2024-2025学年深圳市某中学高一（上）期中数学试卷及解析版

2024-2025学年广东省深圳市华中师大龙岗附中高一（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.（5分）设。=Z,/={1,3,5,7,9},2={1,2,3,4,5},则图中阴影部分表示的集合是（）

2.(5分)命题TxCR,x2-2x+2<0w的否定是()

A.x1-2x+220B.HxeR,x2-2x+2>0

C.VxGR,x2-2x+2W0D.VxGR,x2-2x+2>0

3.(5分)函数/(x)=优+1(a>0,且aWl)的图象过的定点是()

A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,0)

4.(5分)“关于x的不等式--2ax+a>0对VxeR恒成立”的一个必要不充分条件是()

1

A.0<tz<lB.a>lC.0<a<jD.0<a<2

5.(5分)已知偶函数/(x),当x>0时，f(x)=x2+x,则当x<0时，/(x)=()

A.-x2+xB.-x2-xC.JC+XD.x2-x

b

6.(5分)已知关于x的一元二次不等式a/+6x+c>0的解集为{x|l<x<3},则不等式---->0的解集为

C^CICL

()

11

A.{%|一可<xV4}B.{%|—4VxV一可}

C.{邓;<-4或久)一。D.{久lxV一号或x>4}

(xH------1>x>4/

7.(5分)若函数〃>)=x在R上单调递增，则实数。的取值范围是()

(凝-3,x<4

A.(0,1)B.(1,4]C.(1,8]D.(1,16]

3151

8.（5分）已知a=4邛，b=6)3,c—(4)3,则a,b,c的大小顺序为（

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b

第1页（共16页）

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）对于实数访b,c,下列命题为假命题的有（）

11

A.若a>b,则一V丁B.若a>b,贝!J碇2〉602

ab

ab

C.若a<b<0则a2>ab>b2D.若c>b,则--->--

c—ac—b

（多选）10.（6分）有以下判断，其中是正确判断的有（）

A.f（x）=塔与9（久）=[L%2。表示同一•函数

x1-1,x<0

B.函数y=/（x）的图象与直线x=l的交点最多有1个

C.f（x）—X2-2x+l与g⑺=?-2/+1是同一函数

D.函数y=/（x）的定义域为[2,3],则函数y=/（2x-l）的定义域为[|,2]

（多选）11.（6分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数f（x）=[L"CQ,

to,x6QRQ

被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，。为有理数集，则以下关于狄利克雷函数/（x）的结论中，正

确的是（）

A.函数/（x）满足：/（-x）—f（x）

B.函数/（x）的值域是[0,1]

C.对于任意的xCR,都有/（/（x））=1

D.在/（x）图象上不存在不同的三个点/、B、C,使得△N8C为等边三角形

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）怖+27。（点）。+屋）弓=.

13.（5分）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加

田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比

赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加田径一项比赛的人数是.

14.（5分）在人与自然的斗争中，病毒是一个可怕的敌人，为了抗击某种“疫情”，某制药厂最近新增了一

条生产线，该生产线的年固定成本为250万元，每生产x千箱防疫物资需另投入成本C（x）万元.当年

产量大于或等于80千箱时，CQ）=61%+丹丝-1450（万元）；当年产量不足80千箱时，CQ）=#+

第2页（共16页）

20x(万元).每千箱产品的售价为60万元，该厂生产的产品能全部售完.年产量为千箱

时，该厂当年的利润最大.

四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤。

15.已知集合4="|-1WXW4},B={x\-l<x<a}.

(1)当a=2时，求AUB；

(2)若求a的取值范围.

1

16.已知命题p：对任意实数x,不等式一2久+2>0恒成立；命题g：关于x的方程4/+4(加-2)x+1

=0无实数根.

(1)若p为真命题，求实数加的取值范围，

(2)若的题0,q有且只有一个是真命题，求实数班的取值范围.

17.已知函数/(x)=ax+b(tz>0,且aWl).

