2023-2025年浙江中考数学试题分类汇编：图形的性质（解析版）

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专题06图形的性质

考点01平行线的性质与判定

1.（2025•浙江・中考真题）如图所示，直线a,b被直线c所截.若Q||b,乙1=91。，则（）

A.Z2=91°B.Z3=91°C.Z4=91°D.45=91°

【答案】B

【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，结合平角的定义，对顶角相等，求出每人角的度数,

进行判断即可.

【详解】解：・・・a||b,41=91。，

Az3=Z.1=91°,z.4=z5=Z2=180°-zl=89。；

故选B.

2.（2023♦浙江金华•中考真题）如图，已知=42=43=50。，则44的度数是（）

A.120°B.125°C.130°D.135°

【答案】C

【分析】由口1=匚3=50。可得2口忆可得匚2=口5=50。，再利用邻补角的含义可得答案.

【详解】解：如图，标记角，

VDI=D3=50°,

AaDb,而口2=50。，

・••匚2=口5=50°,

・・・口4=180°-D5=130°；

故选C

【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，邻补角的含义，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键.

3.（2023•浙江杭州•中考真题）如图，点分别在△ABC的边上，且。EII8C,点F在线段BC的延长

线上.若，ADE=28°,^ACF=118°,则/A=.

【分析】首先根据平行线的性质得到匚B=匚ADE=28。，然后根据三角形外角的性质求解即可.

【详解】VDEOBC,匚ADE=28°,

/.EB=DADE=28。,

V□ACF=118°,

/.□A=DACF-OB=118°-28°=90°.

故答案为：90°.

【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

考点02三角形的性质

1.（2023・浙江衢州•中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角4。的大小,

需将乙。转化为与它相等的角，则图中与乙。相等的角是（）

A.Z-BEAB.乙DEBC.Z.ECAD.Z.ADO

【答案】B

【分析】根据直角三角形的性质可知：[O与匚ADO互余，DDEB与.ADO互余，根据同角的余角相等可得

结论.

【详解】由于意图可知：ZiDOA和ADBE都是直角三角形，

口。+□ADO=90。，DDEB+[ADO=90°,

:.CDEB=DO,

故选：B.

【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键.

2.（2023•浙江金华・中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长6cm,8cm的两条线段围成一个三角形的

是（）

A.1cmB.2cmC.13cmD.14cm

【答案】C

【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可.

【详解】解:设第三边长度为xcm,

则第三边的取值范围是2<x<14,

只有选项C符合，

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形三边的关系，能熟练求出求出第三边的取值范围是本题的关键.

3.（2023•浙江・中考真题）如图，点。是的重心，点。是边AC的中点，PE||4。交8。于点£OF||夙?

交EP于点F,若四边形CDFE的面积为6,则△ABC的面积为（）

【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解

题的关键.

4.(2023•浙江台州•中考真题)如图，锐角三角形ABC中,AB=AC,点D,4分别在边AB,AC上,连接BE,

CD.下列命题中，假命熟是().

A.若CD=BE,则NDC8="BCB.若乙DCB=^EBC,fflCD=BE

C.若BD=CE,MzDCfi=Z.EBCD.若乙DCB=cEBC,则8。=CE

【答案】A

【分析】由AB=AC,可得ZIABC=[ACB,再由CD=BE,BC=CB,由SSA无法证明△BCD与△CBE全

等，从而无法得至lJ「DCB=EBC；证明△ABEACD可得CD=BE；证明△ABE=△ACD,可得ACD=

ABE,即可证明；证明△DBCMZ\ECB(ASA),即可得出结论.

【详解】解：・.・AB=AC,

/.CABC=EACB,

•・,若CD=BE,

又BC=CB,

・・・么BCD与△CBE满足“SSA”的关系，无法证明全等，

因此无法得出匚DCB=DEBC,故A是假命题，

•・,若二DCB=DEBC,

A□ACD=CABE,

在以ABE和△ACD中，

□ACD=DABE

AB=AC,

□A=DA

ABE^AACD(ASA),

ACD=BE,故B是真命题；

若BD=CE,则AD=AE,

在么ABE和△ACD中，

AB=AC

□A=DA，

AE=AD

.*.△ABE^AACD(SAS),

/.□ACD=CABE,

VCABC=CACB,

ACDCB=CEBC,故C是真命题；

若「DCB=DEBC,则在ADBC和AECB中,

(EABC=CACB

BC=BC，

(LDCB=DEBC

.\ADBC=AECB(ASA),

.\BD=CE,故D是直命撅：

故选：A.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫

真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理.

