2023-2025北京高一（上）期末数学汇编：基本不等式

2023-2025北京高一（上）期末数学汇编

基本不等式

一、单选题

1.（2025北京密云高一上期末）设a,〃,cwR,且则（）

A.ac<beB.->:

ab

a+br-r八ba

C.------>&ibD.->-

2ab

2.（2025北京四中高一上期末）若eR,且而>0,则下列不等式中，恒成立的是（）

A.a+b>14abB.2“”+2人”之2

I12

cD-a+b-^b

3.（2025北京朝阳高一上期末）已知不等式（一2/。对任意x>（）恒成立，贝1」加+〃2的最小

值为（）

A.4后-4B.4C.40D.4夜+2

已知正数―满足打士"则…的最小值为，）

4.（2025北京八中高一上期末）

A.2B.3C.4D.5

已知x>0,则x+,-2有（

5.（2024北京密云高一上期末）

x

A.最大值0B.最小值0

C.最大值-4D.最小值T

4

6.（2024北京西城高一上期末）已知x>0,则x-4+一的最小值为（）

x

A.-2B.0C.1D.2拒

..一，UUUIIUU

7.（2024北京西城高一上期末）在AA8C中，已知A8AC=9，sinB=cosA-sinC,SMBC="尸为线段

CACB11

"上的一点,且L寸同叫+］的最小值为（）

7+26D7+3〃厂7+2指1+4出

--------------D.--------------C.---------------JL**

12121212

8.（2023北京丰台高一上期末）已知x>2,则x+一1的最小值是（）

x-2

A.3B.4C.5D.2

3I

9.（2023北京H^一学校高一上期末）已知实数工，满足x>0，）>0,且一+—=1,则x+3y的最小值

%y

为（）

A.8B.10C.12D.14

10.（2023北京西城高一上期末）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已

知仓储中心建造费用C'（单位：力元）与仓储中心到机场的距离s（单位：kin）之间满足的关系为

。二?+2S+2000,则当C最小时，s的值为（）

A.20B.20&C.40D.400

4

11.（2023北京东城高一上期末）已知则。+—+1的最小值为（）

a

A.2B.3C.4D.5

2

12.（2023北京八中高一上期末）已知x>0,则x十一的最小值为（）

x

A.y/2B.2C.2V2D.4

4

13.（2023北京密云高一上期末）已知函数y=x+—-（x>2）,则此函数的最小值等于（）

X—2

A.~^=B.~^=C.4D.6

4x-ly[x-2

14.（2023北京高一上期末）已知实数，且3+/!—二:，则工一丁的最小值是（）

x+21-y6

A.21B.25C.29D.33

二、填空题

A

15.（2025北京顺义高一上期末）已知函数y=x+M+l（x>0）,那么当时，函数了取得最小值

X

且最小值为.

12

16.（2025北京丰台高一上期末）已知正数苍），满足x+2y=2,则个的最大值是,一+一的最小

值是.

9

17.（2025北京延庆高一上期末）已知x<0,贝化=1+2工+-的最大值为,当且仅当工=时，等

x

号成立.

4

18.（2025北京密云高一上期末）已知函数/（X）=X+'7（X>2）,则/*）的最小值等于_____.

x-1

19.（2024北京朝阳高一上期末）若4>1,则工+一、的最小值是___.

x-}

2

20.（2024北京顺义高一上期末）己知函数/（x）=l-x——（x>0）,贝汁当尸时，函数/（x）取到最

X

大值且最大值为.

21.（2024北京石景山高一上期末）已知）,=三彳上（x>0）,则当x=时，y取得最小值为.

22.（2024北京东城高一上期末）设。>0,则。+山的最小值为.

a

23.（2023北京平谷高一上期末）已知某产品总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系

为C=40Q2+160（X）.设年产量为。时的平均成本为/（Q）（单位：元/件），那么/（Q）的最八值

是.