(1)若函数/(x)的图象过(0,2)和(2,10)两点，求/(x)在［0,1］上的值域;

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a2

(2)若函数/G)在区间［2,3］上的最大值比最小值大万，求。的值.

18.已知函数/(x)=甯^是定义在［-1,1］上的奇函数，且/(I)=1.

(1)求正,n的值:

(2)试判断函数/(x)的单调性，并证明你的结论;

(3)求使/(a-1)V<«2-<0成立的实数。的取值范围.

19.若二次函数y=/(x)对任意x属于实数都满足了(x+1)=/(1-x),其最小值为-1,且有/(0)=0.

(1)求/(x)的解析式;

(2)解关于x的不等式f(x)>2a-ax；

(3)设函数g(x)=/(x)-(a-2)x+3,求g(x)在区间［-1,1］的最小值.

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2024-2025学年广东省深圳市华中师大龙岗附中高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案DDCDDDBB

二.多选题（共3小题）

题号91011

答案ABDBCDAC

一、单选题：本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.（5分）设。=Z,/={1,3,5,7,9},2={1,2,3,4,5},则图中阴影部分表示的集合是（）

5}C.{7,9}D.{2,4}

【分析】根据题意，分析可得，阴影部分的元素为属于2但不属于/的元素，根据已知的/、B,分析

可得答案.

【解答】解：根据题意，分析可得，阴影部分的元素为属于2但不属于/的元素,

即阴影部分表示（Cu/）A5,

又有/={1,3,5,7,9},5={1,2,3,4,5},

贝I（CuN）H5={2,4},

故选：D.

【点评】本题考查集合的图示表示法，一般采取数形结合的标数法或集合关系分析法.

2.（5分）命题BxGR,/-2x+2W0”的否定是（）

A.SxGR,X2-2x+220B.3.xGR,x2-2x+2>0

C.VxGR,x2-2x+2W0D.VxGR,X2-2x+2>0

【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.

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【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：mxYR,x2-2x+2W0”的否定是：VxGR,x2-2x+2

>0.

故选：D.

【点评】本题考查命题的否定.特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查.

3.(5分)函数/'(x)=〃+1(a>0,且aWl)的图象过的定点是()

A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,0)

【分析】根据指数函数》=/的图象过定点(0,1),从而可求解.

【解答】解：•指数函数的图象过定点(0,I),

...函数/'(X)=〃+1的图象过定点(0,2).

故C正确.

故选：C.

【点评】本题考查指数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

4.(5分)“关于x的不等式：-2"+°>0对VxCR恒成立”的一个必要不充分条件是()

1

A.0<a<lB.a>lC.0<a<jD.0<a<2

【分析】根据恒成立思想以及一元二次不等式的性质建立不等式求出。的范围，再根据必要不充分条件

的定义即可判断求解.

【解答】解：因为关于x的不等式x2-2ax+a>0对VxCR恒成立，

则只需4次-40<0,解得

所以“关于x的不等式--2公+°>0对Vx&R恒成立”的一个必要不充分条件为选项，

故选：D.

【点评】本题考查了必要不充分条件的定义，涉及到二次函数的性质，属于基础题.

5.(5分)已知偶函数/(x),当x>0时，/(x)=x2+x,则当x<0时，/(%)=()

A.-x2+xB.-X1-xC.x2+xD.x2-x

【分析】设x<0,可得-x>0,由题意可得了(-x)的解析式，再由偶函数的性质可得/(x)的解析式.

【解答】解：由偶函数f(x),当x>0时，f(x)—x2+x,当x<0时，则-x>0,

所以/(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x,

所以f(x)—f(-X)—X2-X,

故选：D.

【点评】本题考查偶函数的性质的应用，属于基础题.

