2023-2025年湖北中考数学试题分类汇编：圆综合（6大考点34题）解析版

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专题10圆综合（6大考点34题）

考点（）1圆中的角度问题

1.（2023•湖北随州•中考真题）如图，在OO中，OA.LBC,ZAOB=60°,则NADC的度数为.

【答案】30。/30度

【分析】根据垂径定理得到外8=充。，根据圆周角定理解答即可.

【详解】解：•••Q4_L8C,

用B=今。，

ZADC=-/AOB=30°,

2

故答案为：30°.

【点睛】本题考杳的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半是解题的关键.

2.（2023・湖北黄冈・中考真题）如图，在0。中，直径A8与弦CO相交于点P,连接AC,AD,加＞,若NC=20。,

ZBPC=70°,则ZADC;()

B.60°C.50°D.40°

【答案】D

【分析】先根据圆周角定理得出N8=NC=20。，再由三角形外角和定理可知

ZBDP=ZBPC-=70°-20°=50°,再根据直径所对的圆周角是直角，即NAQ8=90。，然后利用

44O8=NADC+N80P进而可求出NADC.

【详解】解:vZC=20°,

/.ZB=20°,

•・•ZBPC=70°,

/BDP=NBPC-ZB=70°-20°=50°，

又•「AB为直径，即NAQ3=90。，

JZADC=ZADB-ZBDP=90°-50°=40°,

故选：D.

【点睛】此题主要考杳了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识.

3.（2023・湖北春阳•中考真撅）如图，四功形A8CD内接于点/?在CO的延长线匕若NA£>£=70。,

【答案】140

【分析】首先根据圆内接四边形的性质得N8=NAOE=70。，再根据圆心角与圆周角的关系即可得出/AOC

的度数.

【详解】解：:四边形内接于。0,ZAD£=70°,

:.ZB+ZWC=180°,

又「ZADE+ZADC=\^°,

・•・/6=NADE=7（）c,

Z40C=2Z/J=I40°.

故答案为：140.

【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与圆周角之间的关系，熟练掌握圆内接四边形的对

角互补，理解圆心角与圆周角之间的关系是解答此题的关键.

4.（2023・湖北•中考真题）如图，在V"C中，Z4C/?=70°,△/1忒?的内切圆与A88c分别相切于

点O,E,连接"七，AO的延长线交DE于点尸，则NA/D=.

c

【答案】35答35度

【分析】如图所示，连接OEOD,OB,设08、DE交于H,由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出

408=125。，再由切线长定理得到8。=8石，进而推山08是。石的垂直平分线，即NO”/=90。，则

ZAFD=ZAOH-ZOHF=35°.

【详解】解：如图所示，连接OE,OD,OB,设03、DE交于H,

•・•。。是VA8C的内切圆，

・・・。4、04分别是NC4&NCK4的角平分线，

：.ZOAB=-ZCAB,ZOBA=-ZCBA,

22

•・•ZACB=70°,

・・.ZC4B+NCBA=180°-/ACB=110°,

.\^OAB+ZOBA=-ZCBA+-ZCAB=55°

22f

・•・NAOB=180°-ZOAB-NOBA=125°,

•・・0O与AB8c分别相切于点Q,E,

・•・BD=BE,

又,：OD=OE,

・•・。8是OE1的垂直平分线，

C.OBLDE,即NO”"=90°.

乙AFD=NAOH-NOHF=35°,

故答案为：35。.

【答案】c

【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由MN是的垂直平分线,

可得。4=Q8,可得N84O=NA8O=30。，再进一步求解即可.

【详解】解：由作图可得：是48的垂直平分线，

ADA=DB,而N8AC=30°,

・•・N34O=430=30°,

・•・Z4OE=2ZA/?D=60°,

故选：C

7.（2023•湖北武汉•中考真题）如图，在四边形A4C。中，AB//CD,AD1AB,以。为圆心，4。为半径

AR1

的瓠恰好与相切，切点为E.若不=鼻，则sinC的值是（）

3

C.

4

【答案】B

【分析】作延长线于产点，连接。£,根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求

解在RlZXOEC和RtZ\8FC,最终得到DE,即“J根据正弦函数的定义求解.

【详解】解：如图所示，作b_LA8延长线于尸点，连接OE.

