2024-2025学年江苏省无锡市某中学九年级（上）期末数学模拟试卷

2024-2025学年江苏省无锡市宜兴实验中学九年级（上）期末数学模拟试

卷

一.选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A.ax2+bx+c=0B.x+y=1

2

C.?-lv-3=0D.X4-1=1

X

2.（3分）已知OO的半径为4,OA=5,则点4在（）

A.内B.。。上C.。。外D.无法确定

3.（3分）抛物线yuf+Zx+B与y轴的交点为（）

A.（0,2）B.（2,0）C.（0,3）D.（3,0）

4.（3分）△48C与△。所的相似比为1：4,则^力〃。与△。所的周长比为（）

A.1：2B.1：3C.1：4D.1：16

5.（3分）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（）

A./-4=0B.4A2+4X+1=0

C./+2升4=0D.x2-x-1=0

6.（3分）下列语句中，正确的是（）

A.经过三点一定可以作圆

B.等弧所对的圆周角相等

C.相等的弦所对的圆心角相等

D.三角形的外心到三角形各边距离相等

7.（3分）设4（-2,ji）,B（1,”），C（2,y3）是抛物线丁=3（x+1）2+4〃？（机为常数）上的三点，

则yi，”，了3的大小关系为（）

A.yi<yi<yiB.yi<yi<y3C.yi<_yi<yiD.yi<yz<y\

8.（3分）如图，。。的半径为4,将劣弧沿弦力8翻折，点C为优弧力8上的一个动点，则△/8C面积的

最大值是（）

第1页（共26页）

c

c.4%D.8+3>/2

9.（3分）AJ5C+，NC=90。，内切圆与48相切于点O,BD=3,则△48C的面积为（）

A.3B.6C.12D.无法确定

10.（3分）如图，在平面直角坐标系中，M,N,。三点的坐标分别为（1,1）,（3,1）,（3,0）,连接

3

AC,过点力作/出J_/。交y轴于点从点4随之运动，设点4的坐标为（0,b）（）

A.B.—b<lC.等（bal"D.

二、填空题：（本大题共8题，每小题3分，共24分）

11.（3分）已知&=&，则左耳|勺值是_____________________.

y2y

12.（3分）已知函数y=（m-l）xE+l是二次函数，则〃?=.

13.（3分）若圆锥的母线为10,底面半径为6,则圆锥的侧面枳为.

14.（3分）如图，尸为。。外一点，口切。。于力，/力尸。=45。，则。。的半径是.

60（3分）己^知关于工的一元二次方程F-（〃?+2）x+3=0的一个根为1,则加=_______.

16.（3分）若函数y=〃M-4x+l的图象与x轴有两个公共点，则〃?的范围是.

17.（3分）已知二次函数尸ad+bx+c的顶点。（-1,2）,与x轴的一个交点力在（-3,0）和（-2,

0）之间（不含端点），以下结论：①庐-4a》0；②"什cVO；③c-a=22+6x+c-2=0有两个相等的

实数根，其中正确的有.（填序号）

第2页（共26页）

18.（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点4（5,0）,以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动,

运动时间为/（s）,将△O4P沿4P翻折，得到△力PQ.当尸时，直线力P与

。。相切：当！=时，直线力。与相切.

三、解答题（本大题共9小题，共90分）

19.(10分)解下列一元二次方程:

(1)(x-1)2-4=0：

(2)f+6x+3=0；

(3)x2-4.v-5=0；

(4)⑵-1)2=2(21).

2（）.（1（）分）已知关于x的一元二次方程W-6.什2〃?+1=0有实数根.

（1）求实数机的取值范围；

（2）若方程的两个实数根为川，X2,且X|X2+X|+X2=15,求〃?的值.

21.（10分）如图，在△48C中，平分N48。交4C于点。

(1)求证：AABCs^BDC.

(2)若NC=90。，BC=2,求力8的长.