5.(2024・浙江・中考真题)如图，。上分别是2\48。边?18,力。的中点，连接8£。£若〃£。=LBEC,DE=2,

则8E的长为

【答案】4

【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得DECBC,BC=2DE=

4,得出DC=DAED=DBEC,得出BE=BC=4

【详解】解：：D,E分别是ZkABC边AB,AC的中点，

・・・DE是△ABC的中位线，

ADE：BC,BC=2DE=4,

AOAED=EC,

VDAED=匚BEC,

ADC=匚BEC,

・・・BE=BC=4,

故答案为：4

6.（2023•浙江金华・中考真题）如图，把两根钢条040B的一个端点连在一起，点C,。分别是。4。8的

中点.若CO=4cm,则该工件内槽宽力8的长为cm.

【答案】8

【分析】利用三角形中位线定理即可求解.

【详解】解：•・•点C,D分别是OA,0B的中点，

ACD=|AB,

AB=2CD=8（cm）,

故答案为：8.

【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握“三角形的中位线是第三边的•半”是解题的关键.

7.（2023•浙江・中考真题）如图，在△48C中，AC的垂直平分线交8C于点0,交力。于点E,乙B=iADB.若

AB=4f则0C的长是.

【答案】4

【分析】由匚B=E1ADB可得AD=AB=4,由DE是AC的垂直平分线可得AD=DC,从而可得DC=AB=4.

【详解】解：•・•匚B=1ADB,

AD=AB=4,

〈DE是AC的垂直平分线,

AAD=DC,

ADC=AB=4.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的

关键.

8.(2023•浙江台州•中考真题)如图，点C,。在线段力8上(点C在点A,。之间)，分别以AD,BC为边向

同侧作等边三角形40E与等边三角形边长分别为mb.CF与DE交于点、H,延长BF交于点、G,AG

长为c

(1)若四边形EH尸G的周长与△CDH的周长相等，则a,b,。之间的等量关系为.

(2)若四边形EHFG的面积与△CD"的面积相等，则内江c•之间的等量关系为.

【答案】5a+5b=7ca2+b2=c2

【分析】由题意可得：4ABG为等边三角形，四边形EHFG为平行四边形，AB=AG=c,(1)分别求得

四边形EHFG的周长与ACDH的周长，根据题意，求解即可；(2)分别求得四边形EHFG的面积与ACDH的

面积，根据题意，求解即可.

【详解】解：等边三角形ADE与等边三角形CBF中，「〕A=CB=UEDA=DHCD=60。，

・・・ZiCDH和△ABG为等边三角形，CFDAG,EDZIBG

AAB=AG=BG=c,四边形EHFG为平行四边形，

又:•等边三角形ADE与等边三角形CBF

.*.GF=c—b,EG=c—a,AC=c-b,

/.CD=AD—AC=a+b—c,

(1)平行四边形EHFG的周长为：2(FG+EG)=2(c-b+c-a)=4c-2a-2b,

△CDH的周长为：3CD=3a+3b-3c

由题意可得：3a+3b—3c=4c—2a—2b

即:5a+5b=7c；

(2)过点F作FM1EG,过点H作HNJLCD,如下图:

在RlZiFMG中，GF=c-b,匚GMF=90。，G=60。,

:.MF=GFxsin60°=小言

则平行四边形EHFG的面积为EGxMF=、,熊-？…)

在RtaCNH中，CH=a+b-c,rCNH=90°,OHCN=60°,

V3(a+b-c)

・•・HN=CHxsin60°=

2

则ACDH的面积为：:xCDxHN=%g

24

由题意可得：=®c：）（c-b）

42

化简可得：a2+b2=c2

故答案为；5a+5b=7c；a2+b2=c2

【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是

熟练掌握并灵活利用等边三角形的性质求得对应线段的长度.

9.（2025•浙江・中考真题）如图，在△力BC中，=点。在边48上，以点。为圆心，。8长为半径的

半圆，交BC于点。，与力C相切于点E,连接OZZOE

C

（1）求证：。。1OE.

（2）若4B=BC,CB=V3,求四边形ODCE的面积.

【答案】（1）见解析

(2)3+y

【分析】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知

识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键.

（1）根据等边对等角导角得到ODIIAC,再结合圆的切线性质得到DDOE=DAEO=90。，即可证明垂直;

（2）先得到△ABC是等边三角形，则E]A=60。，解Rt△AOE求出AO,AE,根据AE+EC=AO+OB,求

出EC,再由梯形面积公式求解.