VADJ.AB,AB//CD,

・•・AFAD=ZADC=ZF=90°,

・•・西边形AOC尸为矩形，vAF=DC,AD=FC,

・•・A8为0。的切线，

由题怠，BE为。。的切线，

ADEIBC,AB=BE,

・•任，

•——，

CD3

・,•设45=8E=〃，CD=3a,CE=x,

则=A尸-A/=CO-AB=〃，BC=BE+CE=a+x,

在RtZXOEC中，DE2=CD2-CE2=9a2-x2,

在为△8/7C中，FC2=BC2-BF1=（«+x）2—（加『,

•・•DE=DA=FC,

9a1-x2=（a+x1-（2〃y,

解得：x=%或x=-%（不合题意，舍去），

:.CE=2a,

「・DE=^CDr-CE2=49储一4标=64，

..厂DEy/5a旧

••sinC=---=------=—>

DC3a3

故选:B.

【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运

用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键.

考点02圆中的弧长问题

8.（2023・湖北荆州•中考真题）如缸一条公路的转弯处是一段圆弧（AC）,点。是这段弧所在圆的圆心,

。为AC上一点，O8JLAC于。.若AC=30（）Gm,BD=150m,则AC的长为（)

A.300^mB.200/rmC.150乃mD.IO()V3^m

【答案】B

【分析】根据垂径定理求出A。长度，再根据勾股定理求出半径长度，最后利用弧长公式即可求出答案.

【详解】解：-OBLAC,点。是这段弧所在圆的圆心，

AD=CD,,

-OD=OD,OA=OC,

QDO^&DO、

/.ZAOD=ZCOD.

•/AC=3(X)x/3m,AD=CD,

AD=CD=150>/3m.

设tt4=OC=Q8=x,则DO=x-150,

在Rt^AOO中，X2=(X-I50)2+|150X/3)\

/.x=300m,

•/iAD150GG

/.sinZ.A0D=----=--------=——.

AO3002

.•"AOr>=60。，

...ZAOC=I20°,

故选：B.

【点睛】本题考查了圆的垂径定理，弧长公式，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度，从而求出所

求弧长所对应的圆心角度数.

9.（2023•湖北十堰•中考真题）如图，已知点C为圆锥母线S4的中点，AB为底面圆的直径，SB=6,AI3=4,

一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从4点爬到C点,则蚂蚁爬行的最短路程为（）

B.3GC.3&D.6x/3

【答案】B

【分析】连接48,先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆铢的侧面展开

后的圆心角，可得ASAB是等边三角形，即可求解.

【详解】解：连接AB,如图所示,

•IAB为底面圆的直径，AA=4,

设半径为r,

底面周长=2仃=4万，

设圆锥的侧面展开后的圆心角为“，

•・•圆锥母线S3=6,

根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：4笈二黑提，

解得：72=120°,

・•・Z4SC=60。，

•・•半径S4=S4,

・•・ASAA是等边三角形，

在RtzMCS中，4C=SA-sin600=6x立=36，

2

・••蚂蚁爬行的最短路程为36，

故选：B.

【点睛】本题考查平面展开一最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长等于圆锥底面周

长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解.

10.（2023•湖北黄石•中考真题）“神舟•”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务,

也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人匕行任务.如图，

当，，神舟，，十四号运行到地球表面P点的正上方的〃点处时，从点”能直接看到的地球表面最远的点记为Q

6400

点，已知PF^—km,ZFOC=20°,COS20°«0.9,则圆心角NPOQ所对的弧长约为km（结果保留兀）.

【分析】设OP=OQ=rkm,由尸。是OO的切线，可得cos/FOQ=笑，由此构建方程求出r,再利用弧长

公式求解.

【详解】解：设OP=OQ=/km,

由题意，尸。是O。的切线,

：,FQLOQ,

•・・cosN/OQ=黑，

0.9=

i%00

Ar=6400,

20x^x64006400

，。的长

1809

6400

故答案为:-------冗.

9

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程求解.

11.（2023•湖北宜昌•中考真题）2023年5月30FI,“神舟十六号”航天飞船成功发射.如图，飞船在离地

球大约330km的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的

点是点Q.在RIZSQ2产中，OP=O(?«64(M)km.

(参考数据：cos16°«0.96,cos18°«0.95,cos20°«0.94,cos22°«0.93,TI«3.14)

F

Q

o

图1图2

（1）求cosa的值（精确至IJ0.01）；

（2）在。。中，求PQ的长（结果取整数）.

【答案】⑴0.95

（2）2010km

【分析】（1）在Rt^O回。中，利用余弦函数即可求解;

（2）先求得。的度数，再利用弧长公式即可求解.