22.（10分）已知二次函数2加什〃什2（小是常数）的图象是抛物线.

第3页（共26页）

秒1个单位的速度向点。运动，设运动时间为，秒

（1）当点£在8c中点处，且产在线段力8上时，若△反8与四边形力8c。重叠部分为直角三角形：

（2）若点E与点、F同时从点4出发，点E在线段4C上，以每秒0.5个单位的速度向。点运动（0V名11）,

设的面积为s,求s与/的函数表达式.

备用图

27.（13分）如图1,抛物线^=口f-2仆+3与x轴相交于点力和点8（3,0）,与歹轴交于点C.点“为

抛物线上一动点，点”的横坐标为机，作口轴，垂足为“

（1）求抛物线的函数表达式：

（2）若0V〃z<l,当〃?为何值时，四边形CQ厂必是平行四边形；

（3）如图2,点P是抛物线对称轴上的一动点，当/力PC最大时（请直接写出结果）

图1图2

第5页（共26页）

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卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案CCCCBBAABB

一.选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A.ax2+hx+c=0B.x+y=1

2

C.1-Zx-3=0D.x+X=i

X

【解答】解：4、该方程没有规定存0,不符合题意；

从该方程中含有2个未知数，故本选项错误；

C、该方程符合一元二次方程的定义，符合题意；

。、该方程不是整式方程，不符合题意；

故选：C.

2.（3分）已知OO的半彳仝为4,0/1=5,则点力在（）

A.内B.。。上C.。。外D.无法确定

【解答】解：的半径为4,04=5,

半径，

二点4在。。外.

故选：C.

3.（3分）抛物线y=f+2x+3与y轴的交点为（）

A.（0,2）B.（2,0）C.（0,3）D.（3,0）

【解答】解：把x=0代入y=f+4x+3,求得y=3,

・•・抛物线y=，+2x+3,与y轴的交点坐标为（2.

故选：C.

4.（3分）△48C与△7）£尸的相以比为1：4,则。与△/）£尸的周长比为（）

第6页（共26页）

A.1：2B.1：3C.1：4D.1：16

【解答】解：与尸的相似比为1：4,

，△川冗*与△。b的周长比为3：4：

故选：C.

5.（3分）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（）

A.x2-4=0B.4X2+4X+1=0

C.X2+2X+4=0D.x2-^-1=0

【解答】解：/、A=0-4x6x（-4）=16>0.故本选项不符合题意；

B、A=82-4x7xl=0,该方程有两个相等的实数根；

C、A=22-4x5x4=-12<0,该方程无实数根；

D、△=（-3）2-4x4x（-1）=5>7,该方程有两个不相等的实数根；

故选：B.

6.（3分）下列语句中，正确的是（）

A.经过三点一定可以作圆

B.等弧所对的圆周角相等

C.相等的弦所对的圆心角相等

D.三角形的外心到三角形各边距离相等

【解答】解：力、经过不共线的三点一定可以作圆：

夙等弧所对的圆周角相等；

C、在同圆或等圆中，所以C选项错误：

。、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.

故选：B.

7.（3分）设力（-2,y\）,B（1,”），C（2,严）是抛物线y=3（/1）2+4〃？。〃为常数）上的三点，

则尸，,2，J3的大小关系为（）

A.y\<>,2<y3B.yi<y\<y3C.y3<y\<yiD.^3<>'2<^i

【解答】解：•・•抛物线y=3（x+1）6+4〃？（机为常数）的开口向上，对称轴为直线x=-1,

而。（7,月）离直线x=-1的距离最远，力（-2,〃）点离直线尤=-1最近，

故选：A.

8.（3分）如图，。。的半径为4,将劣弧沿弦月6翻折，点。为优弧力8上的一个动点，则△45C面积的

第7页（共26页）

最大值是（）

C.4百D.8+8>/2

【解答】解：如图，过点。作C兀于点r,交OO于点K,AK.