【详解】（1）证明：由题意得OD=OB=OE,

.CODB=CB,

*AB=AC,

・C=B,

•CODB=DC

.ODIIAC,

•以点O为圆心，OB长为半径的半圆与AC相切于点E,

.OE1AC,

.匚DOE=DAEO=90°,

.OD1OE；

(2)解：VAB=BC,AB=AC,

.AB=AC=BC,

・AABC是等边三角形,

.LA=60°,

*OE1AC,OD=OB=OE=V5,

6]ACOE6>

.AE=—=A°=k^=2,

tanA

.AC=AB=AO+OB=24-V3,

.EC=AC-AE=2+V3-1=1+\/3,

・科边形ODCE的面积为：；(OD4-EC)xOE=；(1+V3+V3)xV3=3+

考点03勾股定理

1.（2024•浙江•中考真题）如图，正方形45。。由四个全等的直角三角形（△48£公8。2公。。64。4”）和中

间一个小正方形EFGH组成，连接DE.若力£=4,BE=3,则。E=()

A.5B.2>/6C.V17D.4

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质，求得HE的长度，利用勾股定理即可解

答，利用全等三角形的性质得到HE=1是解题的关键.

【详解】解：•・•△ABE,△BCFACDG,ADAH是四个全等的直角三角形，AE=4,BE=3

•••AH=EB,DH=AE=4,

：•HE=AE-AH=1,

•••匹边形EFGH为止方形,

DHE=90°,

ADE=>/DH2+HE2=717,

故选：c.

2.(2023・浙江绍兴・中考真题)如图，在纸片中，"=90。/8=60。，点0,E分别在边4sAe上,

且将△%/)£•沿OE折叠，使点A落在边BC上的点尸处，则8D:CE=()

C.275:3D.4:3

【答案】D

【分析】本题考查勾股定理与折叠，30c直角三角形的性质，由折叠可得EiFED=DAED=75。，AD=AE=

EF,即可得到FEC=30。，再分别在Rt△ABC和Rt△EFC利用30。直角三角形的性质和勾股定理求解即可.

【详解】解：•・•匚C=90。,[B=6()。,

ACA=30°,

AAB=2BC,AC=VAB2-BC2=V3BC,

AAB=—AC,

*AD=AE,

A。一山\

.•.[ADrxEc=□nAAEcDn=——180--=75°0,

•・•将△ADE沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，

ACFED=EAED=75°,AD=AE=EF,

・••匚FEC=1800-DFED-CAED=30°,

・・・EF=2FC,EC=VEF2-FC2=V3FC,

AAD=AE=EF=2FC,

/.AC=AE+EC=（2+V5）FC,

AAB=竽AC=苧x（2+V3）FC=^FC,

ABD=AB-AD=-2FC=竽FC,

・•・BD:CE=竿FC:V3FC=4:3,

故选：D.

3.（2023•浙江绍兴•中考真题）如图，△ACD中，AD=VI5,CD=a,BC工AC于点、C,AC=2BC,则8。的

最大值为.

【答案】710

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质.首先过点C作CE_LCD,使CD=2CE,连接AE、DE,利用

勾股定理可求DE=gg,利用两边成比例且夹角相等，可证△BCEZlzxACD,根据相似三角形对应边成比

例可得=当点B、E、D三点共线时BD有最大值可求BD的最大值.

【详解】解：如下图所示，过点（:作CE_LCD,使CD=2CE,连接AE、DE,

B

CD=V2,

V2

••CE=y

・•.DE=VCE2+CD2=J（应I+住j=半

•••CE1CD,

•••OECD=QACB=90°,

:.CBCE=OACD,

V..AC_DC_

乂.正一正一2,

.••△BCE口△ACD,

AD_AC_DC_0

•*,BE=BC=EC=2，

BE=1AD=1VTo,

当点B、E、D三点共线时BD有最大值，BD=BE+DE=4-=710.

故答案为：/io.

4.（2023•浙江湖州•中考真题）如图，在aABC中，AB=AC,40J.BC于点。，点E为A8的中点，连结

DE.已知8C=10,AD=12,求8D,的长.

【分析】先根据等腰三角形三线合一性质求出BD的长，再根据勾股定理求得AB的长，最后根据条件可知DE

是么ABC的中位线，求得DE的长.

【详解】解，TAB=AC,AD1BC于点D,

・・・BD=；BC.

VBC=10,

ABD=5.

••・ADIBC于点D,

/.CADB=90°,

・••在RtZkABD中，AB2=AD2+BD2.

VAD=12,

AAB=VAD2+BD2=V122+55=13,

•IE为AB的中点，

・・.DE=!AB=*

【点睛】此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与性质、

等腰三角形的性质是解题的关键.

考点04三角形的全等

1.（2023・浙江绍兴・中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC==120°,点。，E都在边BC上,

Z.DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为（）

A.3+V3B.3V3-3C.273-1D.3^3-4

【答案】B

【分析】将△ABD绕点A逆时针旋转120。得到△ACF,取CF的中点G,连接EF、EG,由AB=AC=2遍,

BAC=120°,可得出［B=DACB=30°,根据旋转的性质可得出匚ECG=60。，结合CF=BD=2CE可得

出ACEG为等边三角形，进而得出ACEF为直角三角形，求出BC的长度以及证明全等找出DE=FE,设EC=

x,MBD=CF=2x,DE=FE=6-3x,在Rt△CEF中利用勾股定理可得出EF=JCF?-EC?=V5x,利

用FE=6-3x=VJx,可求出x以及FE的值，此题得解.

