2024冀教版八年级数学上册第十四章《实数》每课时 教案汇编（含七个教案）

第十四章实数

14.1平方根

第1课时平方根

教学目标

1.了解数的平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；

2.探究平方根的性质，并能灵活运用；

3.了解开平方与平方互为逆运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的平方

根.

教学重难点

重点：了解开平方与平方互为逆运算，会利用这个互逆运算关系求非负数

的平方根；

难点：探究平方根的性质，并能灵活运用.

教学过程

旧知回顾

1.会计算一个数的平方.

2.互为相反数的两个数的平方有什么特点？

导入新课

1.平方根

问题情境：小明家有面积为100nr的正方形花圃，花画周围要用护栏围起来，则需要护栏

多少米？你能帮小明解决这个问题吗？

教师引导，学生分析：要求出护栏的长，需要知道正方形花喇的边长，即找到一个平方等于

100的数.

师：这里涉及平方运算，那我们先来练习一下吧.

问题I：2和-士的平方等于多少？10和T0的平方等于多少？

55

9

问题2：平方等于N的数有哪些？平方等于100的数呢？

25

问题3：满足/=25的x的值是多少？

学生自主完成，教师评价.

答案：

933

—100---10-105,-5

2555

师：那么我们把之，--,10-10,5,-5叫做什么呢?

55

定义：一般地，如果一个数X的平方等于即/=〃，那么这个数％就叫做。

的平方根，也叫做。的二次方根.

你能举例吗？

如二的平方根为三和一二，100的平方根为10和70,25的平方根为5和-5.

2555

练习：1.判断下列说法是否正确.

(1)49的平方根是7；()

(2)2是4的平方根；()

(3)-5是25的平方根；()

(4)64的平方根是±8；()

(5)T6的平方根是-4.()

教师引导，学生分析：一个正数的平方根有两个；负数没有平方根.

答案：(1)X(2)J(3)J(4)J(5)X

2.填空.

()2=4,()2=04)2=0.25

O1

教师引导，学生分析：一个正数的平方根有两个.

4

答案：±2,±—,0,±0.5

9

2.平方根的性质

填表

_33

X-3-1013

~22

X2

学生自主完成.

观察填写后的表格，探究：

(1)正数的平方根有几个，它们之间有什么关系？

(2)0有平方根吗？如果有，它是什么数？

(3)负数有平方根吗？

教师引导学生观察会发现：

平方根的性质：

一个正数有两个平方根，它们互为相反数.

0只有一个平方根，是0本身.

负数没有平方根（非负数才有平方根）.

一个非负数的平方根怎样表示呢？

三、平方根的表示方法：

一个非负数〃的平方根可记为“土代”，读作“正负根号其中，a称为被开方数.

一个正数〃有两个平方根：一个是正数读作“杈号〃'：一个是负数-石，读作“负

根号心

根指数一

（省略不写）被开方数

读作：根号a

其中“是被开方数，2是根指数，2股要省略.

练习：1.判断下列语句是否正确.

①3是9的平方根.

②9的平方根是3.

③-9的平方根是-3.

④（-3）2的平方根是-3.

答案：①J②X③X④X

2.已知正数x的两个平方根分别为"2和2a-8,求x的值.

学生分析：一个正数的两个平方根互为相反数.

解：根据题意，得。+2+2〃-8=0,解得4=2.

所以X=3+2）2=（2+2）2=42=16.

四、求平方根

观察下图，说•说求一个数的平方运算和求•个数的平方根运算具有怎样的关系.

平方根

课堂小结

1.平方根的定义；

2.平方根的性质；

3.求平方根.

布置作业

完成教材练习.

板书设计

14.1平方根

第1课时平方根

定义：一般地，如果一个数X的平方等于4,即炉二〃，那么

这个数工就叫做。的平方根，也叫做。的二次方根

性质：(1)正数有两个平方根，它们互为相反

平方根

(2)0的平方根还是0.

(3)负数没有平方根.

开平方及相关运算

第十四章实数

14.1平方根

第2课时算术平方根

教学目标

1.了解数的算术平方根的概念，并会求一个非负数的算术平方根；

2.知道&表示非负数。的算术平方根，并理解算术平方根的双重非负性;

3.探究。的化简，并能简单运用.

教学重难点

重点：会求一个非负数的算术平方根，并理解算术平方根的双重非负性;

难点：探究。的化简，并能简单运用.

教学过程

旧知回顾

1.平方根的定义;

2.平方根的性质.

导入新课

1.算术平方根

问题情境：学校要举行美术作品比赛，小美想裁出一块面积为9dm2的正方形画布，临摹自

己最喜欢的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？

学生回答：因为32=9,所以这个正方形画布的边长应取3dm.