由题意48垂直平分线段OK,

：.AO=AK,

•：OA=OK,

：.OA=OK=AK,

：.ZOAK=N4OK=60。.

：.AH=O4・sin60。=4x^L=2百，

6

；・AH=BH,

：.AB=^AH=4y/3,

f：OC+OH>CT,

：.CT<6+2=6,

・・・cr的最大值为5,

•••△48。的面积的最大值为L3d§x6=12强，

2

故选：A.

9.（3分）△48C中，ZC=90°,内切圆与45相切于点。，BD=3,则的面积为（）

A.3B.6C.12D.无法确定

第8页（共26页）

【解答】解：设。的内切圆分别与力。、8C相切于点从F.

根据切线长定理，得4E=4O=2,CF,=CE=x.

根据勾股定理，得("2)5+(x+3)2=(8+3)2.

整理,得/+5X=6.

所以S&ABC=「C・BC

2

=1.(x+2)(x+3)

5

="(X2+4A+6)

2

=Xx(6+6)

4

故选：B.

10.（3分）如图，在平面直角坐标系中，M,N,C三点的坐标分别为（1,1）,（3,1）,（3,0）,连接

3

AC,过点彳作48_L/C交于点a点8随之运动，设点8的坐标为（0,b）（）

【解答】解：如图，延长NM交y轴于尸点.连接CN.

在△必8与△NC4中，ZAPB=ZCNA=90°,/PAB=NNCA=90°・/CAN,

:.APABSANCA,

.PB=PA

**NA而’

设Rl=x,贝i]N4=/W-Rl=3-x,

第9页（共26页）

•-•—y_x,

3-x7

.*.v=3x-x2=-(x-—)2+—,

24

V-1<3,-l-<r<5,

3

.•”=3时，丁有最大值生2=-£,

2454

八=7时，y有最小值()，

，♦的取值范围是

2

故选：B.

二、填空题：（本大题共8题，每小题3分，共24分）

11.（3分）已知&=互，则岂?勺值是_a_.

y2y2

【解答】解：由分比性质，得3二工=$二2=&,

y82

故答案为：2.

2

12.（3分）已知函数yMlm-Dx^+l是二次函数，则〃?=7

【解答】解：依题意得：/+|=5且”-1押，

解得m=-8.

故答案为：-1.

13.（3分）若圆锥的母线为10,底面半径为6,则圆锥的侧面积为6（ht.

【解答】解：圆锥的侧面积=工10・7个6=6011.

2

故答案为60TT.

14.（3分）如图，P为0。外一点，必切。。于4/4尸0=45。，则GO的半径是一3

第10页（共26页）

【解答】解：连接。L

•••以切OO于点力,

：.OAA-PA,

：.ZOAP=90°,

•・•ZAPO=45°,

：.OA=PA=3,

15.（3分）已知关于x的一元二次方程f-（m+2）x+3=0的一个根为1,则加=2.

【解答］解:把x=l代入方程得：1-（/〃+3）+3=0,

去括号得:3-m-2+3—5»

解得：m=2,

故答案为：2

16.（3分）若函数旷=〃涓-4x+1的图象与x轴有两个公共点，则/〃的范围是小V4且.

【解答】解：根据题意得“翔且4=（-4）4-4/〃>0,

解得〃?V4且机却.

故答案为m<4且m*6.

17.（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的顶点。（-1,2）,与x轴的一个交点力在（-3,0）和（-2,

0）之间（不含端点），以下结论：①力2-4“c>（）；②"+A+cV0；③c-4=22+〃X+C-2=（）有两个相等的

实数根，其中正确的有①②③④.（填序号）

第11页（共26页）

【解答】解：对于①：二次函数与X轴有两个交点，故A=〃-4ac>8,故①正确；

对于②：•・•与x轴的一个交点力在（・3,0）和（・8,

・•・/1点到对称轴直线犬=-1的距离在1到4之间，

根据对称性，二次函数与x轴的另一个交点到对称轴直线戈=-1的距离也在1到4之间，

故此时当x=l时，a+b+c<0；

对于③：设抛物线的顶点式为：y=a（x+6）2+2=ax7+2ax+a+2,与一般式,尸加+机。比较系数可知:

b=2a,c=a+2,故③正确；

对于④：二》=ax^+bx+c的最大值为2,

：,y=ax1+bx+c^y=2的交点只有1个，

故方程ax2+bx+c-5=0有两个相等的实数根，故④正确；

故答案为：①②③④.