24.（2023北京通州高一上期末）已知f+）,2=],则x+y的最大值为,最小值为

25.（2023北京大兴高一上期末）若直角三角形斜边长等于12,则该直角三角形面积的最大值

为;周长的最大值为.

26.（2023北京怀柔高一上期末）已知x>-l,则x+—三的最小值为.

三、解答题

27.（2023北京石景山高一上期末）有这样一道利用基本不等式求最值的题：

已知a>（）/>（）,且。=1,求y=上I+彳?的最小值.

ab

小明和小华两位同学都“巧妙地用了々+〃=1"，但结果并不相同.

1?1212

小明的解法：由于a+〃=l,所以y=——+1—1=—+—+ci+b~\=ci+—+/?H---1,

ababab

而a+工之2」。，=2,/?+•—>2.//?•—=2\/2.那么y>2+2\/2—1=1+2>/2?则最小值为1+25/2?

aXab\b

小华的解法：由于人=1，所以），=!+£=（_1+：）（。+份=3+2+当，

ababab

而3+1学之3+2国曰=3+2及.则最小值为3+2①

abVab

（1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？

（2）请说明你判断的理由.

参考答案

1.C

【分析】对于A和D,利用作差法排除；对于B,利用不等式性质推理排除；对于C,利用基本不等式可

推理得到.

【详解】对于A,由一次>=c3-Z?）,因。故得双>此，即A错误；

对于B,由力>0两边同除以曲，可得7>>,故B错误；

ba

对于C,因。>0.>>0,则华2，石，当且仅当时取等号，因♦>》，故得缘>而，即C正

22

确；

对于D,由]，="或=（"+"）（"-%因故得故D错误.

abababab

故选：C.

2.B

【分析】AD通过分析a,符号可完成判断；

B由基本不等式可判断选项正误：

C由做差法可判断选项正误.

【详解】对于A,因">0,则a〃同号，但由题不能判断同为正或同为负，

当2人为负数时，。+〃<0<2疝，则A错误；

对于B,2^+2^=-^+^>2^—=2.当且仅当今啧，即a时，取等号，故B正确

对于C,标+从一如空=化二江之（），故C错误；

22

II2

对于D,由A分析，当a,〃为负数时，一+7<。<7玄，则D错误；

abyjab

故迄B

3.A

【分析】根据题意，由不等式恒成立可得〃2>0,且x=，〃是方程/-群-2=0的一个正根，从而可得〃?，〃

的关系，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.

【详解】令y=f-nx-2,其对称轴为x=],

当I=初时，（x-〃。_心_2）=0,

若〃K0,当x>0时，要使不等式（工-〃。12一心一2"0对任意”>0恒成立，

贝I」y=X2-nx-2>0对任意X>（）恒成立，

当工=0时，）=-2<0不满足题意，所以〃?〉（），

且•*•="t是方程x--nx-2=0的一个正根，

2。C

将I=5代入x2一姓一2=0可得w?一〃?〃-2=0,即〃=—---=n;------

mm

2

贝（Jm2+n~=nr+m--

mm

4病：血时,等号成立,

当且仅当2加=时,即

nr〃二o

所以+〃2的最小值为4a-4.

故选：A

4.B

【分析】根据。+力=(。+方+1)(：+《)-1，展开根据基本不等式求解即可.

【详解】由题意，^+Z?=(6/+/?+1)-1=(67+/?++^——j-^-1

=^±1+-£-+|>?p±lx-^-+l=3,当且仅当也=4，即a=2,〃=1时取等号.

ab+\\a%+1a〃+l

故选：B

5.B

【分析】利用基本不等式求最值即可得到结果.

【详解】因为x>。，所以X+L-222、11-2=0,当且仅当］=■!"即X=］时等号成立.

xVxx

故选:B.

6.B

【分析】由基本不等式求得最小值.

【详解】Vx>0,.•.A+--4^2VLXI-4=0,当且仅当x=±即x=2时等号成立.

xVxx

故选:B.