【详解】（I）解：由题意可知，PF=330km,

•.•OP=OQH6400kin,

OF=OP+PF=330+6400=6730km,

.•.在Rtz\。尸Q中，cos。==a0.95；

OF6730

(2)解：,.•cosau0.95,cosl80u0.95,

»二18。

18x兀x6400

PQ的长为/==640兀

180

。2009.6

«2010km.

【点睛】本题考查了求余弦函数的值，弧长公式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

考点03圆中的阴影图形面积问题

12.（2023•湖北鄂州•中考真题）如图，在V4BC中，ZAfiC=90°,NAC8=30。，A8=4,点0为8C的

中点，以。为圆心，08长为半径作半圆，交AC于点。，则图中阴影部分的面积是（）

A

D

B

O

A.5场与

B.573-4^C.56-2乃D.lOx/3-2^-

【答案】C

【分析】连接。。，BD,作OHJ.CD交。。于点”，首先根据勾股定理求出8c的长度，然后利用解直角

三角形求出4。、CO的长度，进而得到△08。是等边三角形，NBOD=60。,然后根据30。角直角三角形的

性质求出OH的长度，最后根据“影=5ACB_S：一$电形的进行计算即可.

【详解】解：如图所示，连接00，BD,作OH工CD交CD于点、H

•・•在VABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,AB=4,

ABAB4,rz

BC=------------=---------==4V3

tanZ.ACBtan30°V3

3

•・•点。为5C的中点，以。为圆心，。8长为半径作半圆,

・•・BC是半圆的直径,

・•・ZCZ?B=90°,

•・•ZAC8=30°,

JBD=；BC=26CD=BC.SS/BCD=46乂与=6,

又OB=OC=OD=LBC=26

2

：・OB=OD=BD,

:.M)BD是等边三角形,

JZBOD=60°,

OHVCD,ZOCH=30°.

：.OH=-OC=^,

2

60万X（2G

=2x4x4>/3--xV5x6-『

・S用影=S^CB~S&COD~S陶形008=50-2兀.

22360

故选：c.

【点睛】本题考查了30。角直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股

定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知以是解题的关键.

13.（2023•湖北•中考真题）如图，在3x3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的

图形称为格点图形，图中的圆弧为格点VA4C外接圆的一部分，小止方形边长为1,图中阴影部分的面积为

【分析】根据网格的特点作AB的垂直平分线MN,作BC的垂直平分线PQ,设MN与P。相交于点O,连

接Q4,OB,OC,则点。是V4BC外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明△AOC是直角三角形，从

而可得^AOC=90°,然后根据S阴影=S附形人"-S-OC-S^BC，进行计算即可解答.

【详解】解•：如图：作A8的垂直平分线作BC的垂直平分线PQ,设MN与。。相交于点。，连接

OhOB,OC,则点。是V48C外接圆的圆心，

Q

由题意得：OA2=l2+22=5，OC2=l2+22=5,/IC2=i2+32=10,

-\OA2+OC2=AC2,

・•・ZSAOC是直角三角形,

・•・ZAOC=900.

VAO=OC=^,

S阴影=S艰形AOC-S^AOC-SfBC

90乃x（司

-OAOC--/\B\

36022

=--—x^/5x75-—x2xl

422

5乃5,

=------------1

42

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当

的辅助线是解题的关键.

14.（2023・湖北恩施・中考真题）如图，等圆O。和。。2相交于A,4两点，OQ经过。（心的圆心。”若QU=2,

则图中阴影部分的面积为（）

42

A.27rB.-C.4D.—n

33

【答案】D

【分析1先证明△ACQgABCOz，再把阴影部分面积转换为扇形面积，最后代入扇形面积公式即可.

【详解】如图，连接。28,。田,

A

OX-JO,卜等圆0。和O。?相交于A，8两点

w，A8,AC=8C

•.•。«利o。?是等圆

：.01A=OQ?=01B=O]B

是等边三角形

O

.­.ZO（O2B=60

ZACO,=ZBCO2=90。，AC=8C«A=O?4

:.gCO鼻BCO1

•S-S+S-S+S-S-60-2_@

••D_»AACQ十D图形Beq_D/cq十》图形就q一°扇形灰）。一一•

故选：D.

【点睛】本题考查了相交弦定理，全等的判定及性质，扇形的面积公式，转化思想是解题的关键.