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a%+b

6.（5分）已知关于x的一元二次不等式a/+6x+c>0的解集为{x[l<x<3},则不等式——>0的解集为

COCICC

（）

11

A.{%|一可VxV4}B.\x|-4VxV一可}

11、

C.{小<-4或%>一可}D.{H%V—可或%>4}

【分析】由题意可知1和3是方程ax2+bx+c=0的两个根，且。<0,由韦达定理可得b=-4。，c=3a,

ccx~\~b

代入不等式——>0化简求解即可.

cx+a

【解答】解：•关于x的一元二次不等式af+bx+c>。的解集为{x|l<x<3},

1和3是方程ax2+bx+c^O的两个根，且a<0,

[1+3

•)a.(b=—4a

tc=3a

(1x3=-

la

一一ax+b一八，ax—4a

二・不等式---->0可化为，------>0,

cx+a3ax+a

x—4

即T〉0，

3x+l

等价于(%-4)(3x+l)>0,

解得xV—@或x>4,

即原不等式的解集为{小或x>4}.

故选：D.

【点评】本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了分式不等式的解法，属于基础题.

xH----1,124,

7.（5分）若函数fO）=久在R上单调递增，则实数。的取值范围是（

ax~3,x<4

A.（0,1）B.（1,4]C.（1,8]D.（1,16]

【分析】根据分段函数的单调性以及指数函数的性质求解即可.

【解答】解：由指数函数的底数要求只讨论。>0且

由题意得比24,/0）=%+£—1为单调递增,

因为双勾函数/（X）=%+三一1在（0,北）单调递减，[迎，+oo）单调递增,

所以四44,故0<aW16；

又x<4时，/（x）=/.3为单调递增，故.>1；

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再由（1134+*—1,得aW4；

综上，1<°W4.

故选：B.

【点评】本题主要考查了指数函数及对勾函数单调性的应用，还考查了分段函数性质的应用，属于中档

题.

Q1C.1Q1

8.（5分）已知a=（卷邛，b=（|）3,。=弓尸，则0,b,c的大小顺序为（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b

【分析】根据已知条件及指数运算性质，结合指数函数和幕函数的单调性即可求解.

（21q1

【解答】解：由题意可知，。=（弱-2=（步2,

因为y=（勃在（-8，+oo）上是单调递增，且弋vj,

c.1s1

所以G）2>G）3,即a>b,

2141

由题意可知，c=（1）-3=（1）3,

145

因为y=%4在（-8,+8）上是单调递增，且EV1

41s1

所以即。〈儿

所以a>b>c.

故选：B.

【点评】本题主要考查指数大小的比较，考查指数函数与幕函数单调性的应用，考查逻辑推理能力，属

于基础题.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）对于实数q,b,c,下列命题为假命题的有（）

11

A.若a>b,则一V：

ab

B.若a>b,则ac2>bc2

C.若a<b<0贝！Ja2>ab>b2

ab

D.若c>a>6,则——>--

c—ac—b

【分析】利用特殊值可判断45均为假命题，再由作差法以及不等式性质可得。为真命题，。为假命题.

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【解答】解：/项，若。>0,b<0,贝卜>0>；,即/为假命题；

ab

5项，当c=0时，不等式不成立，即5为假命题；

。项，由。<6<0可得q-6V0,易知。之-(a-b)>0,ab-b2=b(a-b)>0,

所以。2>必>庐，可得。为真命题；

。项，由c>a>b可得c-Q>0,c-b>0,a-b>0,

一-，aba(c—b)—b(c—a)c(a—b)

所以--------=--------------=-----------,

c—ac—b(c—a)(c—b)(c—a)(c—b)

因为。的符号不确定，所以‘-〉二不一定正确，即。为假命题.

c—ac—b

故选：ABD.

【点评】本题考查不等式的性质，属于基础题.