我们知道3是9的一个平方根，在这里它还有另外一个名字-----算术平方根，今天我们就

来学习算术平方根.

活动一：埴表

4

正方形的面积/dm?191636

25

正方形的边长/dm

学生分析：

上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题.

算术平方根的定义：一个正数的两个平方根互为相反数.我们把一个正数。的正的平方根

依叫作。的算术平方根.

算术平方根的记法：。(。20)的算术平方根记为读作“根号。叫作被开方数.

算术平方根的性质：正数的算术平方根为正数；。的算术平方根是0；

负数没有算术平方根；

算术平方根具有双重非负性：&N0,。廿0.

活动二：做一做

求下列各数的算术平方根：

4

(1)144；(2)0.01；(3)—；(4)(-13))(5)(-16)

49

学生自主完成，教师规范步骤.

答案：(1)144的算术平方根是VI石即12；

(2)().01的算术平方根是VOXH,即同T=>AfF=O.1；

⑶总的算术平方根是信，即焉=肾=与

(4)(73)2的算术平方根是历第，即而而=13;

(5)(-16)2的算术平方根是#76)2,即J(T6)2=16.

对此你有什么发现？

2.77的化简

当。200寸,"=小

当a<。时=-a.

因此合起来就是J/=I4=«霁*

这是算术平方根的一个性质，常用于算术平方根的化简.

例1计算下列各式：

(1)VL69；(2)-x/225；(3)土倡;(4)尸.

教师指导，学生分析:可以先把血化为。的形式，然后开方.

教师提示：注意式子前面的符号，结果符号应与式子前的符号是一致的.

解：==

(2)->/225=-\/|?'=-15.

(4)-7(-17)2=-V17?=-17.

例2某小区有一块长方形草坪，为了加强保护，小区管理人员准备用篱笆沿草坪边缘将其

围起来.已知该长方形草坪的长是宽的4倍，草坪的面积是900m\求所需篱笆的长度.

教师指导，学生分析:可设宽为乂则长为以从而得到方程4/=90(),即求史2的算术平方

4

根.

解：设这块长方形草坪的宽为xm,则长为4xm.由题意得

4xgv=900,x2=225.

所以x=±7225=±7152=±15.

X=15不合题意，舍去.

所以x=15,2(15+60)=150(m)

答：所需篱笆的长度为150m.

练习：1.求下列各式的值：(步骤要规范)

(1)7256;；⑶士；(4)-^/0J6；(5)J25(X)；(6)-j0.0049

解：⑴\/256=J16~=16.

(4)-x/o716=-\/(h47=-0.4.

(5)72500=750^=50.

(6)-V0.0049=-\/().O72=-0.07.

2.木工师傅把两个小的正方形木板.拼成了一个面积为169dm2的大正方形桌面.已知一个

小正方形木板的边长为5dm,则另一个小正方形木板的边长是多少？

解：设另一个小正方形木板的边长是xdm.由题意可得

V+5?=169,

x2=144.

Vx>0,

,\x=Vi44=12.

答：另一个正方形的边长为12dm.

3.拓展

⑴如果y=\Jx-5+x/5-x4-16,求4x+)，的算术平方根.

―520

教师引导，学生分析：由被开方数2可得5.。，解得，・口,16,

y)4x+y=\/4X5+16=^/36=6.

⑵一个数的算术平方根为“4,平方根为土(尸1),求这个数.

教师引导，学生分析：一个数的正的平方根是它的算术平方根；由于不能确定

(尸1)和-GH)的正负，，分两种情况.

解：①“4=尸1,

解得x=3,

2L4=2,

这个数=22=4.

②2x-4=-(x-l),

解得x=2,

3

2x-4=--<0,

3

由于算术平方根不能为负，因此这种情况不成立.

师：还有其他解法吗？

思路二：一个数的算术平方根为非负数，*420,解得G2.

・•・x-l>0（即厂1为这个数的算术平方根），

2x~4=x~\,解得x=3,2x-4=2.

/.这个数=22=4.

课堂练习

1.填一填

（1）9的算术平方根是;

（2）囱的算术平方根是;

（3）0.01的算术平方根是;

（4）10-6的算术平方根是；

（5）（-4）2的算术平方根是________；

（6）10的算术平方根是.

2.若则下列结论中正确的是（）

A.\<a<3B.l<a<4C.2<a<3D.2<a<4

3.若由+厅口=0,求/班+丁切面的值.

4.如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和9,那么图中

阴影部分的面积为.

参考答案

1.(1)3(2)73(3)0.1(4)10-3(5)4(6)VlO2.B

3魂¥：V7x^1+77+T=o,

Ax-1=0,y+1=0,.*.x=\,y=-\,

严。=2.

4.2

课堂小结

1.算术平方根的记法；

2.算术平方根的性质；

3.算术平方根的计算.

