2024北师大版八年级数学上册《一次函数的图象》每课时教学设计汇编（含两个教学设计）

第四章一次函数

3一次函数的图象（第1课时）

一、学习任务分析

本单元的教学主线是“实际问题情境一建立函数以及一次函数模型一探索一次函数及其

图象的性质一利用一次函数及其图象解决现实问题”，其中“一次函数的图象”这一节的学

习任务主要是研究一次函数的图象以及有关性质，即熟练画出一次函数图象，掌握一次函数

及其图象的简单性质，同时通过画图过程初步了解画函数图象的一般步骤，为后续探索其他

函数的图象奠定知识基础，

在本节教学中，教材主要采用了从特殊到•般、由简单到复杂的研究方法，因此本节第

一课时研究正比例函数的图象及性质，第二课时研究一般的一次函数的图象及性质。本课时

主要解决两个问题：一是正比例函数图象的绘制方法及其共性特征：二是不同正比例函数的

差异性特征（如增减趋势、变化速率等）及其图象表现。

本节课具体的学习任务是经历画正比例函数图象的过程，初步了解画函数图象的一般步

骤，探索并理解正比例函数图象是一条直线，能熟练画出正比例函数的图象；根据图象和表

达式产依（后0）,探索并理解Q0和AO时图象的变化情况，理解及对函数增减性的影响，

并能从图象上识别其特征，总结归纳正比例函数及其图象的简单性质。

二、学生起点分析

学生知以技能基础:学生在本节课之前已经学习了函数、正比例函数和一次函数的概念,

能够根据条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式，具备了研究一次函数及其图象性质

的知识基础。同时，在七年级下册“变量之间的关系”一章，学生已通过表格、关系式和图

象等多种方式，初步建立了对变量之间关系的认知，这为后续研究函数图象奠定了重要基础。

学生活动经验基础：在七年级下册“变量之间的关系”一章，学生充分经历了对医象所

表示的变量关系的讨论,用语言描述图象所表示的变量的变化过程，积累了分析图象的经验,

发展了对图象的理解能力、从图象中获取信息的能力和有条理地进行表达的能力，为研究•

次函数的图象枳累了研究经验，奠定了能力基础。

三、教学目标

1.经历正比例函数图象的画图过程，初步了解画函数图象的一般步骤;

2.根据图象和表达式严心•（AWO）,探究Q0和K0时图象的形状、位置及增减性变化

规律，理解上对函数增减性的影响及对应的函数图象特征，运用数形结合的方法进行分析,

发展观察、思考问题的意识和能力，培养几何直观。

3.能熟练画出正比例函数的图象，掌握正比例函数及其图象的简单性质。

教学重点：掌握正比例函数及其图象的简单性质。

教学难点：探索并理解QO和KO时图象的特征。

四、教学过程设计

【第一环节】情境引入，提出问题

1.活动内容

如图，该图象反映了摩天轮上某一点离地面的高度力（单位：m）与旋转时间/（单位:

min）之间的关系，借助图象可以直观地认识函数。

把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直

角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象。

提出问题：一次函数严h+6的图象是怎样的呢？

作出猜想：教师引导学生回顾前面已经描点连线的函数：匕5.537=22.9-0.5/,猜想一

次函数的图象是一条直线。

引发探究：通过前面学习的具体实例，我们直观感受到一次函数的图象好像是一条直线,

真是这样吗？我们先从简单的正比例函数图象开始探究吧！

2.活动目的

引入新课，帮助学生理解函数图象能直观呈现变量间的关系和变化趋势，理解函数图象

的概念，引发学生对一次函数图象形状的好奇和探究。

3.注意事项

教师需要结合实例帮助学生理解函数图象的概念，通过问题自然引发学生.对一次函数图

象的好奇。整个环节遵循“提出问题一进行猜想一探究验证”的思维过程。

【第二环节】作图探究，验证图象

1.活动内容

(1)操作•思考

画正比例函数尸2x的图象。

提出问题：如何画正比例函数产2"|勺图象？

教学过程：教师引导学生一边分析函数图象的定义，一边经历''列表一描点一连线”绘

制正比例函数图象的过程，

列表：首先需要选取•些自变量的值，并将自变量的值及其对应的函数值用表格表示。

思考：列表时，可以迷取自变量x的哪些值呢？x口:以取0吗？可以取正数吗？可以取

负数吗？

X・・・-2-1012・・・

…・・・

y-4—2024

描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。

连线：把这些点依次连接起来，得到)=2x的图象，它是一条直线。

思考：①这些点真的在一条直线上吗？你能画出这条直线吗？

教师引导学生依次把这5个点连起来，从图象上可以观察到线段是共线的。

教师用数学软件绘图，再绘制1。个满足尸2x的点，依次连接各点，引导学生观察这些

点，发现它们在一条直线上。

思考：②其他满足产2x的点（x,.y）也在画出的直线上吗？请在平面直角坐标系中任

意画两个坐标满足尸2%的点，看它是否也在这条直线上，和同伴交流你的发现。

总结：正比例函数尸2x的图象是一条直线。画函数图象的一般步骤：列表、描点、连

线。

（2）思考•交流

画正比例函数尸一3x的图象。

仿照前面画图经验，按照”列表、描点、连线”的步骤，建立平面直角坐标系，画出

尸一3》的图象。教师在学生作图过程中进行巡视，并芯学生作图过程中存在的问题进行及

时指导。

提出问题：正比例函数产2丫和尸一3x的图象有什么共同特点？一般地，正比例函数

产米的图象有何特点？与同伴进行交流。

教师引导学生从图象的形状和位置等角度观察图象,初步感知正比例函数图象的形状是

一条直线，并且经过原点，从而归纳得出正比例函数产质的图象是一条经过原点（0,0）

的直线。

反思画图：如何更快地画出正比例函数严依的图象呢？

因为正比例函数的图象是一条直线，两点可以确定一条直线，所以画正比例函数的图象

时，只需要再确定一个点，例如(1,Z),过这个点和原点画直线就可以了。

2.活动目的

通过让学生经历描点画图的过程，使学生初步了解面函数图象的一般步骤，让学生在画

图并探究函数图象性质的过程中，亲身感受正比例函数的图象是一条直线。在设问时，通过

引导学生思考图象上的点和满足函数关系式的点之间的对应关系，帮助学生更好理解正比例

函数图象是一条宜.线，理解函数图象和函数表达式的对等关系，为后续学习一次函数、二元

一次方程组等知识奠定认知基础，同时发展学生的数形结合意识和几何直观素养。

3.注意事项

教师在课堂上要让学生充分经历描点画图的过程，表达自己对图象的认识，教师通过问

题引导学牛重点观察图象的形状与位置,以此渗透研究函数的一般方法,同时引导学牛从形

和数两个方面理解正比例函数图象是一条直线，发展学生数形结合的意识和能力.

【第三环节】研究图象，归纳性质

1.活动内容

(1)尝试•思考

①在同一平面直角坐标系中画出正比例函数产x,)=3x,y=-^x,y=-4x的医象，

并分析卢依中左对函数图象的影响。

教学过程：教师引导学生按照只算一个点坐标，再画该点和原点所在直线的方式来画正

比例函数图象，快速画好4个函数图象，然后引导学生思考下面的问题。

②上述四个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化？相应图象上的点的变化趋

势如何?