7.D

UllUnun

【分析】由s加8=cos4・s加C化简可求cosC=0即C=90°,再由.人C=9，S〃18C=6可得。cesA=9,

；/?csinA=6可求得c=5,b=3,a=4,考虑建立直角坐标系，由尸为线段4B上的一点，则存在实数人使得

守=/1瓦+(1—2)5=(3/1,4—44)(04/141),由亍=不，同=a为单位向量，可得)=(1,0),

^=(0,1),可得声=«)，),可得K=3/1,)，=4-4尤则由4X+3)，=12,利用基本不等式求解最小值.

【详解】VA3C中设A8=c,BC=a,AC=b

VSinB=COsAsinC»/.sin(/\4-C)=sinCcosA,

即sinAcosC+sinCeosA=sinCeosA,

.•.sinAcosC=0,

•.•sinA/O,/.cosC=0,C=90\

vAB-AC=9>S4Age=6,

:.bccosA=9,-Z?csinA=6,

2

443

tanA=",根据直角三角形可得sinA=w，cosA=-,be=15

JJJ

以AC所在的宜线为x轴，以8c所在的直线为〉，轴建立直角坐标系可得C(0,0),4(3,0),8(。,4),。为直

线48上的一点，

则存在实数力使得。=之珠+(1-，)丽=(34,4-44)(00/1X1),

CACB___

设同|^=’‘则I。|=|s|=1,“=(1,0),e2=(0,1),

/.CP=x+y=(x,0)+(0.y)=(x,y),

|2CA|'\竺CB\'

:.x=3A,y=4-42则4x+3y=12,

1(743)，40、7+4百

—+—=——+—(4x4-3y)=

Xy12卜y)-以xy)12

故所求的最小值为彳号

故选：D.

【点睛】本题为平面向量的综合题，考查解三角形、平面向量数量积、平面向量共线定理、基本不等式的

应用，属于综合题，解题关键在于将三角形中数量关系利用向星:坐标运算进行转换，属于较难题.

8.B

【分析】变形为x+一1=工-2+—二+2,再根据基本不等式即可求解最值.

x-2x-2

【详解】由于x>2,故］一2>0,所以x+——=x-2+—!—+2>2l(A：-2)f——+2=4,

x-2x-2T\x-2J

当且仅当％-2=一1，即x=3时等号成立，故工+一二最小值为4.

x-2x-2

故选：B

9.C

【分析】利用1的妙用，结合基本不等式求解最值即可.

3I

【详解】因为x>(),y>o,且一+—=1,

所以x+3y=(x+3)')—1+-■=—+62+6=12,

I%y)xyYxy

当且仅当曳1=2,即X=6,y=2时取等号，

xy

则x+3y的最小值为12.

故选：C.

10.A

【分析】根据均值不等式求解即可.

1*00

【详解】因为C=?+2s+2000A2।——25+2000=2080,

当且仅当W=2s,即s=20时等号成立,

所以当。最小时，s的值为20.

故选：A

11.D

【分析】利用基本不等式的性质求解即可.

【洋解】因为。>0,所以〃+

4

当且仅当〃=即a=2时等号成立.

4

所以〃+上+1的最小值为5.

a

故选:D

12.C

【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.

【详解】因为x>0,则x+222岸=2应，当且仅当x=2,即x=0时取

xyATX

2

所以x+士的最小值为2&.

x

故选：C

13.D

4

【分析】将函数配凑为、="-2+方+2'利用基本不等式可求得结果.

【详解】•/x>2,.\x-2>0,

:.y=x+—=x-2+—+2>lJ（x-2V—+2=6（当且仅当x—2=-^-,即x=4时取等号）,

x-2x-2Y'7x-2x2

4,

.,.y=x+—-(x>2)的最小值为6.

x-2

故选：D.

14.A

【分析】根据基本不等式即可求解.