布置作业

完成教材练习.

板书设计

14.1平方根

第2课时算术平方根

定义：正数〃有两个平方根土4,我们把正数。的正的平方

根，叫做〃的算术平方根，记作v

性质：

(1)非负数才有算术平方根，正数的算术平方根是正数，0的算术

算术平方根

平方根是0：

(2)算术平方根具有双重非负性(&>0,«>0).

算术平方根的计算：47=

a

第十四章实数

14.2立方根

教学目标

1.了解数的立方根的概念，会表示一个数的立方根；

2.探究立方根的性质，并能灵活运用；

3.了解开立方和立方互为逆运算，会利用这个互逆运算求一个数的立方根.

教学重难点

重点：探究立方根的性质，并能灵活运用；

难点：了解开立方和立方互为逆运算，会利用这个互逆运算求一个数的立方根.

教学过程

旧知回顾

1.整式的立方运算；

2.平方根的性质.

导入新课

L立方根

问题情境：如图，已知小正方体的棱长为2,那么它的体积是多少？反过来，如

果大正方体的体积丫=27,你能不能求出它的棱长x呢？

学生自主完成：

V=23=8；因为3,=27,所以，这个大正方体的棱长为3.

你认为小亮的想法和做法有没有道理？你是怎么做的？

做一做：求满足下列各式的x的值：

(l)x3=8;(2)x3=-64;(3)%3=0.027;(4)%3=—七

答案：(l)x=8；(2)x=-4；(3)x=0.3；(4)x=-g

立方根的定义：一般地，如果一个数X的立方等于。，即X3=4,那么这个数X就

叫做a的立方根，也叫作a的三次方根.

你能举几个例子吗？

例：-64的立方根为-4,0.027的立方根为0.3,-2的立方根为一:

JL4DO

2,立方根的性质

根据立方根的定义完成下列填空：

()\27,()\黑,()「8,()10.001,()\0.

学生独立完成，教师评价：

答案：3；g；-2；-0.1；0

从立方根的个数及符号上，你发现了什么结论？

立方根的性质：

一个正数有一个正的立方根；

一个负数有一个负的立方根；

0的立方根是0.

你怎样理解它们？（学生发表自己的观点）

解读：①任意数都有一个立方根；②一个非0数与其立方根的符号相同.

平方根与立方根的区别

完成下列填空（学生自主完成）

被开方数平方根立方根

正数有两个，互为相反数有一个，是正数

负数没有平方根有一个，是负数

零零零

归纳：只有非负数才有平方根，而任意数都有立方根.

练习：判断下列语句是否正确：

①负数没有立方根；

②一个数的立方根不是正数就是负数；

③一个非（）数的立方根和这个数同号，。的立方根是0;

④立方根等于其本身的数是1或（）；

⑤-3是27的负的立方根.

学生自主完成

答案：①X②X③4④X⑤X

立方根的符号表示

a的立方根用指来表示，读作：三次根号《这里的根指数3不能省略.

3.求立方根

定义：求一个数的立方根的运算，叫作开立方.

开立方和立方是互逆的，借助立方运算，可以求一个数的立方根.

例1求下列各数的立方根：

⑴*⑵一哉；（3）-0.008.

解：（1）因为（2]=_1,所以巨的立方根为2,即

27273V273

⑵因为（Y）=一哉，所以一哉的立方根为一（，即乎焉=一?

(3)因为(-0.2)3=.0.008,所以-0.008的立方根为-0.2,即此一0.008=-02

4.立方根的化简

(1)完成下列问题，并说出你的发现.

*=()；V(Z27=(卜疝=();^6J=(丽=().

学生计算并得出结论：盼=.

(2)完成下列问题，并说出你的发现.

V-i=();-%=()；\/-64=()；-^64=()1-125=()；—V125=().

学生计算并得出结论：后二.

答案：(1)2；-2；0.3；-0.3；0；〃；(2)-1；-1；-4；-4：-5；-5；—yfci

例2求下列各式的值：

⑴⑵//

V210

解：(1田-1。6=—%()6=_io2=_100,(2\/——

V216V2I6\{6)6

练习：求下列各数的立方根.(按要求写步骤)

Q27

(1)—；(2)0.008；(3)-125；(4)—.

'72764

解:⑴因为n=-;，所以—：的立方根为_即/彳=_：.

(2)V0.23=0.008,・♦.0.008的立方根为0.2,即80.008=0.0

(3A.(-5丫=一125".-125的立方根为一5,即加行=一5.

(4)・.・[3]=2,.••殳的立方根为3,即心二.

⑷64644V644

拓展：

INx-8与1y-8互为相反数,贝1卜+尸.

2.V2T7«2.872,#23700«28.72,则》0.0237«.

3.-8的立方根与J证的平方根之和是.