(多选)10.(6分)有以下判断，其中是正确判断的有()

A./(%):可与g(%)=[1'%之0表示同一函数

B.函数歹=/(x)的图象与直线％=1的交点最多有1个

C.f(x)=x2-2x+l与g(%)=t2-2什1是同一函数

D.函数y=/(x)的定乂域为[2,3],则函数y=/(2x-l)的定乂域为后，2]

【分析】对于4先求出两函数定义域，由两函数定义域不同即可判断；对于瓦由函数定义分函数y

=/(x)在x=l处有没有定义即可判断；对于C,由函数的定义域和对应关系即可判断；对于。，先由

函数y=/(x+l)定义域为[1,2]得2Wx+lW3,从而得函数>=/(2x-1)有2W2x-lW3,解该不等式

即可得解.

【解答】解：对于4函数/。)=塔的定义域为{x|xW0},函数g(x)=[l'"2°定义域为R,

x1-1,%<0

故函数/(X)和g(X)不是同一函数，故N错误；

对于3,若函数y=/(x)在x=l处有定义，则y=/(x)的图象与直线x=l的交点有1个,

若函数y=/(x)在x=l处没有定义，则y=/(x)的图象与直线x=l的没有交点；

所以函数y=/(x)的图象与直线x=l的交点最多有1个，故2正确；

对于C,因为函数/(x)=x2-2x+l与gC)=於-2什1的定义域均为尺，

且两函数对应关系相同，所以函数/(x)与g(?)是同一函数，故C正确；

对于。，对函数y=/(x),其定义域为[2,3],

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3

所以对函数》=/(2x7)有2W2x-1W3,解得5<%<2,

所以函数产/'(2x7)的定义域为忘2],故。正确.

故选：BCD.

【点评】本题主要考查函数的应用，属于中档题.

(多选)11.(6分)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数/(“)=[1',

(0,x6CRQ

被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，。为有理数集，则以下关于狄利克雷函数/(x)的结论中，正

确的是()

A.函数/(x)满足：/(-x)—f(x)

B.函数/(x)的值域是[0,1]

C.对于任意的xCR,都有/(/(x))=1

D.在/(x)图象上不存在不同的三个点/、B、C,使得△/BC为等边三角形

【分析】根据狄利克雷函数的解析式，结合函数的三要素、函数的奇偶性，对选项4B,C三项依次分

析，可得这三项的正误；然后通过取特殊点进行说明，判断出。项的正误，可得答案.

【解答】解：对于选项/,根据狄利克雷函数的解析式，

若xCQ,贝！|-xCQ,可得/(-X)=l=/(x)；若XCCR。，则-X6CR。，可得/(-X)=0=/(X).

综上所述，对于任意x6R,总有/(-x)—f(x)成立，故/项正确，

对于选项8,7(x)的函数值只可能是0或1,

所以/G)的值域为{0,1},而不是[0,1],故2项错误，

对于选项C,若xCQ,则/(x)=1,可得/(/(X))=f(1)=1,

若X《R。，则/(x)=0,可得f(x))=/(0)=1,故C项正确，

对于选项D,取4(0,1),B昌,0),C(-*,0),

此时|4B|=\AC\=\BC\=孚，可知△48C为等边三角形.

所以/(x)图象上存在不同的三点/、B、C,使得为等边三角形，故。项不正确.

故选：AC.

【点评】本题主要考查函数的定义与简单性质、分段函数的应用等知识，考查了概念的理解能力、逻辑

推理能力，属于中档题.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

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a21q140

12.（5分）怖+273+（壶）0+（磊产=_y_.

【分析】根据指数幕的运算性质即可求解.

12Q1AA（\

【解答】解：原式=（26）6+（33）5+1+［（*）2「2=2+9+1+4=竽.

40

故答案为：石.

【点评】本题主要考查了有理数指数幕的运算性质，属于基础题.

13.（5分）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加

田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比

赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加田径一项比赛的人数是2.

【分析】依题意，可画出该问题对应的韦恩图表示出参加各项比赛的人数，再由全班总人数列方程可解

得结果.

【解答】解：根据题意可知，可设只参加田径一项比赛的人数是x人，

又有8人参加田径比赛，3人同时参加游泳比赛和田径比赛，

所以可得有5-x人同时参加球类和田径比赛，

又有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，

可得有6+x人只参加球类一项比赛，9人参加一项游泳比赛，

画出韦恩图表示，如下图所示：

径.

