2024北师大版七年级数学下册 第6章 变量之间的关系【九大题型】（原卷版）

第6章变量之间的关系【九大题型】

【北师大版2024]

＞题型梳理

【题型1辨别常量、变量】.......................................................................3

【题型2用表格表示变量之间的关系】.............................................................4

【题型3根据表格求值】.........................................................................5

【题型4用关系式表示两个变量之间的关系】......................................................6

【题型5根据关系式求值】.......................................................................7

【题型6从图象获取信息】.......................................................................8

【题型7利用图象解决几何图形问题】.............................................................9

【题型8利用图象解决分段问题】................................................................11

【题型9利用图象解决行程问题】................................................................12

“举一反三

知识点：变量之间的关系

一、变量、自变量、因变量

1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。

2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。

3、目变量与因变量的确定：

(1)自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。

(2)自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

(3)利用具体情境来体会两者的依存关系。

二、用表格表示变量之间的关系

1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。

(1)首先要明确表格中所列的是哪两个量；

(2)分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；

(3：)结合实际情境理解它们之间的关系。

2、绘制表格表示两个变量之间关系

(1)列表时首先要确定各行、各列的栏目；

(2)一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；

(3)写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；

(4)在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。

(5)一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的

关系。

三、用关系式表示变量之间的关系

1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量(用字母表示)的代数式表示因变量

(也用字母表示)，这样的数学式子(等式)叫做关系式。

2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。

3、求两个变量之间关系式的途径：

(1)将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。

(2)根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；

(3：)根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；

(4)根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。

4、关系式的应用：

(1)利用关系式能根端土可一个自变量的值求出相应的因变量的值；

(2)同样也可以根据任I可一个因变量的值求出相应的自变量的值；

(3)根据关系式求值的实质就是解一元一次方程(求自变量的值)或求代数式的值(求因变量的值)。

四、用图象表示变量之间的关系

1、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。

2、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。

3、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴(又称横轴)上的点表示自变量，用竖直方向的

数轴(又称纵轴)上的点表示因变量。

4、图象上的点：

(1)对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值；

(2)过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。

(3)由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个点作横轴的垂线

与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因变量的相应值。

(4)把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。

5、图象理解

(1)理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；

(2)看该点所对应的横轴、纵轴的位置(数据)；

(3)从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。

五、速度图象

1、弄清哪一条轴(通常是纵轴)表示速度，哪一条轴(通常是横轴)表示时间；

2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：

(1)上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；

(2.)水平的线：与水平轴(横轴)平行的线，具代表匀速行驶或静止；

（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。

六、路程图象

1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；

2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：

（1：）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）；

（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；

（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返问起点（或已知定点）.

七、三种变量之间关系的表达方法与特点：

表格法：多个变量可以同时出现在同一张表格中

关系式法：准确地反映了因变量与自变量的数值关系

图象法：直观、形象地给出了因变量随自变量的变化趋势

【题型1辨别常量、变量】

【例1】（24-25七年级•河北承德期末）刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其

中的变量是（）

117.2金额/元

20数量/升

5.86单价/元

A.金额B.单价C.数量D.金额和数量

【变式1・口（24-25七年级•安徽宣城•期东）寒冷的冬天里我们在利用空调制热调控室内温度的过程中，空

调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是（）

A.每小时用电量B.室内温度C.设置温度D.用电时间

【变式1-2]（24-25七年级•甘肃陇南•期末）圆的半径为小面积S与r的关系式为S=irr2,下列判断正确

的是（）

A./•是因变量B.兀是常量C.S是自变量D.S,兀，厂都是变量

【变式1-3]（24-25七年级•河北唐山•期中）如图，把两根木条48和AC的一端力用螺栓固定在一起，木条

自由转动至位置.在转动过程中，常量为（）

AC

放水时间/小时1234567

游泳池的存水量/立方米858780702546

（1）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？

（2）请将上述表格补充完整；

（3）不开排水口后，经过多长时间，游泳池的存水量是156立方米？

【变式2-3］（24-25七年级•安徽合肥・期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣

传单，校园附近有一家印刷社，收费y（元）与印刷数量无（张）之间的关系如表：

印刷数量》（张）.・・100200300400・・・

收费y（元）・・・15304560...

（1）上表反映了_和_之间的关系，自变量是因变量是」

（2）从上表可知：收费y（元）随印刷数量%（张）的增加而」

（3）若要印制1000张宣传单,收费一元.