教师指导，学生讨论分析：

(1)由题意可得心8与y-8互为相反数，因此x-8+y・8=O,解得x+y=16.

(2)由题意可得规律：被开立方数的小数点向右移动3位，该数的立方根的小

数点向右移动一位，反之亦然；所以Vo.o237Po.2872.

(3)-8的立方根是-2,屈=如勺平方根是±2,所以-2+2=0,・2+(-2)=-4,答案

为0或-4.

课堂练习

1.判断下列说法是否正确.

(1)2的立方根是±2：(2)25的平方根是5；(3)-64没有立方根:

273

(4)-4的平方根是±2；(5)0的平方根和立方根都是0.

2.求下列各式的值：

⑴痫；⑵叱・,⑶

参考答案：1.(1)x(2)x(3)x(4)x(5)«

2.⑴痫=4；(2历=一5；⑶偌，停一(

师：注意2(3)的解法：先计算三次根号内的算式，再求立方根.

课堂小结

1.立方根的定义；

2.立方根的性质；

3.立方根的化简.

布置作业

完成教材练习.

板书设计

14.2立方根

一般地，如果一个数X的立方等于即=那么

这个数X就叫做〃的立方根，也叫做”的三次方根

立方根的性质：一个正数有一个正的立方根；一个

立方根负数有一个负的立方根；零的立方根是零

立方根的化简：\[a^=

第十四章实数

14.3实数

第1课时实数的定义

教学目标

1.认识数的扩充的必要性；

2.认识无理数的本质特征，知道无理数的不同形式；

3.能将实数按要求进行分类.

教学重难点

重点；认识数的扩充的必要性；

难点：认识无理数的本质特征，知道无理数的不同形式.

教学过程

旧知回顾

有理数的定义及分类.

导入新课

有理数的分类

我们知道有理数可以分为整数和分数，在有理数的世界里，只有整数和分数，一

个有理数要么是整数，要么是分数.

学习了平方根和立方根之后，我们发现有些有理数的平方根、立方根不是有理数.

思考：除了有理数外还有没有其他的数呢？

探究新知

探究一无理数

问题1：如图⑴所示，在纸上画一个两条直角边都是2cm的直角三角形ABC,然

后剪下这个直角三角形，再沿斜边上的高CD剪开后，拼成如图⑵所示的正方形.那

么，这个正方形的边长是多少呢？

教师指导，学生观察.

(2)

通过观察可得：(1)(2)面积相等

因为SAABC=&X2X2=2cm~,

所以S正方形=2cm2.

如果设正方形的边长为/cm,那么『二2.

因为正方形的边长是正数，所以x是2的算术平方根，即x=&.

思考：&是什么数呢？

问题2.1：&是整数吗?你认为有平方后等于2的整数吗？

问题2.2：或是分数吗?一。,1|?的平方等于2吗?

你认为有平方后等于2的分数吗？

教师指导，学生讨论.

答：2.1：面积分别为1、2、4的正方形的边长分别为1、五、2,则鱼是I和

2之间的一个数，&一定不是整数.

2.2：不等于，在1和2之间也找不到一个分数的平方等于2.因此四不是分数.

通过讨论可知上既不是整数也不是分数，因此不是有理数，那么应是什么数呢？

借助计算器可以得到：75=1.414213562373095048801688724209698078569…，

它是一个无限不循环小数.

类似地，我们早就认识的兀，也是一个无限不循环小数，

n=3.1415926535897932384626433832795028841971….

教师提问，学生思考后回答:

问题3.1：把分数：，-6：写成小数的形式，任意一个分数都能写成小

237o

数形式吗？

学生回答:2=0.5,-i=-0.3,-=3.142857,-6-=-3.125,

2378

可以，分数总能化成有限小数或无限循环小数.

问题3.2：把有限小数或无限循环小数0.4,0.81,0.3,3.任写成分数的形式,

任意一个有限小数或无限循环小数都能写成分数的形式吗？

学生回答：0.4=土=40.81=—,0.5=-,3.15=3-,

105100933

可以，任意一个有限小数或无限循环小数都能写成分数的形式.

学生总结：任意有理数都可以化成仃限小数或无限循环小数的形式.

教师总结：V2,7T是无限不循环小数，所以不是有理数.

学习：

1.无理数的定义：我们把无限不循环小数叫作无理数.

2.无理数有无数个，它可以以不同的形式出现：

(1)以小数形式出现；例如，1.212212221…(每两个1之间依次多一个2)；

(2)以根号形式出现：例如，灰,66等；

(3)以兀的形式出现：例如，2兀，-兀等.

注意：不管以什么形式出现，所有无理数的本质特征都是“无限不循环小数”.

3.分类：无理数分为正无理数和负无理数.