【详解】解：将AABD绕点A逆时针旋转120。得到AACF,取CF的中点G,连接EF、EG,如图所示:

VAB=AC=2V3,DBAC=120°,

ABN=CN,UB=ACB=30°.

在BAN中，口8=30。，AB=2V3,

AN=JAB=V3»

ABN=VAB2-AN2=3,

ABC=6.

JACB=CB=t!ACF=30°,

ACECG=60°.

VCF=BD=2CE,

・・・CG=CE,

・・・ACEG为等边三角形，

.\EG=CG=FG,

・••匚EFG=nFEG=；匚CGE=30°,

2

・・・ACEF为直角三角形.

VCBAC=120°,CDAE=60°,

/.CBAD+DCAE=60°,

・••匚FAE=DFAC+nCAE=CBAD+CCAE=60°.

在乙ADE^IAAFE中，

(AD=AF

□DAE=CFAE,

(AE=AE

?.△ADE=AAFE(SAS),

ADE=FE.

设EC=x,则BD=CF=2x,DE=FE=6-3x,

在RtACEF中，LCEF=90°,CF=2x,EC=x,EF=VCF2-EC2=V3x,

.*.6-3x=V3x,

x=3—V5»

ADE=>/3x=3V3-3,

故选:B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，通过勾股定理找出关于x的方程

是解题的关键.

2.（2023•浙江衢州•中考真题）如图，在中，以点人为圆心，适当长为半径画弧，分别交力8,ACT

点D,E.分别以点。，E为圆心，大于竺E长为半径画弧，交于4加。内一点F.连结府并延长，交BC于点

G.连结DG,EG.添加下列条件，不能使8G=CG成立的是（）

A.AB=ACB.AG1BCC.Z-DGB=Z.EGCD.AG=AC

【答案】D

【分析】根据题意可知AG是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出BG=CG即可.

【详解】根据题中所给的作图步骤可知，

AG^AABC的角平分线，即匚BAG=DCAG.

当AB=AC时，XDBAG=CAG,且AG=AG,

所以△ABGACG（SAS）,

所以BG=CG,

故A选项不符合题意.

当AG1BC时，

匚AGB=DAGC=90°,

又BAG=CAG,且AG=AG,

所以△ABG=△ACG(ASA),

所以BG=CG,

故B选项不符合题意.

当二DGB=匚EGC时，

因为HBAG=DCAG,AD=AE,AG=AG,

所以△ADG=△AEG（AAS）,

所以DAGD=[JAGE,

乂[DGB=匚EGC,

所以DAGD+CDGB=CAGE+DEGC,

即」AGB=LAGC.

又二AGB+EAGC=90°,

所以DAGB=DAGC=90°,

则方法同（2）可得出BG=CG,

故C选项不符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键.

3.（2023•浙江•中考真题）如图，在△AOB与△COD中，NA=iC,请添力口一个条件,使得△408三

△COD.

【答案】OA=OC或OB=OD或AB=CD

【分析】根据对顶角相等可得匚AOB=nCOD,再添加边相等，可利用ASA或AAS判定AAOB三ACOD.

【详解】解：•・•在△AOB与aCOD中，DA=OC,DAOB=DCOD,

・•・添力口OA=OC,则△AOB三aCODlASA）；

或添力口OB=OD,则△AOBNZiCOD（AAS）；

或添力口AB=CD,则4AOB=△COD（AAS）；

故答案为：OA=OC（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SASsASA.AAS.

HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一

角对应相等时，角必须是两边的夹角.

4.（2023•浙江衢州•中考真题）己知：如图，在△A8C和^OEF中，B,E,C,F在同一条直线.上.下面四

个条件：®AB=DE；®AC=DFx③BE=C"；®Z,ABC=LDEF.

（1）请选择其中的三个条件，使得△A8C三△DEF（写出一种情况即可）；

（2）；生（1）的条件下，求证：AABC三ADEF.

【答案】（1）①②©或①③④（写出一种情况即可）

（2）见解析

【分析】（I）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可；

（2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可.

【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③：

或者选择的条件为：①③④；

（2）证明：当选择的条件为①@③时，

vBE=CF,

ABE+EC=CF+EC,

即BC=EF,

在么ABC和△DEF中，

（AB=DE

BC=EF,

（AC=DF

.•.△ABC口△DEF（SSS）：

当选择的条件为①③④时，

•••BE=CF,

BE+EC=CF+EC,

即BC=EF,

在以ABCfDADEF中，

AB=DE

□ABC=CDEF,

RC=F.F

.•.△ABCZ]△DEF(SAS).