所以可得9+3+3+x+5-x+6+x=28,

解得x=2,

即只参加田径一项比赛的人数是2人.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了利用作〃〃图表示集合间的关系，属于基础题.

14.（5分）在人与自然的斗争中，病毒是一个可怕的敌人，为了抗击某种“疫情”，某制药厂最近新增了一

条生产线，该生产线的年固定成本为250万元，每生产x千箱防疫物资需另投入成本C（x）万元.当年

产量大于或等于80千箱时，C（x）=61x+10^00_1450（万元）；当年产量不足80千箱时，C（x）=号/+

20%（万元）.每千箱产品的售价为60万元，该厂生产的产品能全部售完.年产量为100千箱时,

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该厂当年的利润最大.

【分析】根据题意写出利润y与年产量x的函数关系式，再根据函数计算当y取最大值时x的取值是多

少.

【解答】解：设年产量为x千箱，当年的利润为y万元，

由利润=收入-成本，得y=60x-C(x)-250,xGN；

f61x+10000-1450,x>80,XGN

•：CG)=，*,

(耳/+20久，0<x<80,xEN

(60-#-20%-250,0<x<80,xEN

•*y=)loooo'

60%—61%—+1450-250,%>80,xEN

vx

(-可%2+40%—250,0<%<80/xEN

**y=|10000，

-x-+1200,%>80,xEN

\x

-11

当0Wx<80时，y=-3-x2+40x-250=-3x(x-60)2+950,

由二次函数的性质知，当x=60时y取最大值为950,

当x080时，y=-(x+10°00)+1200<-212222+1200=1000,

当且仅当》=竺手，即x=100时，y取得最大值为1000,

又1000>950,.,.当年产量为100千箱时，该厂当年的利润取得最大值1000万元.

故答案为：100.

【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.

四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤。

15.已知集合4="|-1WXW4},B={x\-l<x<a}.

(1)当a=2时，求AUB；

(2)若求a的取值范围.

【分析】(1)代入。值，根据交集和并集含义即可；

(2)分析得8=/,分3=0和8W0讨论即可.

【解答】解：(1)。=2时，B^{x\-l<x<2},

则NC8={x|-1Vx<2},/U3={x|-1WXW4}.

(2)若则以BU/,

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当8W0时，则卜>一1,则-l<aW4.

a<4

当5=0时，则aW-1；

综上。的取值范围为{〃|aW4}.

【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.

16.已知命题P：对任意实数x,不等式小久2-2久+±>0恒成立；命题g：关于X的方程4/+4(加-2)x+1

=0无实数根.

(1)若p为真命题，求实数旭的取值范围，

(2)若的题0,q有且只有一个是真命题，求实数%的取值范围.

【分析】(1)由一元二次不等式恒成立，列式求出％的范围；

(2)求出命题q真时加的范围，结合(1)分类求出实数优的取值范围.

【解答】解：(1)对任意实数x,不等式m/一2久+3>0都成立，

当加=0时，不等式化为-2x+J>0,即不符合题意；

当加W0时，要使对任意实数X,不等式771/一2%+号〉0恒成立，

f4—2m<0E/口

贝n叼l，解得加>2.

\m>0

所以命题夕真时，实数切的取值范围是(2,+8)；

(2)若夕真，即方程4?+4(冽-2)x+l=0无实数根，则16(m-2)2-16<0,解得IV冽<3,

即命题9真时，1<加<3,由(1)知，命题夕真时，加>2,

由命题夕、乡中有且仅有一个是真命题，

得当夕真夕假时，m>2,且加或加与3,因此加23；

当夕假9真时，mW2,且IVmV3,因此1〈机W2,

所以实数加的取值范围为(1,2］U［3,+8).

【点评】本题考查复合命题的真假判断及应用，考查运算求解能力，是基础题.