教师引导学生在函数图象上任取3个点，观察随着横坐标x的增大，这三个点的纵坐标

y如何变化，从而得到函数因变量》的值随自变量x值变化而变化的趋势：函数产x和产3x

中，的值随着x值的增大而增大：函数尸一以和），=-gx中，y的值随着x值的增大而

减小。

教师利用数学软件绘制正比例函数图象，通过改变上的值，引导学生发现左对函数产依

图象的影响。

归纳：在正比例函数产质中，当A>0时，y的值随着x值的增大而增大；当左<0时，y

的值随着x值的增大而减小。

（2）思考•交流

①正比例函数产x和产3x中，随着x值的增大，y的值都增大了，其中哪一个增大得更

快？你能解释其中的道理吗？

②类似地，正比例函数y二—gx和产一4x中，随着x值的增大，y的值都减小了，其

中哪一个减小得更快？你是如何判断的？与同伴进行交流。

③通过函数表达式产x,y=3x,y=尸一4x能说明上述结论吗？

教师引导学生分别从形和数两个角度认识函数值增减速度与\k\的内在关系。先从图象

上观察，\k\越大，直线越陡，相应函数值上升或下降得越快。同时，教师可利用数学绘图

软件动态演示改变参数Z的值时（分别针对心>0和&<0的情形）函数图象的变化过程，

辅助学生理解变化规律。再从函数关系式来看，x每增加或减少1,j，的值就增加或减少|川,

I川越大，相应函数值增大或减小得就越快。

归纳：I川越大，相应函数值增大或减小得越快。

2.活动目的

通过让学生在同一平面直角坐标系中画出若干正比例函数图象，让学生掌握画正比例函

数图象的方法；通过观察和比较“值不同的正比例函数图象，归纳正比例函数中因对函数

增减性的影响，落实本节课的知识性目标，同时发展学生的几何直观，让学生从数和形的角

度认识函数值增减速度与I川的内在关系，培养学生数形结合的意识和能力。

3.注意事项

教师在设计问题时，要引导学生把函数图象特征解析成变量的对应关系和变化规律，按

照“图象一图象上点的运动规律一图象上动点的坐标变化规律一＞函数增减性规律”的版序逐

步形成对图象的数量化解析。在分析图象的过程中，一要看自变量的变化，如自变量增大一

对应图象卜.点的横坐标增大一图象上点向右移动：二耍看图象卜.每个点对应的函数俏的变

化，即当自变量（横坐标）增大时，函数值（纵坐标）怎样变化。分析图象时，引导学生用

运动的观点观察图象。

【第四环节】应用性质，解决问题

1.活动内容

学生独立作图，教师巡视进行指导，让学生回答y随x的变化情况。

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例在同一平面直角坐标系中画出正比例函数y=-x,y=—x,y=一一九和y二--x