【题型3根据表格求值】

【例3】（24-25七年级•广东清远•期末）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星

车使用的是新型隔温材料--纳米气凝胶，该材料导热率K（W/m•!＜）与温度7CC）的关系如表：根据表格中两

者的对应美系，若导热率为0.6W/m・K,则温度为℃.

温度T（℃）1001502C0250300350

导热率K(W/m-

0.150.20.250.30.350.4

K)

【变式3-1］（24-25七年级•河南郑州•期末）小明学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的

实际，他们得到如卜数据：

支撑物的高度/cm102030405060708090

小车下滑的时间/s4.233.002.452.131.891.711.591.501.41

估计当支撑物的高度为100cm时,小车下滑的时间为:，请说出你估计的理由.

【变式3-2］（24-25七年级•山东济宁•期末）果子成熟后从树上落到地面、它落下的高度与经过的时间有如

下的关系:

时间/(秒)0.50.60.70.80.9

落下的高度力(米)5x0.253x0.365x0.495x0.645x0.81

如果果子经过2秒落到地上，那么此果子开始落下时离地面的高度大约是米.

【变式3-31(24-25七年级•山东青岛・期末)科学家就蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录,

如果这种数量关系不变，则当室外温度为88。/时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是次.

温度//7678808284•••

每分钟鸣叫的次数/

144152160168176•••

次

【题型4用关系式表示两个变量之间的关系】

【例4】(24-25七年级•陕西榆林期末)已知一个长方形中，相邻的两边长分别是xcm和6cm,设长方形的

周长为ycm.

(1)在这个变化过程中，自变量是，因变量是；

⑵试写出y与％之间的关系式：

(3)求长方形周长为26cm时，%的值.

【变式4-1](24-25七年级•安徽安庆•期末)如图所示，在一个半径为18cm的圆面上，从中心挖去一个小

圆面，当挖去一个小圆的半径Mem)由小变大时，剩下的一个圆环面积y(cm2)也随之发生变化.

(1)在这个变化过程中,因变量是

(2)写出剩下的圆环面积'(cm?)与小圆的半径x(cm)的关系式：y=_.

(3)当挖去圆的半径为9cm时，剩下的圆环面积为多少cm??(结果保留田

【变式4-2](24-25七年级•辽宁沈阳•期末)小明用的练习本可以到甲超市购买，也可以到乙超市购买，己

知两超市的标价都是每本2元，但甲超市的优惠条件是购买10本以上，从第II本开始按标价的75%卖；

乙超市的优惠条件是每本都按标价的80%卖.

(1)当小明要买20本M,到哪家超巾购买便宜？

⑵求出在甲超市购买，总价y甲（元）与购买本数x（本）（%>10）的关系式；

（3）小明现有56元，最多可以买多少本练习本？

【变式4-3]（24-25七年级•山东淄博•期末）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购

买的数量不超过2千克时，按原价售出；超过2千克时，超过的部分打8折.

（I）若某人付款14元，则他购买了多少千克糯米；

（2）设某人的付款金额为k元，购买量为y千克，请写出购买量y关于付款金额以%>1。）的关系式.

【题型5根据关系式求值】

【例5】（24-25七年级•安徽安庆・单元测试）根据如图所示的流程图计算变量y的对应值，若输入变量x的

值为1，则输出的结果为（）

【变式5-1]（24-25七年级•江西九江•期中）拖拉机工作时，油箱中的余油展Q（升）与工作时间七（时）的

关系式为Q=40-6t.从关系式可知这台拖拉机最多可以工作小时.

【变式5-2]（24-25七年级•广东深圳•期中）如图所示是关于变量”,y的程序计算，若开始输入的“值为4,

则最后输出因变量y的值为.

【变式5-3]（24-25七年级•四川・期末）我们可以根据如图的程序计算因变量y的值.若输入的自变量X的

值是2和-3时，输出的因变量y的值相等，则b的值为.

【题型6从图象获取信息】

【例6】（2025•重庆•一模）荡秋千时，秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图所示，下列结

论正确的是（）

莅）

A.变量力不是关于/的函数B.当£=0.7s时，秋千距离地面0.5m

C.〃随着/的增大而减小D.秋千静止时离地面的高度是1m

【变式6-1］（24-25七年级•山东临沂•开学考试）从小我们就熟知各种成语或寓言故事，如图最符合下面（）

A.水落石出B.刻舟求剑C.司马光砸缸D.乌鸦喝水

【变式6-2］（24-25七年级•贵州遵义・开学考试）《宋史・司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌

没水中.众皆弃去，光持石出费破之，水迸，儿得活.下面图（）比较符合故事情节.