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键.

考点05平行四边形的性质

1.(2024•浙江•中考真题)如图，在团4BCD中，AC,8。相交于点。，AC=2,BD=2百.过点A作AE1BC

的垂线交BC于点日记8E长为x,8C长为》当K,y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是()

A.x+yB.x-yC.xyD.x24-y2

【答案】C

【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作DF1BC交

BC的延长线于点F,证明△ABE=△DCF(AAS),得到AE=DF,BE=CF=x,由勾股定理可得，AE2=4-

(y-x)2,DF2=12-(y+x)2,«4-(y-x)2=12-(y+x)2,整理后即可得到答案.

【详解】解：过点D作DF_LBC交BC的延长线于点F,

VAE1BC的垂线交BC于点E,

/.□AEB=CDFC=90°,

,/四边形ABCD是平行四边形，

AAB=DC,AB||CD,

ACABE=匚DCF,

/.△ABE=ADCF(AAS)

・・・AE=DF,BE=CF=x,

由勾股定理可得,AE2=AC2-CE2=AC2-(BC-BE)2=4-(y-x)2,

DF2=BD2-BF2=BD2-(BC+CF)2=BD2-(BC+BE)2=12—(y+x)2,

A4-(y-x)2=12-(y+x)2,

A(y+x)2-(y-x)2=8

/.x2+2xy+y2-y2+2xy-x2=8

即4xy=8,解得xy=2,

・••当x,y的值发生变化时，代数式的值不变的是xy,

故选：C

2.(2023•浙江杭州•中考真题)如外平行四边形48CD的对角线力相交于点。，点E,尸在对角线8D上,

且BE=EF=FD,连接4E,EC,CF.FA.

-------------刁口

(1)求证：四边形4EC尸是平行四边形.

(2)若△力BE的面积等于2,求△CF。的面枳.

【答案】(I)见解析

【分析】(1)根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC,OB=OD,结合BE=FD可得OE=OF,即

可证明四边形AECF是平行四边形；

(2)根据等底等高的三角形面积相等可得SAAEF=SAABE=2,再根据平行四边形的性质可得SMTO=

；SiCEF=；SAAEF=；X2=1.

【详解】(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形,

0A=OC,OB=OD,

•••BE=FD,

OB-BE=OD-FD,

OE=OF,

又•••OA=OC,

.••匹边形AECF是平行四边形.

(2)解：•••SAABE=2,BE=EF

SAAEF=S^ABE=2,

•.•匹边形AECF是平行四边形,

S^CFO=2SACEF=2SAAEF=5x2=1.

【点睛】本题考杳平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分.

考点06矩形菱形正方形的性质

1.（2023・浙江绍兴•中考真题）如图，矩形48CD中，AB=2y/S,BC=8.点。是8C边上一动点，点M为

线段8P上一动点.^ADM=^BAP,则8M的最小值为（）.

C.2.4D.g一4

【答案】A

【分析】设AD的中点为O,连接OB,OM,证明[Z]AMD=90。，得出OM=：AD=4,点M在O点为圆心，4

为半径的圆上，利用勾股定理求出0B从而计算出答案.

【详解】解：设AD的中点为0,连接0B,0M,

•••CBAD=90°,AD=BC=8,

BAP+匚MAD=90°,

ADM=：BAP,

MAD+DADM=90°,

AMD=90°,

•••AO=OD=4,

OM=?AD=4,

・••点M在O点为圆心，4为半径的圆O上.

•••OB=7AO2+AB2=J42+（2V5）2=6,

/.BM>OB-OM=2,

•・・BM的最小值为2.

故选：A.

【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，二次根式的性质，I员周角定理等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题.

2.（2023•浙江金华・中考真题）如图，在Rt△力中，^ACB=90°,以其三边为边在力8的同侧作三个正方

形，点尸在GH上，CG与EF交于点P,CM与8E交于点Q.若HF=FG,则警受”的值是（）

S正力彩ABEF

【答案】B

【分析】设HF=FG=a,正方形ACGH的边长为2a,证明tanlHAF=tanGFP,先后求得GP=；a,PC=:a,

BC=a,利用三角形面枳公式求得S^BCQ=ga?，证明Rt△BQC~Rt△BPE,求得S^BEP=S四边形CQEP=

a2,据此求解即可.

【详解】解：：四边形ACGH是正方形，且HF=FG,

设HF=FG=a,则AC=CG=GH=AH=2a,

•・•四边形ABEF是正方形，

/.[AFP=90°,

A[IIAF=90°-DHFA=DGFP.