【详解】Vx>O>y,等式一二-/匚=?恒成立，

x+21-y6

IC\\\

._(x_J+3)=(x+2+1_^—+_

由于x>O>y,所以l-y>0,2+x>0

・・11Y、，\、x+21-、lx+21-v

・+(x+2+l-y)=2++-->2+21-------------=44,

[x+2l-yjv7\-yx+2\\-yx+2

当且仅当x+2=l-y时，即x=10,)，=Tl时取等号.

••・!(x—y+3)之4,.\x-y>2],故人一丁的最小彳直为21.

6

故选：A

15.25

【分析】应用基本不等式计算最小值及根据取等条件求x的值.

【详解】因为工>0，

所以函数y=x+±+122/xx-+l=5,

xVx

4

当且仅当x=即x=2时取最小值5.

x

故答案为:2；5.

19

16.-/0.5-

24

【分析】由基本不等式直接进行求解，得到与小；，再变形得到工+2()，+1)=4,利用基本不等式“1”的妙

用求出最小值.

【详解】正数MV满足x+2y=2,由基本不等式得x+2)，N2后，

即222后，解得孙当且仅当x=2y,即x=l,y=；时，等号成立，

x+2y=2f故x+2(y+l)=4,所以=；^+-^Y-^+2(y+l)]

/\Iz\

12(V+1^!12(1^!9

\-742J\/5

-+2A-+->,X++--

4|>4V4

X7V+

当且仅当生⑴==，即工=3)，=!时，等号成立,

XyI133

I9Q

故一+—7的最小值为:

Xy+l4

故答案为：；1g

24

17.-3-1

【分析】利用基本不等式可得何时取何最大值.

9

【详解】y=l+2x+-=l-2(-X+——<l-2x2=-3,

xL㈠)」

当且仅当(rf=I即x=-\时等号成立，

2

故y=l+2x+-的最大值为-3,此时x=T,

x

故答案为：一3,-1.

18.5

【分析】凑项利用基本不等式即可求得的最小值.

44

【详解】由/(x)=x+-=x-l+-+1,因x>2,故

x-1x-1

因工-l+/-N2j(x-l>/一=4,当且仅当寸，即火=3时等号成立,

x-1vx-1X-1

即当x=3时，/(X)取得最小值为5.

故答案为：5.

19.3

x+-、=x-l+」7+l,利用基本不等式可得最值.

【分析】

x-\x-\

【详解】Vx>l,

-=x-l+^+l>2J(Z^l)x—!-j-+l=3,

:.x+—

X-

当旦仅当X-1=一1即X=2时取等号，

x-\

•••“=2时x+一1取得最小值3.

x-1

故答案为：3.

20.V21-2>/2/-2>/2+1

【分析】利用均值不等式求解即可.

【详解】因为x>0,

2

所以

当且仅当X时，即1=血时等号成立.

故答案为：>/2;1-2>/2

21.26

【分析】由基本不等式求解即可.

【洋解】因为x>。，->0,所以），2K+4=X+2+LQ+2

XXX\X

4

=4+2=6,当且仅当％=—,即x=2时取等，

x

所以当x=2时，y取得最小值为6.

故答案为：2；6.

22.5

【详解】^+―=«+l+->l+2Af^=5，当且仅当。=2时取等号

aa\a

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑''等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件

要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会

出现错误.

23.1600

【分析】由题意得到年产量为。时的平均成本为/（Q）=[=40Q+3绊，再利用基本不等式求解.

【详解】解：因为某产品总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为C=4002+1600（）.

所以年产量为Q时的平均成本为f（。）=*=40。+工黑>2,40Q.吟&=16（）（）,

当且仅当40。二*“，即Q=20时，/（。）取得最小值，最小值为1600,

故答案为：1600

24.V2-V2

【分析】由f+），2N2xy可推出。+），）/2,即得-夜拉，即可得到最值.

【详解】因为f+y2之2冷，成立，当且仅当'时，等号成立.