17.已知函数/(x)=dc+b(iz>0,且"W1).

(1)若函数/(x)的图象过(0,2)和(2,10)两点，求/(x)在［0,1］上的值域；

公

(2)若函数/(x)在区间［2,3］上的最大值比最小值大万，求。的值.

【分析】(1)将点坐标代入解析式，列出方程组求出a,b,再根据函数的单调性求出值域；

(2)根据函数单调性求出最大值和最小值，列出方程，求解。的值.

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【解答】解：(1)由题意,f(0)=a°+b=l+b=2,f(2)=a2+b=l0,

又a>0,解得a=3,b=1,所以/(x)—3x+l.

因为/(x)在［0,1］上单调递增，所以3工+16［2,4］,

所以/(x)在［0,1］上的值域为［2,4］.

(2)当0<a<1时，/(%)在区间［2,3］上单调递减，

23

所以fOLax=/(2)=a+b,f(x)min=/(3)=a+b,

因此④+b)-(a3+b)-解得a=称或a=Q(舍去)，

当a>l时，f(x)在区间［2,3］上单调递增，

32

所以fQLax=/(3)=a+b,/(x)min=/(2)=a+b,

因此3+b~)-(a2+b)解得a=擀或a=0(舍去)，

所以a=■或a=W

【点评】本题考查了指数函数应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.

18.已知函数/G)=笑普是定义在［-1,1］上的奇函数，且/(I)=1.

(1)求加，〃的值：

(2)试判断函数/(x)的单调性，并证明你的结论；

(3)求使/(a-1)V<«2-1)<0成立的实数。的取值范围.

【分析】(1)由奇函数的性质可得/XO)=0,结合/(I)=1,解方程可得根,〃的值；

(2)/(x)在［-1,1］上为增函数，再由单调性的定义证明，注意运用因式分解和不等式的性质；

(3)由奇函数/(x)在［-1,1］上为增函数，可将不等式的两边的T去掉，解不等式可得所求取值范

围.

【解答】解：(1)函数/G)=鬟普是定义在［-1,1］上的奇函数，

且/(I)=1,可得/(0)=0即〃=0；

1

又5(机+〃)=1,则冽=2,所以加=2,〃=0；

(2)/00=告^在［-1,1］上为增函数.

证明：设-1WX1<X2W1,则/Gl)-/(X2)=f^-一驾

Xi~r1%7•工

二2(巧一生2)(1-/冷)

22

(X1+1)(X2+1)

由-lWxi<X2Wl,可得Xl-X2<0,X1X2<1,

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则f(XI)-f(X2)<0,即/(XI)</(X2),

所以/(X)在［-1,1］上为增函数；

(3)由/(X)为奇函数，

可得/(a-1)+f(a2-l)<0即为/(a-1)<-/(/-1)=/(1-a2),

由/(x)在［-1,1］上为增函数，可得-iWa-1<1-/wi,

解得0Wa<l,即a的取值范围是［0,1).

【点评】本题考查函数的奇欧旭和单调性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题.

19.若二次函数y=/(x)对任意x属于实数都满足了(x+1)=/(1-%),其最小值为-1,且有/(0)=0.

(1)求/(x)的解析式；

(2)解关于x的不等式/(x)>2a-ax；

(3)设函数g(x)—f(x)-(a-2)x+3,求g(x)在区间［-1,1］的最小值.

【分析】(1)由题意可得函数的对称轴，设顶点式方程，由/(0)=0,可得参数的值，即求出函数的解

析式；

(2)分类讨论可得不等式的解集；

(3)分类讨论可得函数的最小值的解析式.

【解答】解：(1)因为/(x+1)=/(1-X),

可得函数的对称轴x=l,

由题意设二次函数f(x)—a(x-1)2-1,

而/(0)—a-1=0,可得a=l,

所以f(x)=(x-1)2-1—x2-2x；

(2)f(x)>2a-ax,可得(x~1)2-1>2a-ax,

即x2-(2-a)x-2a>0,

即(x-2)(x+a)>0,

当-a=2,即a=-2时，不等式为(x-2)2>0,

则不等式的解集为｛x|xW2｝；

当-a>2,即a<-2,不等式的解集为｛x|x>-a或x<2｝；

当-a<2,即a>-2,不等式的解集为｛邓:>2或x<-a｝.