木水的高度

B.时间

上水的高度八水的高度

八

C.矗］D.赢

【变式6-3］（2025•河南郑州•二模）小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s（m）,

所经过的时间为t（min）,下列选项中的图象，能近似刻画$与£之间的关系的是（)

休息5分钟

步行5分钟

步行5分钟个

400米

400米

小明家公园

AS/m4S/m

800——800

40

in_L4007

51015

。「篇宣B.°l510//min

4S/mAS/m

8OOL80()1

400

4QQX..

n-Nr

5~1015/^nin

D.。1510l^/Jnin

【题型7利用图象解决几何图形问题】

【例7】（24-25七年级•河南驻马店•期中）如图1,在Rt△ABC中，=90。，点P从点力出发，沿ATB—C

以lcm/s的速度运动.设△4PC的面积为S（cn?）,点尸的运动时间为，（s）,变量s与t之间的关系如

图2所示，则在运动过程中，S的最大值是（）.

图1图2

A.12cm2B.16cm2C.24cm2D.48cm2

【变式7/】（24-25七年级•山东青岛・期末）如图①，梯形4BCD中，ABIICD,=90°.动点P从B点

山发，沿口>C>D>4匀速运动，设点。运动的路程为％,zMB，的面积为y,y与x之间美系的如图②

所示.梯形48CD的面积为

【变式7-2]（24-25七年级•上海闵行•阶段练习）如图，边长为3和4的两个正方形，其一边在同一水平线

上，小正方形自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为右明影部分面积为y,那么y与工的函数图象

大致是（）

CM吊吊口

【变式7-3]（24-25七年级•四川达州•期末）如图1,IB=ZT=9O。,48=2CD,点尸以每秒1cm的速度

从B点出发，沿6—。一。路线运动，到。停止.如图2,反映的是△48P的面积S（cm?）与点P运动时

间工（秒）两个变量之间的关系.

图1图2

（1）指出CO的长度，并求〃，的值：

（2）当点尸在线段BC上运动时，直接写出因变量S与自变量x的数量关系.

【题型8利用图象解决分段问题】

【例8】（24-25七年级•湖北武汉期末）为了节约用水，某城市采用分段收费标准，某户居民每月应交水费

y（元）与用水量4吨）之间关系的图象如图所示，根据图象回答:

（1）该市自来水收费时，每户使用不足5吨时，每吨收费多少元？超过5吨时，每吨收费多少元？

（2）若某户居民每月用水3.5吨，则应交水费多少元？若某月交水费17元，该户居民用水多少吨？

【变式8・1】（24-25七年级•湖南长沙•期中）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼.小明先跑，10分钟后小丽才

开始跑，小丽跑步时中间休息了两次.跑步机上C档比B档快40米/分、B档比4档快40米/分.小明与

小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示.

时间里程分段速度档跑步里程

16:00

小明不分段A档4000米

〜16:50

第•段B档1800米

第一次休息

16:10

小丽第二段B档1200米

〜16:50

第二次休息

第三段C档1600米

（1）求4,B,C各档速度（单位：米/分）:

（2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；

（3）小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值.

【变式8-2]（24-25七年级•江苏苏州•阶段练习）F表是苏州市地铁收费标准:

分段乘坐里程（公里）单程票票价

10＜里程工62元

26＜里程式113元

311V里程式164元

416〈里程W235元

523〈里程W306元

6里程20公里以上，每9公里分段加1元

备注：普通乘客刷卡乘车可享受单程票票价9.5折优惠

小明的妈妈每天乘坐地铁上下班，单程12公里，每月按22天上下班计算.

（1）求小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费：

（2）地铁公司有三种计次月票可供选择，A月票60元/20次，8月票85元/30次，C月票130元/50次.月

票仅限当月使用，每次不限里程，月底清零，小明的妈妈每月用于上下班的地铁交通费最少是多少元？请

说明理由.

【变式8-3]（24-25七年级•安徽合肥•阶段练习）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计

算每户家庭的水费：月用水量不超过30立方米时，按2元/立方米计费;月用水量超过30立方米时，其中30

立方米仍按2元/立方米计费，超过部分按2.5元/立方米计费，设每户家庭月用水量为x