得出AM=48；

(2)求出8G=MG,根据三角形中位线的性质求出GEIMC,推出黑=需即可得到答案;

AnCc

(3)延长到P,证出四边形4P8G是平行四边形，根据平行四边形性质得出平行，再根

据平行线分线段成比例得出脂=M，器=登，通过等量代换得到第=署，在RW1BG中，

APEPBPEPDGGA

求出普=tan30。，即可达到答案.

GA

【详解】(1)解：回AD平分乙艮4c

•••Z.BAG=Z.MAG

回BF1AD

Z.AGB=Z-AGM=90°

在和AZIMG中，

Z-BAG=Z-MAG

AG=AG

Z.AGB=乙4GM

AI3G=△AMG

•••AM=AB；

(2)证明：SAAGB三A/1GM,

(3BG=GM,

又BE=EC,

回GE||AC,

团EH||AC,

BHBE

：•一=-=1»

AHCE

WH=HA,即点H为线段48的中点；

埋由如下：延长到P,使GH=HP,连接NP,BP,

团4H=BH,

回四边形HPBG是平行四边形，

^AP=GB,BP=GA,APIIBG,BPIIAG,

回AEFG~AEAP,LEGD~AEPB,

FG_EG_DG_EG

AP~EPfBP~EP

烂=丝,

APBP

也一GB

团4。是角平分线，^BAC=60°,

mZ-BAG=30°,

在RtMBG中,=tan30°=y,

胫=县

DG3

20.(1)60(2)4(3)2

【分析】(1)由折置得乙皿;8=iBGH=zDG，，即可求解；

(2)连接由矩形的性质得4。II8C,Z.A=90°,CD=AB=273,由等边三角形的判

定及特殊角的三角函数得sin乙4GB=sin6(T=翌，求得8G,进而求得HC,由勾股定理得