考点04圆中的线段长问题

15.（2023・湖北宜昌•中考真题）如图，OA,OB,OC都是0。的半径，AC,03交于点。.若

AD=CD=S,。。=6,则80的长为（）.

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】根据等腰三角形的性质得出OD^AC,根据勾股定理求出OC=10,进一步可求出30的长.

【详解】解：・・・4。=。=8,

・••点。为AC的中点，

,:AO=CO,

ZODIAC,

由勾股定理得，oc=JC£>2+必=依+8?=10,

・•・03=10,

・・・BD=OB-OD=lO-6=4,

故选:B.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题

的关键

16.（2024.湖北武汉.中考真题）如图，四边形八8C。内接于O。，ZABC=60°,/84C=NC4O=45。，

A.1B.也C.gD."

3322

【答案】A

【分析】延长AB至点凡使=连接B。，连接C。并延长交。O于点片连接AF,即可证得

△4）。也A£BC（SAS）,进而可求得AC=cos45O-AE=拉，再利用圆周角定理得到NAFC=60。，结合三角

函数即可求解.

【详解】解：延长A8至点E,使座=4）,连接B。，连接C0并延长交。。于点凡连接”,

•・・西边形438内接于。。,

・•・ZADC+ZABC=ZABC+Z.CBE=180°

/./ADC=4CBE

ZR4C=NC4P=45。

CBD=NCDB=45。,ZDAB=90°

:.B。是0。的直径，

・•・ZDCB=90°

・•・△OC8是等腰直角三角形，

DC=BC

:BE=AD

・・・LADC^EBC（SAS）

/.ZACD=ZECB,AC=CE,

AB+AD=2

A,\B+BE=AE=2

乂；N3C8=90°

/.ZACE=90°

・•・AACE是等腰直角三角形

・•・AC=cos45°AE=0

•・•Z4^C=60°

・•・ZAFC=60°

ZE4C=90°

.“AC2x/6

sin6003

・•・OF=OC=-CF=—

23

故选：A.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等

知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键.

17.（2023•湖北十堰•中考真题）如图，。。是VA8C的外接圆，弦8。交AC于点E,AE=DE,BC=CE,

过点。作。尸J.AC于点月延长产。交的于点G,若DE=3,EG=2,则A8的长为（）

AD

A.4x/3B.7C.8D.4石

【答案】B

【分析】作曲0_LAC于点M,由题意可得出Va的VDEC,从而“J得出△£»(7为等边三角形，从而得到

NGM=60。，ZEGF=30°,再由已知得出E/L8c的长，进而得出CM,8W的长，再求出AA/的长，再

由勾股定理求出A8的长.

【详解】解：作BM_LAC于点M,

ZA=ZD

，AE=ED,

ZAEB=/DEC

AAE^ADEC(ASA),

・•・EB=EC,

又「BC=CE,

・•・BE=CE=BC,

:,AEBC为等边三角形,

：.ZGEF=6(r,BC=EC

：.NEG/7=30°,

VEG=2,OF±AC,NEG尸=30。

・•・EF=-EG=\,

2

XVAE=ED=3,OF±AC

：.CF=AF=AE+EF=4,

・・・AC=2A/=8,EC=EF+CF=5,

BC=EC=5,

•・•N6CM=60o,

・・・NM8C=30。，

CM=^,BM=ylBC2-CM2=—，

22

AM=AC-CM=—,

•*-AB='AMrBM?=7•

故选：B.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾股定

理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键.

18.(2023・湖北武汉•中考真题)如图，0A。氏。。都是。。的半径，/j\CB=2ABAC.

(1)求证：ZAOB=2ZBOC；

(2)若A8=4.BC=行，求0。的半径.

【答案】(1)见解析

呜

【分析】(1)由圆周角定理得出，NACB=；NAOB,NBAC=；NB0C,再根据⑦=2N6亿',即可得

出结论；

(2)过点。作半径8_LA5于点E,根据垂径定理得出=良证明/£)08=N80C,

得出瓦＞=3C,在Rt△血必中根据勾股定理得出DE=dBD2—BE?=1，在RS80E中，根据勾股定理得出

OB2=(OB-I)2+22,求出08即可.

【详解】(1)证明：:AB，

・•・^ACB=-^AOB,

2

VBC=BC，

.・.ABAC=-ZBOC,

2

ZACB=2/BAC,

ZAOB=2ABOC.