教师提问，学生思考后回答：

问题4：1.带根号的数一定是无理数吗？

2.带分数线的数一定是分数吗？

学生分析：带根号的数不一定是无理数，例如〃，内它们能开方，所以它们是有

理数；带分数线的数不一定是分数，例如行，虽然有分数线，但是五是无理数，

3

乘;后仍然是无理数.

探究二实数

实数的定义：我们把有理数和无理数统称为实数.即实数分为有理数和无理数.

例1在下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？

0,河,0.01001000100001…（每两个1之间依次多1个0）,3.14.1.2.

77V9

分析•：牢牢抓住无理数的几种存在形式.

解：有理数有0,炳，93.14,-4,1提

无理数有百，0.01001000100001...（每两个1之间依次多1个0）,V12.

7

练习：1.下列说法正确的有.

①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是有理数；

④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数.

教师指导，学生分析：

①正确，无理数是实数；②不正确，实数包含无理数和有理数；③不正确，无

限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数；④不正确，“，内是有理数;

⑤不正确，兀不带根号，但是它是无理数.正确的是①.

答案：①

2.下列说法正确的有.

1V2

（1）一石是有理数；（2）今是分数；

（3）3.131131113...（每两个3之间依次多一个1）是有理数；

（4）TT是无理数.

教师指导，学生分析：（1）正确；（2）是无理数，而分数是有理数，故（2）不

正确；（3）是无理数，不正确；（4）正确.

答案：（1）（4）

22

3.在实数3.1415,V64,-V20,y,0,旧冲：

无理数有一个；

有理数有一个；

正数有一个；

分数有一个；

整数有一个.

学生分析：无理数有-而，口，共2个；

有理数有3.1415,病，争0,4个；

正数有3.1415,痫，争共3个：

分数有3.1415,羊共2个；

整数有痫。共2个.

4.如图，若开始输入的x的值为512,则最后输出的结果为.

计ih•的立运输出

方根

结果

教师引导，学生分析：第一次输入512,计算512的立方根是8,8是有理数，所

以第二次输入8,计算8的立方根是2,2是有理数，第二次输入2,计算2的立

方根是蚯，是无理数，所以最后输出的结果是蚯.

答案：啦

课堂练习

1.判断:

（1）实数不是有理数就是无理数.（）

（2）无理数都是无限不循环小数.（）

（3）无理数都是无限小数.（）

（4）无理数一定都带根号.（）

（5）两个无理数之积不一定是无理数.（）

（6）两个无理数之和一定是无理数.（）

2.以下各正方形的边长不是有理数的是（）

A.面积为25的正方形B.面积为16的正方形

C.面积为8的正方形D.面积为1.44的正方形

3.把下列各数填入相应的大括号内：

-7,0.323,3.1」,（）,血4,0.1（）1（）010001...（相邻两个1之间0的个数逐渐加1）,

顿T

2

有理数｛｝;

无理数｛):

正实数｛｝

实数｛);

学生独立完成，教师评价

参考答案

1.(1)4(2)4(3)4(4)x(5)4(6)x2.C

3.解：有理数｛一7,0.32,g,3.14,0>;

无理数•点A，0.101()010001…(相邻两个1之间0的个数逐渐加1),的•；

正实数卜.32,1,3.1菜点J,0.1010010001…(相邻两个1之间()的个数逐渐加1),衿•;

实数1-7,0.32」,3.遂,0,应,0,0.1010010001(相邻两个1之间0的个数逐渐加1)，崛

3V2

3

课堂小结

1.无理数的定义；

2.实数的定义；

3.判别无理数和有理数.

布置作业

完成教材习题.

板书设计

14.3实数

第1课时实数的定义

无理教无限不循环小数叫做无理数

实数-

实数有理数和无理数统称为实数

第十四章实数

14.3实数

第2课时实数的性质和分类

教学目标

1.认识无理数存在的普遍性，知道实数与数轴上的点是一一对应的；

2.理解实数的倒数、相反数、绝对值的意义；

3.会根据不同的标准对实数进行分类.

教学重难点

重点：认识无理数存在的普遍性；知道实数与数轴上的点是一一对应的.

难点：理解实数的倒数、相反数、绝对值的意义.

教学过程

旧知回顾

回忆有理数中相反数、绝对值、倒数的定义：

相反数：只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数.

绝对值：数轴上表示数。的点到原点的距离叫做数。的绝对值，用1。1表示.

倒数：若两个数的积是1,则这两个数互为倒数.

导入新课

问题1：如图⑴所示，将面积分别为2和3的两个正方形放置在数轴上，使得

正方形的一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个

顶点分别为数轴上的点A和点B.

O盘睁

----1-----------:14士-----

-10«113

(1)线段OA,0B的长分别是多少？

教师指点，学生回答：OA的长是泥.，OB的长是通.