18.（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点/（5,0）,以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，

运动时间为f（s）,将△0/尸沿力。翻折，得到△力PQ.当尸_迈_时，直线与。。相切；当,

4

【解答】解：（1）当与。。相切时，如图,

第12页（共26页）

Q

设力。切OO于点£连接。0，

由折售得△/P。，

C.OQLAP,

工。。经过点E,

：.OEA.AP,

•・・,AP・OE=1<)A・OP，

乙乙

即3AP=3t,

•**AP=|*t

u

*：AP5=OP2+OA2,

•••(|t)2=t4+2

故答案为：IL.

4

(2)当/。与OO相切时，如图，

设40切。。于点。，连接O。，连接0Q,

：・OD=6,ODLAQ,

•・Q=5,

第13页(共26页)

：.AD=4,

*：A(5,0),

：,OA=AQ=5,

：・OD=2,

••・^0=<\/DQ2<ID2=V72+35=屈'

由折登得△月PQ.

J.OQLAP,OM=MQ

，：OP=t,OA=5,

吟AP・0M力A・0P，

乙乙

pn2.V108r-

NJyADP-y-=yXv5*f

AP=x/10t，

*:AP5=OP2+OA2,

・,.10户=尸+25,

解得t二旦或t二至(舍去)；

23

当AQ的反向延长线与。0相切时，

设。。切OO于点。，连接

：.ODA.AQ,

：.OA4=OD2+AD2,

1・AD=2,

,：OA1=AD*AE,

第14页（共26页）

・・・AE吟

•；AE・OD=OA・OE,

x3

AEXODf15

57

，PE-喏

*：PQVAQ,

解得/=15

故答案为：立或15.

6

三、解答题（本大题共9小题，共9U分）

19.(10分)解下列一元二次方程:

(1)(x-1)2-4=0；

(2)X2+6X+3=0：

(3)，4%-5=0：

(4)(2x7)2=2(2v-1).

【解答】解：(1)(x-1)2-8=0,

工(x-1)』4,

Ax-1=±8,

解得：工1=-1，X7=3,

(2)/+6x+3=(),

：.X2+6X+9=4,

工(x+3)2=8,

Ax+3=±加，

解得：X8=-3-V6，X4=-3+V6*

(3)X7-4X-5=8,

:.(x+1)(x-5)=7,

・・・.什1=0或x-5=0,

第15页（共26页）

解得：XI=-7,.V2=5；

(4)(6x-I)2=3⑵-1),

・•・(4x-1)2-2(2x-1)=8,

:.(2x7)(2.r-3)=0,

3x-1=0或4x-3=0,

解得：x2=y,x7=1--

20.(10分)已知关于x的一元二次方程—・6.什2〃?+1=0有实数根.

(1)求实数〃?的取值范围；

(2)若方程的两个实数根为力，X2,且用X2+%l+X2=15,求〃？的值.

【解答】解：(1)由题意得，A=(-6)2-5(2m+1)>6,

解得心4;

(2)•・•关于x的一元二次方程f-7x+2加+1=6的两个实数限为xi，也，

'*xm=2m+lXI+X2=3,

x\X2+X3+x2=2"?+2+6=15>

解得m=4.

21.(10分)如图，在△力8c中，8。平分N48C交4c于点。

(1)求证：AABCs2BDC.

(2)若NC=90。，BC=2,求月4的长.