AtanDHAF=tanGFP,即答=|=J

AGP=；a,

2

・，・PC=2a-；a=：a,

同理tan[HAF=tan二CAB,即普=2=：，

HAAC2

:.BC=a,

同理CQ=

APB=1a,

2

2222

BQ=a+（；a）=^a,SABCQ=xax；a=^a,

VRtABQC-RtABPE,

・SABCQ_/BQ\2_is_I

_

**SABEPVBP/一9_5'

•・•SABEP=5SABCQ=12'

**S四边形CQEP=S^BEP—SABCQ=a+'

2222

•♦.S正方形ABEF=AB2=AC?+BC=（2a）+a=5a,

•班边形PCQE_a2_1

S正方形ABEF5a-5

故选:B.

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是学会利用

参数构建方程解决问题.

3.（2023•浙江宁波・中考真题）如图，以钝角三角形48c的最长边8C为边向外作矩形8CDE,连结

设4力EO,△4BE,△4CD的面积分别为S,Si，S2，若要求出S—S】一S2的值，只需知道（）

A.4力鸟/的面积B.AACD的面积C.△4BC的面积D.矩形8CDE的面积

【答案】C

【分析】过点A作FG||BC,交E13的延长线于点F,DC的延长线于点G,易得：FG=BC,AF1Bh,AG1CD,

利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得S[+S2=；S矩形BCDE，再根据S=SAABC+S矩形BCDE一Si-S2=

S“BC+5s矩形BCDE，得到S—S]-S2=SAABC，即可得出结论.

【详解】解：过点A作FGIIBC,交EB的延长线于点F,DC的延长线于点G,

•・•矩形BCDE,

・•・BC1BE,BC1CD,BE=CD,

AFG1BE,FG1CD,

・•・四边形BFGC为矩形，

/.FG=BC,AF1BE,AG1CD,

r.S1=；BE.AFS=；CD.AG,

・・・S|+S2=|BE（AF+AG）=；BE•BC=,矩形-DE，

又S=SAARC+S矩形RCDE-SI—S?=SAARC+3矩形BCDE，

..S-S（—S2=SAABC+3S矩形BCDE-5$矩形BCDE=^AABC,

・•・只需要知道△ABC的面积即可求出S-S,-S2的值；

故选C.

【点睛】本题考查矩形的性质，求三角形的面积.解题的关键是得到&+S2=；S矩形RCDE

4.（2023・浙江绍兴•中考真题）如图，在矩形48CD中，。为对角线8。的中点，乙48。=60。.动点E在线段

。8上，动点尸在线段OD上，点E1同时从点。出发，分别向终点运动，且始终保持OE=。几点E关于

力的对称点为邑田2；点?关于的对称点为FI，F2.在整个过程中，四边形瓦&6尻形状的变化依

次是（）

Fi

A.菱形一平行四边形一矩形T平行四边形一菱形

B.菱形一正方形一平行四边形一菱形一平行四边形

C.平行四边形一矩形一平行四边形一菱形一平行四边形

D.平行四边形T菱形T正方形T平行四边形T菱形

【答案】A

【分析】根据题意，分别证明四边形&E2FF2是菱形，平行四边形，矩形，即可求解.

【详解】•・•四边形ABCD是矩形，

・・・AB匚CD,DBAD=(ZABC=90°,

ACBDC=匚ABD=60°,EADB=DCBD=90。-60°=30°,

VOE=OF.OB=OD,

・•・DF=EB

•・•对称，

ADF=DF2,BF=BF|,BE=BE2,DE=DE|

•••E|F2=E2F1

•・•对称，

・•・匚F2DC=OCDF=60%nEDA=DE^A=30°

，[E]DB=60°,

同理二F1BD=60°,

.•.DEjDBF)

EIF2DE2F)

・•・四边形&E2FIF2是平行四边形，

如图所示，

Fi

当E,F,0三点重合时，DO=BO,

/.DE]=DF2=AEi=AE2

即E1E2=E|F2

・・・四边形EF2BF2是菱形,

如图所示，当E,F分别为OD,OB的中点时，

设DB=4,则DF?=DF=1,DE】=DE=3,

在RtaABD中，AB=2,AD=

连接AE,AO,

VCABO=60°,BO=2=AB,

・•・AABO是等边三角形，

YE为OB中点，

/.AEIOB,BE=1,

AAE=V22-12=V3,

根据对称性可得AEI=AE=V5,

AAD7=12,DEi=9,AE；=3,

AAD2=AEj+DEb

・・・ADE]A是直角三角形，KDEj=90°,

・•・四边形EF2FF2是矩形,

当F,E分别与D,B重合时，△BEiDqBDFi都是等边三角形，则四边形EF2FF2是菱形

・••在整个过程中，四边形EF2&F2形状的变化依次是菱形一平行四边形一矩形一平行四边形一菱形，

故选：A.