综上所述：。=-2时，不等式的解集为｛x|x#2｝；

a<-2,不等式的解集为｛x|x>-a或x<2｝；

a>-2,不等式的解集为｛x|x>2或x<-a｝；

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(3)g(x)=f(x)-(Q-2)X+3=(x-I)2—-(a-2)x+3=x^-QX+3,

开口向上，对称轴％=•1，

当I三一1时，即“W-2,则在［-1,1］时单调递增，所以g(x)min=g(-1)=l+a+3=a+4,

当时，即则-1,1］时单调递减，所以g(x)机玩=g(1)=1-。+3=-。+4,

当-2<a<2时，-1,1］时先减后增，所以g(%)加加=g(5)=±-4模+3=-a+3.

—a+4,aN2

-。+3,-2<a<2-

(CL+4,CLW—2

【点评】本题考查分类讨论的思想的应用，属于基础题.

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2024-2025学年广东省深圳市华中师大龙岗附中高一（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.（5分）设。=Z,/={1,3,5,7,9},2={1,2,3,4,5},则图中阴影部分表示的集合是（）

2.(5分)命题TxCR,x2-2x+2<0w的否定是()

A.x1-2x+220B.HxeR,x2-2x+2>0

C.VxGR,x2-2x+2W0D.VxGR,x2-2x+2>0

3.(5分)函数/(x)=优+1(a>0,且aWl)的图象过的定点是()

A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,0)

4.(5分)“关于x的不等式--2ax+a>0对VxeR恒成立”的一个必要不充分条件是()

1

A.0<tz<lB.a>lC.0<a<jD.0<a<2

5.(5分)已知偶函数/(x),当x>0时，f(x)=x2+x,则当x<0时，/(x)=()

A.-x2+xB.-x2-xC.JC+XD.x2-x

b

6.(5分)已知关于x的一元二次不等式a/+6x+c>0的解集为{x|l<x<3},则不等式---->0的解集为

C^CICL

()

11

A.{%|一可<xV4}B.{%|—4VxV一可}

C.{邓;<-4或久)一。D.{久lxV一号或x>4}

(xH------1>x>4/

7.(5分)若函数〃>)=x在R上单调递增，则实数。的取值范围是()

(凝-3,x<4

A.(0,1)B.(1,4]C.(1,8]D.(1,16]

3151

8.（5分）已知a=4邛，b=6)3,c—(4)3,则a,b,c的大小顺序为（

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）对于实数访b,c,下列命题为假命题的有（）

11

A.若a>b,则一V丁B.若a>b,贝!J碇2〉602

ab

ab

C.若a<b<0则a2>ab>b2D.若c>b,则--->--

c—ac—b

（多选）10.（6分）有以下判断，其中是正确判断的有（）

A.f（x）=塔与9（久）=[L%2。表示同一•函数

x1-1,x<0

B.函数y=/（x）的图象与直线x=l的交点最多有1个

C.f（x）—X2-2x+l与g⑺=?-2/+1是同一函数

D.函数y=/（x）的定义域为[2,3],则函数y=/（2x-l）的定义域为[|,2]

（多选）11.（6分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数f（x）=[L"CQ,

to,x6QRQ

被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，。为有理数集，则以下关于狄利克雷函数/（x）的结论中，正

确的是（）

A.函数/（x）满足：/（-x）—f（x）

B.函数/（x）的值域是[0,1]

C.对于任意的xCR,都有/（/（x））=1

D.在/（x）图象上不存在不同的三个点/、B、C,使得△N8C为等边三角形

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）怖+27。（点）。+屋）弓=.

13.（5分）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加

田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同