【解答】（1）证明：如图，.；AD=BD,

，/A=/DBA,

•/BD平分NABC交AC于点D,

：・/CBD=/DBA,

・•・/A=NCBD,

•・・NC=NC,

:•△ABCSABDC.

第16页(共26页)

（2）解：如图,VZC=90°,

JZA+ZABC=900,

平分N<BC,

ZABD=ZCBD,

♦：4D=BD,

：.N4=N4BD,

/.ZJ+ZABD+ZCBD=3ZJ=90°,

・•・ZA=30°,

,:BC=2,

：,AB=4,

22.（10分）已知二次函数2〃?x+机+2（机是常数）的图象是抛物线.

（1）若图象经过点（2,3）,求加的值和图象的顶点坐标；

（2）若抛物线的顶点在x轴上，则m=2或7；

（3）若点8（2,a）,C（5,b）在抛物线上，且a>A_m>工一■

2

【解答】解：⑴由条件可得-2心+〃?+6,

3=28-2mx2+加+5,

解得：m=1,

・•・二次函数的解析式为尸产_&什3=（x-1）7+2,

・•・顶点坐标为（1,4）；

（2）将抛物线解析式配方得尸（X-///）2./〃2+加+3,抛物线的顶点在x轴上，

-〃?2+〃?+2=6,

解得""=2,/〃8=-1»

故答案为：2或-7.

（3）把8（2,a）,b）代入函数关系式得:a=6・8〃n

*：a>b,

.*.6-3/n>27-4m,

解得：

故答案为：m>-

2

23.（10分）如图，以44边为直径的0O经过点P,C是。O上一点，且/4C『=60。，PA=PD.

第17页（共26页）

(1)试判断PZ)与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若点。是弧48的中点，已知力8=4,求CE•8的值.

【解答】解：（1）如图，尸。是的切线.

证明如下：

连接OP,

/4C尸=60。，

・•・ZJOP=120°,

〈OA=OP,

：.ZOAP=ZOPA=3O0,

,:PA=PD,

••・NB4O=NO=30。，

；・NOPQ=90。,

・・・P。是0。的切线.

（2）连接8C,

是0。的直径，

/.ZACB=90°,

又・・・C为弧N5的中点,

，ZCAB=ZABC=ZAPC=45°,

・.・"=4,AC=ABsin45°=276.

VZC=ZC,NC4B=/APC,

：.4CAEs〉CPA,

・CACE

••一i・l=,,

CPCA

；・CP・CE=CA2=（2V2）2=8.

第18页(共26页)

D

24.（10分）某服装厂里有许多剩余的三角形边角料，找出一块乙力〃。，测得/C=90。（如图），做成玩具,

要求：使半圆。与三角形的两边48、力。相切，且与8。交于点E.

（1）在图中设计出符合要求的方案示意图.（要求：尺规作绍，不写作法，保留作图痕迹）.

（2）8△44。中，AC=3,AB=5,求出力。的长度.

【解答】解：（1）半圆。就是所求的图形;

（2）连接。。

VRtAJ5C4>,AC=3,根据勾股定理得5c=4,

由题意可知，43是。。的切线，

；・NODB=90。,AD=AC=2,

:.BD=2,

设0。的半径为广，则&/力卯;OB=4-r,

"+22=（3-r）2,

解得r=X

4

在RtZX/CO中，根据勾股定理得力。=3叵

8

答：力。为&/方山；耳瓦.

第19页（共26页）

A

25.(10分)某汽车4S店销售48两种型号的轿车，具体信息如下表:

每辆进价(万元)每辆售价(万元)每季度销量(辆)

A60X-x+100

B50y-2^+150

(注：厂家要求4S店每季度B型轿车的销量是A型轿车销量的2倍.)

根据以上信息解答下列问题：

(1)用含x的代数式表示小

(2)今年第三季度该4s店销售小A两种型号轿车的利润恰好相同(利润不为())，试求x的值;

(3)求该4s店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润.