【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股

定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

5.（2023•浙江杭州•中考真题）如图，矩形/BCD的对角线4C,BD相交于点。.若乙4OB=60。，则铝=（）

A.iB.dC.更D.理

2223

【答案】D

【分析】根据矩形性质得出OA=OC=|AC,OB=OD=；BD,AC=BD,推出OA=OB则有等边三角

形AOB,即匚BAO=60。，然后运用余切函数即可解答.

【详解】解：•・•四边形ABCD是矩形，

；；

r.OA=OC=2AC,2OB=OD=BD,AC=BD,

AOA=OB,

•・•AOB=60°,

・MAOB是等边三角形，

J[BAO=60°,

ADACB=90°-60°=30°,

VtanLACB==tan300=^7,牧D正确.

BC3

故选：D.

【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出BAO=60。是解答

本题的关键.

6.（2023・浙江绍兴・中考真题）如图，正方形4RCD中，AB=3,点石在边4。上，OE=24民尸是BE的中

点，点〃在。。边上，/-EFH=45°,则的长为（）.

【答案】C

【分析】首先过点B作BN||FH,连接数ENFN、，延长DC到点G,使CG=AE,连接BG,根据EFH=45°

可得[NBG=45。，利用SAS可证AABED^CBG,再利用SAS可证△EBND△GBN,从而可得EN=NG,

利用勾股定理可得DN=CN=p利用梯形中位线定理可以求出FN=根据BN||FH可证△FHN]△BNC,

根据相似三角形对应边成比例可以求出FH的值.

【详解】解：如下图所示，过点B作BNIIFH,连接数EN、FN,延长DC到点G,使CG=AE,连接BG,

P

•••匹边形ABCD是正方形，AB=3,

:.AD=CD=BC=AB=3,匚ABC=90°,

DE=2AE,

ADE=2»AE=1,

•••BE=>/AE2+AB2=/IO,

vDEFH=45°,BNQFH,

E1EBN=E1EFH=45。，

:.CABE4-「NBC=45。，

(AE=CG

在么ABE^ACBG中=CBCG=90。，

(AB=BC

•••△ABE△CBG»

•••匚ABE=CBG,BE=BG,

:.CGBN=DCBG+CNBC=匚ABE+DNBC=45°,

EiEBN=DNBG,

BE=BG

在么GBN中E1EBN=DNBG,

BN=BN

.•.△EBNDAGBN,

:.EN=NG,

设NC=x,则DN=3-x,EN=NG=x4-1,

在RtaEDN中，ED2+DN2=EN2,

22+(3-x)2=(1+x)2,

解得：x=p

DN=CN=I，

:.BN=VBC2+CN2=J32+(|)2=|V5,

•••点N是CD的中点，

FN是梯形EBCD的中位线，

FN=；(ED+BC)=|(2+3)=|,FNH=90°,

•••FHE1BN,

•••DFHN=UBNC,

X-.CFNH=OBCN=90°,

FHNABNC,

F_H-F-N

BNB5C

FII-

福2

-

.3

-

解得：FH=^V5.

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、梯

形的中位线定理等知识，掌握相关知识点是解题关键.

7.（2023•浙江・中考真题）如图，在菱形力中，AB=1,/.DAB=60°,贝的长为（）

A.-B.1C.—D.V3

22

【答案】D

【分析】连接8D与4C交于O.先证明△A8D是等边三角形，由.4C_L8D,得到土。48=：匕84）=30。,

^AOB=90°,即可得到OB=4/B=号利用勾股定理求出力。的长度，即可求得AC的长度.

【详解】解：连接8D与4C交于0.

•・•四边形ABCD是菱形,

：.AB\\CD,AB=AD,AC1BD,AO=OC=^AC,

'：LDAB=60°,RAB=AD,

・・・ZMBD是等边三角形，

'：AC1BD,

：.LOAB=-Z-BAD=30°,Z.AOB=90°,

2

・・・OB=；,

22

：.AO=\/AB2-OB2=JI2-(T=2，

：.AC=2AO=V3,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、30。角所对直角边等于斜边的

一半，关键是熟练掌握菱形的性质.

8.(2024.浙江•中考真题)如图，在菱形/18C。中，对角线AC,BD相交于点O,*线段48与AB'关

于过点O的直线/对称，点B的对应点夕在线段OC匕A'B'交CD于点、E,则48'CE与四边形0*£7)的面积

比为________

【答案】1:3g

【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上

知识点.