(2)点A,B在数轴上对应的数分别是哪两个数？

教师指点，学生回答：点A,B在数轴上对应的数分别是加，V3.

思考：在数轴上怎样表示-e，-V3?

问题2：如图，设一枚5角硬币的直径为1个单位长度，将这枚硬币放置在平

面内一条数轴上，使硬币边缘上的一点P与原点重合.让这枚硬币沿数轴的正

方向无滑动滚动一周.这时点P转到数轴上点产的位置.

CD.,.-

0(0)123P4

⑴线段OP，的长是多少？

教师指点，学生回答：71.

(2)在数轴上与点P，对应的数是哪个数？

教师指点，学生回答：7T

思考：在数轴上怎样表示-兀？

探究新知

探究一实数与数轴

学生通过上面两个实例会发现：无理数四，V5,7T都可以用数轴上的点来表

示.同样，在数轴上按负方向可以用数轴上的点表示-四，-V3,-7T.

结论：每个有理数或无理数都可以用数轴上的一个点来表示；

反过来，数轴上的点表示的数是有理数或无理数.

教师归纳：实数与数轴上的点的关系：实数和数轴上的点是一一对应的.

解读“——对应”：

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；数轴上的每一个点都表示一个实

数.

实数是由有理数和无理数组成的，我们可对实数作如下分类:

正有理数

「整数

有理数o或

（育・小aut负有理数I分数

无限6环小政）

「正无理数

无理数

（无限不循小卜数）!负无理数

例1把下列各数分别填在相应的括号内.

—,13,-12,+6,—,0,0.8,4—,—4.2.

386

正数：｛

负数：｛

正整数：｛，…};

正分数：｛

负整数：｛

负分数：｛

学生独立完成，教师评价

解：正数：[13,+6±.0.&4』.…

86

负数：-4.2,…[;

正整数:｛13,+6,…｝;

正分数pO&G,…卜

（86

负整数:｛-12,…｝;

负分数：-4.2,…1

探究二实数的相反数、绝对值、倒数

问题3：下列各组实数与所对应的数轴上的点如图所示.

①4,-4；@V3,口；（3）V5,-V5.

后

人工.d0q$A/AlM*J/・•

'S；LQI」

（i）这些点到原点的距离分别是多少?

教师指点，学生回答：表示4和一4的点到原点的距离都是4个单位长度；

表示国和-百的点到原点的距离都是8个单位长度；

表示通和-遥的点到原点的距离都是遍个单位长度；

（2）类比有理数的绝对值的定义，谈谈实数的绝对值的意义.

教师指点，学生回答：在数轴上，表示一个实数的点到原点的距离称为这个实

数的绝对值.实数。的绝对值记为⑷.

思考：类比有理数的相反数、倒数的定义，谈谈实数的相反数、倒数的意义？

（教师点拨，学生总结）

教师归纳：相反数：对于符号不同而绝对值相等的两个实数，我们称其中一个

数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数的相反数可以表示为

4和-4互为相反数；百和口互为相反数；石和-遍互为相反数.

倒数：如果两个实数的积为1,则这两个实数互为倒数.，曲J倒数是，a（〃工0）.

例如，表示-面的点到原点的距离是遮，我们就说-遍的绝对值是遍，记作

|-V5|=V5；V5^-V5,两个数符号不同，绝对直相等，我们就说-西是通的

相反数，或通是-遍的相反数，即述与-通互为相反数：V5x^=l,我们就

说遍与白互为倒数.

V5

注意：0的相反数是0,0没有倒数.

例2求下列各数的相反数、倒数、绝对值.

⑴6(2)7^6；(3)1.2.

学生独立完成，教师评价.

提示：能化简的先化简，小数先化为分数.

解：⑴喘的相反数是倒数是4;绝对值是点

____1

（2）口的相反数是泥；倒数是-泥绝对值是遍.

（3）1."勺相反数是-12倒数是,绝对值是12

6

练习：

i.在数轴上，到原点的距离为G的点所表示的数是______.

学生分析：已知因=。,求工

答案：±75

2.国二6-1,则x=.

学生分析：此题同I.

答案：x=K-i或1-石

3.4的倒数是,绝对值是，相反数是.

学生分析：按照相反数、绝对值、倒数的定义来求.

答案：-左距距

课堂练习

1.下列说法正确的是（）

A.正实数和负实数统称实数

B.正数、零和负数统称有理数

C.带根号的数和分数统称实数

D.无理数和有理数统称实数

2.Q的绝对值是（）

A.2B.-2C.-4D.4

3.-6是"的（）

A.相反数B.倒数C.负平方根D.绝对值

4.2.6的绝对值是（）

A.2-亚B.V5-2C.2+加D.±（2-75）

5.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到点&再爬到点C停止.