(2)解：过点0作半径O£>_LAB于点E,则ND08=1N40B,AE=BE,

2

Q?AOB2?HOC,

々DOB=NBOC,

:.BD=BC,

•:AB=4,BC=4^,

/.BE=2,DB<,

在RtZ\8QE中，QZDEfi=90°

DETBD'-BE?=1，

在RLAOE中，VZ0EB=9()0,

:.0B?=(OB—I)?+22,

【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角

定理.

19.（2023・湖北黄冈・中考真题）如图，VABC中，以"为直径的。。交8C于点/）,。£是。。的切线,

且。上1AC',垂足为E,延长CA交。。于点尸.

I'

（1）求证：A8=AC；

（2）若八£=3,。石=6,求AF的长.

【答案】（1）见解析

（2）AF=9

【分析】（I）连接AO,根据已知可得〃AC,则NC=NODB,又ZB=4ODB,等量代换得出NC=N8,

即可证明A3=AC；

AFIHF

（2）连接M,证明NAOE=NC,在中，tanZ/1DE=-=-=tanZC=—,求得EC=2及£=12,

ED2EC

根据得出）=EC=12,进而可得8/=3尸。=12,根据=即可求解.

【详解】（1）证明：如图所示，连接AO,

•・•以A3为直径的0。交4c于点D,OE是0O的切线,

IODIDE,

•・•DE1AC,

：,0D//AC,

・•・/C=/ODB,

又OB=OD,

・•・NB=NODB,

・•・NC=NB,

・•・AB=AC；

(2)解：连接BF,AD,如图,

则AO_L8C,BD=CD,

・•・ZADC=ZADB=ZAED=90°，

・•・ADAE+ZADE=ND4C+ZC,

ZADE=NC,

在RSADE中，AE=3,DE=6,

Apir)p

・・・tanZADE=——=-=tanZC=——，

ED2EC

JEC=2DE=\2,

又是直径，

/.BF工CF,

DE〃BF,

.ECCD

'''EF~~DB'

/.EF=EC=\2,

..tanC=----=-,

FC2

：,BF=-FC=12,

2

・•・AF=EF-AE=\2-3=9.

【点睛】本题考杳了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，平行线分线段成比例，正切的定义，熟练学

握以上知识是解题的关键.

20.(2025・湖北・中考真题)如图，0。是VA4c的外接圆，Z^AC=45°.过点。作OF_LA8,垂足为E,

交AC于点。，交。。于点F.过点尸作。。的切线，交C4的延长线于点G.

(1)求证：FD=FG；

(2)若A6=12,”G=10,求。。的半径.

【答案】（I）证明过程见详解

（2）00的半径号

【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到A8||G/，可得是等腰直角三角形，由此即可求解；

（2）根据垂径定理得到AE=6,VA/汨是等腰宜角三角形，由（1）得到卜修=10,则£尸=4,如图

所示，连接04，设OE=x,则0/=0七+箱=1+4=。4,由比勾股定理即可求解.

【详解】（1）解：VDFJ.AB,G尸是。。的切线，即。尸J_G/，

.・.AB\\GF,

ZA4C=ZG=45°,

/.ZFDG=90°-45°=45°,即是等腰直角三角形，

FD=FG；

（2）解：•・•DF±AB,

・•.AE=BE」AB=6,

2

,?ZBAC=45°,

・•・44。石=90。-45。=45。，即V4）E是等腰直角三角形，

JEA=ED=6,

由（1）得/D=FG=10,

EF=DF-DE=10—6=4,

如图所示，连接。A,设OE=x,则。/=OE+£F=x+4=OA,

.••在^^AOE中，OA2=AE2+OE2,

A(X+4)2=62+X2,

解得，x=

2

OA=x+4=—+4=-,

22

・•・。。的半径号.

【力、哨】本题主要考查园内接二角形的综合，掌握垂径定理，勾股定埋，等腰二角形的判定和性质，切线

的性质等周四，数形结合分析是关键.

21.(2023・湖北宜昌・中考真题)如图1,已知是0。的直径，依是0。的切线，小交0。于点C,

AB=4,PB=3.

(1)余空：NP8A的度数是_________,%的长为

(2)求VA3c的面积；

(3)如图2,CD1AB,垂足为。.七是AC上一点，AE=5EC.延长4E，与OC,8P的延长线分别交于

干EF.

点、F,G,求而1的Vl值.