【解答】解：(1)根据题意得：-2.y+150=2(-x+100),

整理得：y=x-25；

(2)根据题意得：(x-60)(-x+100)=(j/-50)(-5y+\50)f

由(1)知，y=x-25,

/.(x・60)(-x+100)=(x-75)(-Zr+200),

整理得：x2-190x+9000=4,

解得xi=90,X2=100,

Vx=100时利润为2,

：、x的值为90；

(3)设该4s店第四季度销售这两种轿车能获得的利润为w万元，

贝ijw=(x-60)(-x+100)+(y-50)(-2y+150)

=(x-60)(-x+100)+(x-75)(-5x+200)

=・3f+510x・21000

=-5(x-85)2+675,

V-3<3,

・•・当x=85时，w有最大值,

第20页(共26页)

答：该4s店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润为675万元.

26.（13分）如图，在平行四边形48CO中，力。=6,£为8c边上的一动点，动点/从点8出发，以每

秒1个单位的速度向点D运动，设运动时间为，秒

（1）当点石在5c中点处，且尸在线段上时，若△FE8与四边形力4CQ重叠部分为直角三角形；

（2）若点E与点、F同时从点B出发，点、E在线段3c上，以每秒0.5个单位的速度向C点运动（0〈注11）,

设△FA/9的面积为s,求s与，的函数表达式.

备用图

【解答】解：（1）如图1,在平行四边形4BC。中，AB=AC=5,过点力作力兀L8C于点7,

图1

•，-BT=TC=^BC=fAD=3»

在直角三角形487中，由勾股定理得：AT4AB24:4

'sin/ABC喷亭

①设£夕与48交于点〃，当£8'J_/i8时,

点石在8C中点处，则BE二工BC=7，

2

由对称的性质可知：BE=EB'=3,

,EH=BEsinZABC=3x］，名

bb

在直角三角形中，由勾股定理得:BH=7BE3-EH2

由题意得:BF=B'F=t,则FH=

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%

,WinNB-看

解得：z=l：

②当EEL/IB时，如图2,

图3

在RtAEFB中，sin/B强哈

BE5

・・.EF4・BE=gx3W，

bob

在直角三角形8环中，由勾股定理得：BF=7BE3-EF2=^33-(y-)2

又,：BF=t,

③当"\L8C时，过/作力G_L8C于点G,

佟14

•••sin/B嘿管

・"G=4,

:.BG=3,

••・此时E与G重合，即此与尸重合,

:.BF=AB=5,

.*./=8；

综上所述，，=1或旦；

2

(2)①・・・48=5,点尸的速度为1,

・••当3Ve5时，尸在力B上,

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AD

图5

由题意可知，4FBM和关于EF对称,BE=ft，

S^FMB'—SdFBM，

作切〃8C,交,BD千点、H,

•••四边形力4c。是平行四边形,

：.AD//BC,

：,FH//AD,

:.△BFHs/\BAD,4FHMS/\EBM,

•・•BF=BAT—FII—二FM9

FHADBEME

'：BA=5,力0=6,

.工8.

^FHT±tME'

8Z

b

%

.FH=FH_3二12

**ME~3~1~8,

5t5t

作ENLAB交AB于点N,

.WnNABC喘号Y，

BE±t5

•••EN=yt，

•••SABEF=1FB*EN=|f|-t=|t4,

..SAFBM_FM_12

•1111,-----・,

^ANBEEM5

二

•C_12,12_x^+2__12+3

SSxt飞

,•AFBM-12+5ABEF-1755-

._122

・3而t+'

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@'：AB=5,AD=3,

・••当5V£11时，尸在力。上,

同理可知，S^FMff=S&FBM，

由题意可知，AB+AF=t,

8

•;AB=5,

：,AF=t-AB=t-5,

又。：AD=2,

；・*D=AD-A卜=6-(/-5)