已知点A表示-拉，点C表示2,设点8所表示的数为相，则m=.

ABC

-3-2-101234

学生独立完成，教师评价

参考答案

l.D2.A3.A4.B5.2-V2

课堂小结

1.实数与数轴的关系：

实数和数轴上的点是一一对应的.

2.实数的性质：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

3.实数的分类：

整数

有理数、有限小数或无限循环小数

按定义分类：实数分数

无理数一无限不循环小数

七，.涮」正有理数

正实数4

I正无理数

按性质符号分类:实数

负有理数

负实数

负无理数

布置作业

完成教材练习.

板书设计

14.3实数

第2课时实数的性质和分类

实数与数轴上的点的关系：一一^才应

实数一实数的性质

实数及其分类

第十四章实数

14.3实数

第3课时实数的大小比较

教学目标

1.能够对实数进行大小比较；

2.掌握估算的基本方法，会用有理数估计一人无理数的大致范围.

教学重难点

重点：对实数进行大小比较；

难点：会用有理数估计一个无理数的大致范围.

教学过程

旧知回顾

回忆有理数中比较大小的方法：

1.利用数轴，在数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数.

2.正数大于0,负数小于0,正数大于一切负数；

两个正数作比较，绝对值大的数大；

两个负数作比较，绝对值大的反而小.

我们把数的范围扩充到实数范围，这些方法还适用吗？

探究新知

探究一与带根号的无理数比较大小

问题1：在上节课问题情境中，由两个正方形的面积（3和2）的大小，能不能比较

它们边长（V5和或）的大小？

（）\M，附

।L&u」—史

-10I：-23'

学生通过观察图形得出：V3＞V2.

问题2：将面积分别为。和伙A份的两个正方形，按上图所示的方式摆放，它们

的边长和班的大小关系是怎样的？

教师点拨，学生分析：正方形的面积越大，边长就越大.即一个正数的平方越大，

这个数就越大，得出迎＞四.

思考：通过探究，在实数的大小比较方面，你能得到什么结论？

教师引导，学生总结：一般地，已知两个正数。和b,如果〃＞儿那么；

反过来，如果V5＞茄，那么a＞b.

例1比较下列各组数中两个数的大小:

(1)2二和"；(2)-J16和一兀；.

3

教师指点，学生分析：(1)可以先比较它们的平方，然后比较两数，

(2)由于兀是一个无限不循环小数，我们可以把它放大，再与亚比较，进而比

较-VTU和."的大小

解：⑴・・•(2牙=丝(近)2=7=袋，

I3199

6463.①2/Z

993

(2)兀取3.15,

V(V10)2=10,3.152=9.9225,

X10>9.9225,A厢>3.15,:.而>兀.二一厢<一兀.

总结：实数的大小比较方法

(1)数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

(2)法则比较法：正数大于0,0大于负数，

正数大于一切负数，

两个负数比较，绝对值大的反而小；

(3)平方比较法(带有根号的数)：

①计算两数的平方；②比较两数的平方；

③比较两数的算术平方根；④得出两数的大小

探究二估算无理数的范围

例2判断下列各实数在哪两个相邻的整数之间:

(1)6;⑵-

教师指导，学生分析：

(1)找到5在哪两个整数的平方之间；

(2)先确定其绝对值的范围，再确定相反数的范围.

解：⑴•・•2?=4,（石f=5,3?=9,

/.4<5<9,.\2<>/5<3,

即6在2和3之间.

⑵・・・3』调了号4』6,

32

/.9<—<16,A3<<4,

3

>即-栏在-4和-3之间.

:.-3>

问题3:鱼究竟有多大呢？

教师指导:因为1:1,22=4,1<2<4,所以1<加<2；

取1与2之间的一个数,如1.5,1.5=2.25,而1<2<2.25,所以1<或<1.5：

取1与1.5之间的一个数，如1.3,1.3?=1.69,而1.69<2<2.25,所以

1.3<V2<1.5；

取1.3与1.5之间的一个数，如1.4,1.1=1.96,而1.96<2<2.25,所以

1.4<V2<1.5.

如果精确到().1,取1.4与1.5之间的一个数，如1.45,1.452=2.1025,

而1.96<2<2.1025,所以1.4<V2<1.45,刃B么企t1.4.

这样进行下去，我们兀以得到企的更精确的近似值.

思考：类比这种的方法，你能得到遍的近似值吗？

练习：

(1)比一比，看谁找得快.

判断V6,-V30,-旧在哪两个整数之间.

答案：分别在4和5,2和3,-5和-6,-4和-5之间.

(2)在数轴上标出表示相，710,-加的数.

学生分析：先估算出它们在哪两个整数之间，然后估算更接近哪个整数.

(3)—VTo与述之间的整数是_____________.