【答案】(1)90°,5；

r96

⑵三

⑶5

【分析】(1)根据切线性质和勾股定理分别求解即可;

12

(2)由面积法求出8C=《，再利用勾股定理求4。，则V4BC的面积可求;

ArApFC

⑶先证明®SdAG'得到前=左=后利用但"，分别得到GP=I,止BG进而计算

AG=4夜，4/；=如旦，在分别求出历了G则问题可解;

25

【详解】(1)解：TAB是。。的直径，依是0。的切线,

・・・/PR4的度数是90。；

VAB=4,尸8=3,

,PA=ylAB2+PB2=742+32=5：

故答案为:90。，5；

(2)如图，

p

•IAB是。。的直径，

・•・ZACB=/PCB=90。,

•.•48=4,PB=3,尸4=5,

由面积法-ABPB=-APBC.

：.AC=《AB2一BC?=『

，…二更的=竺

25525

(3)方法一：如图，

由乙4。3=乙钻2=90。

・•・ZAPB=ZABC

•・•NFEC=ZABC

・•・乙FEC=4FB

：.ZAEC=ZAPG

ZEAC=ZPAG

：,^EAC^PAG

.ACAEEC

AGAPGP

设EC=x,AE=5.v

VAP=5

\GP=1

:.BG=BP+PG=3+\=4

：.AB=BG

「.△A8G是等腰直角三角形，AG=442

，

A“C=一16

5

2^2

X=-----

5

：.AE=5x=2叵

ZGAB=45°

.飞E4Z）是等腰直角三角形

・-4。=任=任

ACAB

16

丝二

164

y

.dn_64

25

八厂64&

二.A卜=---

25

.j-..r.145/2

7.EF=AF-AE=------,

25

SACAC36尤

25

，史」万生必工

FG252518

方法二：如图

由N4a=N4£>C=90。

.\ZACD=ZABC

NFEC=AABC

：.ZFEC=ZACD

ZAEC=^ACF

-ZEAC=ZCAF

/.△EAC^ACAF

.ACAEEC

AF-AC-FC

设EC=x,4E=5x

：.FC=

----

/.AD=DF

.•.△ADF是等腰直角三角形，AF=Mg

4J

2V2

A=-----

/.AE=5x=2>/2

25

•.•ZE4D=45°

「.△GAB是等腰直角三角形，AG=4夜,

【点睛】本题考查了圆的切线的性质和相似三角形的性质和判定，解答关键是根据条件证明三角形相似,

再根据相似三角形的性质解答问题.

考点05圆中的切线证明

22.（2023•湖北随州•中考真题）如图，48是。。的直径，点、E,C在0。上，点C是BE的中点，AE垂

直干过C点的直线。C，垂足为。，A8的延长线交直线。。于点F.

⑴求证：是0。的切线；

（2）若AE=2,sinZ/lFD=1,①求。。的半径；②求线段OE的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）03；②2

【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等和等边对等角的性质，得到NC4E=ZACO,推出4）〃OC,进

而得到OC_LDC,再利用圆的切线的判定定理即可.证明结论：

（2）①连接用3根据直径所对的圆周角是直角和平行线的判定，得到3E〃力凡进而得到NAFD=NABE,

再利用锐角三角函数，求得A5=6,即可求出。。的半径；

②利用锐角三角函数，分别求出M和A。的长，即可得到线段DE的长.

【详解】（1）证明：如图，连接OC,

•・,点。是8K的中点，

ZCAE=ZC4B,

-OA=OC,

NCAB=ZACO,

:.ZCAE=^ACO,

AD〃0C,

VADLDC,

:.0CLDC,

•.PC'是。。的半径,

0c是。。的切线;

（2）解：①如图，连接班:,

•.♦四是直径,

ZAEB=90°,

7.BEJLAD，

•/AD1DF,

:.BE//DF,

：.ZAFD=ZABE,

,：sinZ.AFD=-,

3

.-.sinZABE=-=-,

AB3

AE=2,

AB=6,

00的半径为3；

②由（I）可知，OC1DF,

sinZ4FD=—=-

OF3

,：0C=3,OF=OB+BF=3+BF,

3_

3+M=3

BF=6,

再尸=45+6尸=6+6=12,

ADA.DF,

sinZAFD=—=—=-

AF123

AD=4,

AE=2,

DE=AD—AE=4—2=2.

【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆的切线的判定定理，圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三

角函数等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用正弦值求边长是解题关键.