设AC=10a,BD=6a,首先根据菱形的性质得到OA=OC=；AC=5a,OB=OD=；BD=3a,连接A,D,

OE,直线1交BC于点F,交AD于点G,得到点A,,D,O三点共线,AD=AO-OD=2a,BC=OC-OB=2a,

2=整=：=3然后证明出△A'EDWACEB(AAS),得到A,E=CE,然后证明出△ODE讣OBE(SSS),

SAOEB'OB3a3

得到SAODE=S.OB'E，进而求解即可•

【详解】•・•四边形ABCD是菱形，*

・••设AC=10a,BD=6a

AOA=OC=：AC=5a,OB=OD=；BD=3a

22

如图所示，连接AD,OE,直线1交BC于点F,交AD于点G,

•・•线段AB与A'B’关于过点O的直线1对称，点B的对应点B'在线段OC上,

・•・Dor=COF=1aDOD=45°,AO=AO=5a,OB'=OB=3a

ACAOG=CiDOG=45°

・••点A',D,O三点共线

AD=AO-OD=2a»BC=OC-OB=2a

•S^CEB'_BC_2a_2

OB-3a-3

AAD=BC

VCD||AB

/.CCDO=EABO

由对称可得，口从8‘0二口人80

ABO=CCDO

ADADE=匚CB’E

又DCEB'

/.△AED^ACEB'(AAS)

r.AE=CE

VAB，=AB=CD

ADE=BE

又・・・OD=OB',OE=OB'

AAODE三△OB,E(SSS)

・()DE

•SA=SAOBE

•.SACEH'_SACEB'__2_£

S四边形OB'EDSAOEB'+SAODE3+363

故答案为：J.

9.(2023・浙江绍兴・中考真题)如图，在菱形A8CD中，Z.DAB=40°,连接4C,以点力为圆心，力。长为半

径作弧，交直线4。于点E,连接CE,贝i"4EC的度数是.

【答案】10。或80。

【分析】根据题意画出图形，结合菱形的性质可得匚9人口=；[万庆8=2()。，再进行分类讨论：当点E在点

A上方时，当点E在点A卜方时，即可进行解答.

【详解】解：•・•四边形ABCD为菱形，DDAB=40%

ADCAD=|CDAB=20°,

连接CE,

①当点E在点A上方时，如图E],

VAC=AEPCCAE1=20°,

ACAE1C=；(180°-20°)=80°,

②当点E在点A下方时，如图E2，

VAC=AEPCCAE1=20°,

・••匚AE,C=：E]CAE[=10°,

/21

故答案为：10。或80。.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质,等腰三角形的性质，三角形的内角和以及三角形的外角定理，解题

的关键是掌握菱形的对角线平分内角;等腰三角形两底角相等，三角形的内角和为180。；三角形的一个外

角等于与它不相邻的两个内角之和.

1().(2023•浙江台州・中考真题)如图.矩形中,AB=4,AD=6.在功力0卜取一点E,便BE=BC.

过点。作CF1BE,垂足为点F,则8F的长为.

【答案】26

【分析］利用矩形的性质、勾股定理求出AE,利用AAS证明AABE三ZXFCB,根据全等三角形的性质求解

即可.

【详解】解：•・•矩形ABCD中，AB=4,AD=6,

ABC=AD=6,A=OABC=90°,

又BE=BC,

ABE=6,

・・・AE=VBE2-AB2=2V5,

VCF1BE,CABC=90°,

JLBFC=90°,QABE=90°-UEBC=LBCF,

・•・A=BFC,

在么人8匕和4FCB中

□A=LBFC

匚ABE=OFCB，

BE=BC

.*.△ABE^AFCB(AAS),

・・・BF=AE=26.

故答案为：2V5.

【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌

握相关知识是解题关键.

11.(2025•浙江・中考真题)【问即背景】

如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板48CD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角浅8。上.

【数学理解】

(1)亥机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABECBE的证明过程.

(2)若裁剪过程中满足=DA,求“机翼角28AE的度数.

【答案】(1)见解析

(2)22.5°

【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关

知识是解题的关键.

(1)由正方形的性质可得AB=CB,［：ABD=CCBD,据此可利用SAS证明△ABE三△CBE；

(2)由正方形的性质可得口34口二9()。，DADB=45。，再由等边对等角和三角形内角和定理求出匚DAE的

度数即可得到答案.

【详解】(1)证明：•・•四边形ABCD是正方形，

AAB=CB,DABD=DCBD,

XVBE=BE,

Z.AABE=ACBE(SAS)；

(2)解：・・•四边形ABCD是正方形,

ACBAD=90°,CADB=45°,

VDE=DA,

/.□DAE=DDEA,

•・•匚DAE+DDEA+EADE=180。，

ACDAE=匚DEA=67.5°,

BAE=BAD—匚DAE=22.5°.

12.（2023•浙江嘉兴・中考真题）如图，在菱形ABCD中,