教师指导，学生分析：-VTU在-3与-4之间，历在2和3之间,

所以—VTU和之间的整数有—3>—2,—1,0»1»2.

币1

(4),——=

62

学生分析：要想求绝对值，先判断的正负,即判断］与:的大小，而

626z6

1

2'

答案：岩

课堂练习

1.在0,・1,-3,0这四个实数中，最小的是（）

A.V2B.-lC.-3D.0

2.计算-13|的结果是（）

A.-1B.-5C.lD.5

3.估计6+1的值（）

A.在1和2之间B.在2和3之间

C.在3和4之间D.在4和5之间

4.将下列各式中的绝对值符号化去：

⑴件舛（2）当3

学生独立完成，教师评价

参考答案

l.C2.B3.C

4.解：⑴Q(0)2=2,(6)2=3,2<3,/.V2<x/3,.\172->/3|=V3-V2.

⑵・.・(更[二=型,仕『」=2,空・・.好」

[3)936⑵4363636323232

课堂小结

1.实数的大小比较；

（1）比较有理数的大小：利用数轴、比较绝对值；

⑵比较无理数的大小：进行平方后比较大小，正数平方大的就大，负数平方大的

反而小.

2.无理数的估算：先估算无理数的平方在哪些整数之间，再开平方估算无理数在

哪两个整数之间.

布置作业

完成教材习题

板书设计

14.3实数

第3课时实数的运算

实数的大小比较：1.利用数轴；2利用法则，带根

号的无理数比较它们的平方

实数

实数的估算：先估算平方的范围，再估算开方的范围

第十四章实数

14.4近似数

教学目标

1.了解近似数的概念；

2.能按要求取近似值；

3.体会近似数在现实生活中的作用.

教学重难点

重点：近似数的概念；

难点：能按要求取近似值.

教学过程

导入新课

节日期间，小明欲对客厅的圆形画框用彩带做装饰，即用彩带绕画框一周.已知圆形画

框的半径是0.4米，则小明最少需要买多长的彩带？

学生讨论：需要的彩带长为2•兀-0.4=0.87：（米）.

说0.8丸米显然不合适，应把口取近似值3或3.14,估算出彩带的大约值.如：

3X0.8=2.4（米），则可买3米.

在进行实数的计算时，有时需要估计实数的范围或者按一定的精确度取近似的数.这就

是我们将要学习的近似数.

探究新知

1.近似数

我们来看看生活中存在的类似的情况：

下面是小亮两次测量身高情况的示意图:

问题1根据左图读出的数据，小亮的身高是1.63m；根据右图读出的数据，小亮的身高是

1.628m.这两个数据都是准确的吗？

答：1.63米和1.628米都是小亮身高的近似值.不是准确的

问题21.63中的三个数字，哪些数字是准确的，哪个数字不一定准确?对于L628中的四

个数字，哪些数字是准确的，哪个数字不一定准确？

答：1.63：“1”、“6”是准确的，“3”不一定准确；1.628：是“、“6”和“2”是准确的，“8”

不一定准确.

近似数：接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数，称为近似数.

注意：不要误认为整数就是准确数，分数和小数是近似数.如一辆车拉了50t货物，50是

近似数；雪糕每个0.8元，0.8是准确数.

近似数的常见情况：

(1)用测审工具测出的数据一般都是近似数，如长度、质量、时间等.

(2)“计算”产生的数据可能是近似数，如除不尽、含有圆周率”的计算结果等.

(3)不容易得到或不能得到准确数时，只能得到近似数，如人口普查的结果，就只能是一个

近似数.

练习：在下列问题中，哪些是准确数，哪些是近似数？

(1)妈妈花10元钱买了2kg香蕉.

(2)某教学楼共有5层，每层的楼梯都是28级台阶，经测量，每级台阶的高是12cm.则

教学楼的高度是5X28X0.12=16.8（m）.

（3）小亮用直尺测量一本数学课本的厚度是1.05cm,由此，他认为10本这样的数学课本

摞起来的高度就是10.5cm.

学生独立完成，教师评价.

准确数：1O5,28,10

近似数：2,12,16.8,1.05,10.5

由测量产生的数据，一般都有误差，这些数都是近似数.

2.近似数的精确度

“四舍五入法”是我们常用的取近似数的方法.

一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位.

需要计算后取近似数的，计算过程中所取的近似数的位数要比结果多一位.

如：1.69精确到0.0或百分位.

1.689精确到0.001或千分位.

新知应用

例1将圆周率冗以及4兀按下列要求取近似数：

（1）精确到个位；（2）精确到十分位.

教师指导，学生分析：

（1）精确到个位，则看十分位，满五进一，不满则舍去：

（2）精确到十分位，则看百分位，满五进一，不满则舍去.

解：（1）兀的卜分位（即小数点后面第一位）上