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的图象，并指出随着工值的增大，y的值分别如何变化。

随堂练习

下列正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小的有哪些？你是怎么判断的？

①尸8x；②尸-06哈③＞二正五；@y=（V2-\^3）xo

2.活动目的

通过例题，让学生进一步熟悉画正比例函数图象的方法，掌握正比例函数图象的性质，

培养学生数形结合的意识和能力。随堂练习考察人的正负与函数增减性的关系，是本节课的

重点。

3.注意事项

教师要给学生预留充足的时间独立完成随堂练习。教师对题目进行讲评时，可以让学生

充分表达思考过程。在回答解题思路的过程中，不断巩固对正比例函数图象的性质的理解。

【第五环节】课堂小结，学后反思

L活动内容

学生思考总结回答，教师对不足的地方进行补充和强调。

通过本节课，你会画正比例函数尸如a为常数，&#（））的图象吗？

你能说出正比例函数尸6a为常数，&#（））的图象特征吗？〃对函数增减性和增减速

度有什么影响？

小结：（1）画正比例函数严ha为常数，4wo）的图象，只需要画出其中一个点（非

原点），例如（1,左），然后过这个点与原点画直线即可。

通过提问的方式，引导学生回顾和总结本节课的知识与收获,加深对本节课知识的理解,

养成“学习一总结一反思”的良好学习习惯，发挥自我评价的积极作用，进一步培养学生的

数学表达能力。

3.注意事项

教师要通过问题引导学生思考总结，让学生充分表达，及时给予适当的肯定，对不足的

地方进行及时补充和强调，同时，把重点内容在课件上进行投放或者在黑板上进行板书，进

一步强化学生的理解和记忆。

【第六环节】课后思考，拓展提升

1.活动内容

小明是这样理解“函数严X的图象是一条经过原点的直线”的：如图，当产0时，.尸0,

所以原点（0,0）在函数产x的图象上；当x=Z时，y=t,即MN=ON,ZMON=45。,而这

个结论对任意的，值都成立，所以函数的图象是•条经过原点、与横轴成45。角的直线。

请你解释他的想法。

2.活动目的

通过本题帮助学牛从几何的角度理解正比例函数图象是一条直线,同时将宜线与特殊的

直角三角形建立起联系，发展学生数形结合的思想。

3.注意事项

教师要让学生充分表达思考过程，包括书面表达和口头表达。

五、教学反思

1.学习活动的设计注重数形结合与几何直观，发展学生核心素养

本节课学生在画正比例函数图象探索函数性质的过程中，按照“图象一图象上的点一图

象上点的坐标变化规律一函数自变量与因变量之间的变化关系一函数增减性”的研究顺序，

由函数图象特征得出函数性质，实现了对图象的数晟化分析，通过观察|川的大小与直线倾

斜程度的关系，归纳出\k对函数增减速度的影响。通过以上学习活动，培养学生数形结合

地解决问题的意识和能力，发展学生的儿何直观。

2.巧用信息技术设计探究活动，提升探究学习效率

本节课第三环节"研究图象，归纳性质”中，教师先设计活动1让学生通过画出4个具

体的正比例函数图象，对比观察y随x变化而变化的趋势与左的关系，再归纳正比例函数图

象的性质。在此过程中，学生不免有疑问“其他正比例函数是否也有这样的性质？”因此，

教师在活动2中巧用信息技术创新探究活动形式，通过数学软件绘图实现了在动态改变k

值的同时，实时绘制出对应的正比例函数尸质的图象，让学生能更直观地观察女的变化对

函数图象的影响，从而归纳并理解正比例函数图象的性质。

3.可以根据学生学情进行教学调整

本节课容量偏大，对于一般班级，可以去掉通过函数表达式理解左对函数增减速度的影

响，第四环节中的随堂练习可以作为课后练习。

对于学有余力的学生，教师在本节课画函数图象探究性质的过程中，还可以引导学生体

会利用函数图象研究函数增减性的基本思路，即“描点画图一观察图象形状及坐标变化特征

一函数增减性教师还可以引导学生从“数”的角度理解函数图象的特征和性质，即随着

自变量的增加，一次函数的函数值是“均匀”变化的，据此理解函数图象是一条直线；通过

正比例函数严履中“x每增加1,y的值增加太”理解固越大，函数值增大或减小得越快。

第四章一次函数

3一次函数的图象（第2课时）

一、学习任务分析

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第四章第3节第2课时。引导学

生类比正比例函数的图象，通过对应描点法继续探索一次函数图象，进而发现它

与正比例函数图象的关系；并结合一次函数的图象，通过一系列递进的探究性问

题揭示一次函数的性质。同时，通过数学软件演示强化学生认知，鼓励学生从多

角度探索、验证相关问题，为今后学习一次函数与方程、不等式等相关知识提供

知识储备，为后续学习反比例函数、二次函数提供探究方法，让学生深入体会“数

形结合”思想方法的应用。

二、学生起点分析

学生知识技能基础：学生己经学习了正比例函数的概念、图象、性质及一次