23.（2023•湖北荆州•中考真题）如图，在菱形48C。中，DH上AB于H,以。”为直径的。。分别交AO,

BD于点、E,F,连接£7"

（1）求证：

①CO是的切线：

②ADEF'DBA：

（2）若A3=5,DB=6,求sinNOHE.

【答案】（1）①见解析，②见解析

C24

⑵一

25

【分析】（1）①根据菱形的性质得出A6〃CO,根据OHJ.A8,可得CO_L。。，进而即可得证；

②连接〃”，根据等弧所对的圆底角相等得出NO所=根据直径所对的圆周角是直角得出

NDFH=90。,进而可得〃〃/=/。84=/。石户，结合/EDF=/BDA，即可得证：

（2）连接AC交8。「G.根据菱形的性质以及勾股定理求得AG=4,AC=8,进而根据等面积法求得DH,

由QEF'DBA得:/DFE=/DAH,在中，即可求解.

【详解】（1）证明：①•••四边形A8C£＞是菱形，

AB//CD

DH工AB,

/.ZCDH=ZDHA=90,则CD1OD

又•.•。为0。的半径的外端点，

.•.CD是的切线.

②连接“八

D

,•*DF=DF

力EF=/DHF

•••O”为0。直径，

.­.ZDF/7=90°,

而ZD〃8=90。

/./DHF=NDRA=NDEF,

又'"DFu/BDA

:.4DEFS4DBA.

(2)解：连接AC交8D于G.

.•菱形A/3CO,BD=6,

B

:.AClfiD,AG=GC,DG=GB=3,

•・在RtZXAGB中,AG=X/AB?-BG?=4,

...AC=2AG=8,

S^ABCD=-ACBD=ABDH,

1124

/.DH=-x6x8xl=—,

255

由^DEFs^DBA得:QFE=ADAH，

24

sin/DFE=sin4DAH=—.

25

【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，菱形的性质，勾股定理，求角

的正弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键.

24.（2023・湖北十堰•中考真题）如图，在RtZ\A8C中，NC=90。,4c=8C,点。在上，以。为圆心,

OA为半径的半圆分别交AC,8C,AB于点D,E」"且点E是弧。尸的中点.

（1）求证：8c是。。的切线；

（2）若=求图中阴影部分的面积（结果保留乃）.

【答案】（1）证明见解析

（2）2-1

【分析】（1）连接OE、OD,记出0E_L2C,即可得出结论;

（2）根据S阴影=S&EB-S&OEF，分别求I11S&和S（HOEF即问得;11答案.

【详解】（1）连接OE、OD,

•••ZC=90°,AC=BC,

\-OA=OD,

Q

：.ZOAD=ZADO=45t

ZAOD=90°,

••,点E是弧。户的中点,

/.NDOE=ZEOF=-ZDOF=45°,

2

/.Z.OEB=180°-NEOF-N3=900,

OEA.bC,

•••0E为半径，

BC是。。的切线；

（2）vOE1BC,N8=45。，

・•.”）历为等腰直角三角形，

设BE=OE=x,则08=\[2x，

/.AB=x+>j2x，

-AB=y/2BC,

「./+夜x=&（拒+x）,

:.x=2,

.cC_145°^x22_71

一J阴影一~、MOEF_2XZXZ_一Z一弓.

【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理、扇形的面积、等腰直角三角形的性质，解题的关键

是熟练掌握切线的判定定理.

25.(2023•湖北鄂州•中考真题)如图，A8为0。的直径，E为0。上一点，点C为的中点，过点C作

CDLAE,交AE的延长线于点。，延长。C交A8的延长线于点F.

(1)求证：CQ是。。的切线；

(2)若OE=1,DC=2,求00的半径长.

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【分析】(1)连接OC,根据弦、弧、圆周角的关系可证NDAC=NC4/，根据圆的性质得N。4c=NOC4,

证明OC〃AO,得到NOb=ND=90°,根据切线的判定定理证明：

(2)连接4C,CE,根据勾股定理得到。上二石的长，根据等弧对等弦得到EC=C8=括，杈据圆内接四

边形对角互补得NA8C+NAEC=180°,推出NOEC=/48C,证明△OECs.cRA,利用相似三角形的性质

即可求解.

【详解】（I）证明：连接0C,

・•・EC=CB，

・•・ZZMC=ZC4F,

•・・OA=OC,

・•・^OAC=ZOCA

A?DAC?COA

：.OC//AD,

・•・ZOCF=ZD=90°,

•・•。。为半径，

・•・DC为。。切线；

/.?£>90?,

VDE=\,DC=2,

JCE=ylcif+DE2=+f=芯，

•・•。是AC的中点，

♦・EC=CB，

・•・EC=CB=4i,

•・•AB为00的直径，

・•・ZACB=90°,

•・•/DEC+ZAEC=180°,ZABC+ZAEC=180°,

・•・ADEC=ZABC.

.**ADECs4CBA,

.DECE

••二,

BCAB

.1—旧

•♦忑一谪

：,AB=5,

A0=-AB=-

22

:.。。的半径长为g.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出轼助线是解题

的关键.

26.（2023・湖北恩施•中考真题）如图，VABC是等腰直角三角形，NACB=90。，点O为的中点，连接

CO交。0于点E,0O与4C相切于点。.

（1）求证：4c是。。的切线；

（2）延长CO交。。于点G,连接AG交。。于点尸，若4c=4及，求阳的长.

【答案】（1）见解析

⑵乎

3

【分析】（I）连接O。，过点。作OP_LBC于点P,根据等腰三角形的性质得到NOC£>=NOCP=45。，推

出。。=OP,即可得到结论：

（2）根据等腰直角三角形的性质求出04,OO的长，勾股定理求出AG,连接。尸，过。作而_LAG于

点%利用面积法求出o〃，勾股定理求出/£,即可根据等腰三角形的性质求出心的长.

【详解】（1）证明：连接0。，过点。作OP工BC于点P,

。。与AC相切广点Q.

ZODIAC,

・・・VAAC是等腰直角三角形，NAC4=90。，点O为A8的中点,

JZOCD=ZOCP=45°,

：・OD=OP,即OP是0。的半径,

・•・BC是0。的切线:

（2）解：・・・4C=4夜，AB=AC,ZACB=90°,

AB=6AC=8,OC1AB,

•・•点。为A8的中点,

・•・OC=OA=-AB=4

2t

'：ODLAC

・•・OD=-AC=2y/2,

2

在Rt△人OG中，AG=y/OA2+OG2=,+（2&『=276

连接0厂，过。作OH_LAGJ二点从

.cqOAOG4x2近46

••OH=-----------

AG2763

JHG=yJOG2-OH2

♦：OF=OG,

，FG=2HG=

3

AF

G

CPB

【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌

握各知识点是解题的关键.

27.（2024.湖北•中考真题）如图，在中，NACB=90。，点E在AC上，以CE为直径的00经过力B

上的点。，与08交于点尸，且瓦>=8C.

（1）求证：是0。的切线;

（2）若人O=J5,AE=\,求的长.

【答案】（1）证明见解析；

【分析】（1）连接0。，可得△。£出四AOCWSSS）,得至ljNOZ）B=NOC8=90°,即得OD_L/W,即可求证；

（2）设。。的半径为L则。4=r+l,在RSQAO中由勾股定理得（/+1）2=（6丫+汽可得厂引，即得

ADL

tan乙40。=潦=75,得到/4。。=60。，进而得到N8O£>=4OC=60。，最后利用弧长公式即可求解.

【详解】（I）证明：连接0D,则

.A。。的△OCB（SSS）,

:"ODB=NOCB=琳，

：.OD±AB.

•••。。是0。的半径，

八4是0O的切线；

（2）解：设。。的半径为，，则。4=，•十1,

,/NOD8=90。，

・•・ZOZ>4=180o-90o=90o,

在RtZ\QA。中，OA2=AD2+OD',

.•.（「+1）2=（扃+/，

解得r=l，

tan乙40。=处=6,

OD

.\ZAOD=60°,

.1.ZDOC=120°

•;AOD瞄AOCB,

:.NBOD=/BOC="。,

，JI，6OX7txlit

ACF^__=_.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，三角函数及弧长公式，求出

ZBOD=ZBOC=60。是解题的关犍.

28.（2023・湖北黄石•中考真题）如图，A8为。。的直径，D4和。。相交于点RAC平分/D48,点C

在。。上，且CO_LD4,AC交M于点P.

⑴求证：C"是。。的切线;

(2)求证：ACPC=BC2i

4F

⑶已知8C2=3"P.。C，求F的值.

AB

【答案】（I）见解析

（2）见解析

【分析】（1）连接OC,由等腰三角形的性质得NQ4C=NOCA,再证NA4C=NOC4,则。1〃OC,然

后证OCJ.C。，即可得出结论;

(2)由圆周角定理得NAC8=90。，/DAC=/P