函数的概念，并会用“描点法”画函数图象。这为本节课的内容（学习一次函数

的图象、理解并掌握一次函数的性质）提供了必要的知识技能基础。

学生活动经验基础：八年级的学生已经具备了一定的实践操作能力，会观察、

分析问题，但学生探索函数性质的能力还有待加强。因此，教师在教学过程中，

应适当加以点拨，引导学生积极探索，帮助学生突破思维障碍。

三、教学目标

1.能画出一次函数的图象：能根据一次函数的图象和表达式探索并理解%＞（）

和％<0时，图象的变化情况，结合图象初步掌握一次函数的性质。

2.通过研究图象，经历知识的归纳、探究过程，培养观察、类比、概括的能

力；感受类比、分类讨论、数形结合、从特殊到一般的数学思想，发展几何直观。

3.在动手操作过程中，形成合作交流意识，培育乐于探究的良好品质。

教学重点：能画出一次函数的图象，理解一次函数的性质，以及有关参数对

一次函数图象的影响。

教学难点：探索并理解Q0和k<0时，一次函数图象的变化情况。

四、教学过程设计

【第一环节】知识回顾

1.活动内容

上节课我们研究了正比例函数及其图象，我们先来回顾上节课所学知识。

（1）形如（左W0）的函数叫作正比例函数；形如>=去+匕（左手0）的

函数叫作一次函数；当6=0时，y=kx+b（ZW0）就变成了y=kx（攵W0）,所

以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

（2）正比例函数的图象是一条过原点的直线，当Q0时，图象过第一、三

象限，歹的值随x值的漕大而增大；当K0时，图象过第二、四象限，y的值随x

值的增大而减小。

（3）|川决定了直线的倾斜程度，\k\越大，直线越陡，相应的函数值增大或

减小得越快。

正比例函数产乙的图象是一条过原点的直线，那么一次函数产气+b的图象

又是怎样的呢?与正比例函数的表达式相比，一次函数的表达式多了一个儿〃对

函数图象会有什么影响?请你先猜想一下，并带着这个猜想继续一次函数图象的

学习。

2.活动目的

引导学生复习正比例函数的相关内容，为类比探究一次函数的图象及性质做

好铺垫，明确本课时的主要任务：研究一般的一次函数），二丘+人的图象，以及

参数〃对图象的影响。

3.注意事项

教师可引导学生比较一次函数与正比例函数的表达式，对一次函数的图象进

行合理的猜测。对于学生的猜想，此时不必急于评判，教师可给予鼓励和引导。

【第二环节】操作思考

L活动内容

操作-思考

（1）用列表、描点、连线的方法画一次函数j，=2x+l的图象。

（2）一次函数，=r+1的图象真的是一条直线吗？

（3）一次函数y=2x+l的图象与正比例函数y=2x的图象有什么关系？

（4）一般地，一次函数的图象与正比例函数>=丘的图象有什么

关系？

归纳小结：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它与正比例函数y=kx

的图象相互平行。因此，画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点画

直线就可以了「一次函数y=h+/）的图象也称为直线y=h+从

2.活动目的

学生已经知道正比例函数的图象是一条直线，在此基础上，通过引入点的变

换，让学生在描点的过程中体验一次函数图象和正比例函数图象之间的关系，从

而猜想并验证一次函数>=丘+力的图象也是一条直线。通过一系列富有层次、

探究性的问题揭示知识的形成过程，加深学生对一次函数的理性认识。

3.注意事项

在学生作图探究函数图象的过程中，教师应注意设问的层次性，引导学生经

历猜想与验证一次函数图象的过程，使其完成从感性到理性的认知跃升；在实践

“两点作图法”时，应注意取点的灵活性。

【第三环节】尝试归纳

1.活动内容

尝试•思考

在一次函数歹=3汇+1,y=—x+1,y=3x~2fy=4x-3中，

（1）哪个函数y的值随着工值的增大而增大？哪个函数y的值随着x值的

增大而减小？

（2）随着x值的增大，y的值增大速度最快的函数是哪个？

（3）哪两个函数的图象相互平行？

（4）图象与y轴相交于同一点的函数有哪些？

（5）画出这四个函数的图象，验证你的结论。

思考・交流

对于一次函数歹=h+6的图象，你有哪些结论？梳理一下，并与同伴进行

交流。

2.活动目的

“尝试•思考”中的问题是本节课研究的重点问题，各有侧重。问题口）

主要讨论〃的正负对函数增减性的影响；问题（2）讨论|川对»值增大（减小）

速度的影响；问题（3）讨论上相同的一次函数之间的关系；（4）讨论6的几何

意义。

“尝试・思考”是“思考・交流”的基础。学生将“尝试•思考”的内容梳

理总结后，就可以解决“思考・交流”中的问题.

3.注意事项

这几个问题是本节课的重点，应充分让学生展开讨论。教师可借助数学软件,

引导学生自主总结上〃的改变对图象的影响，然后教师再进行补充完善，加深

学生对图象的理解，让学生能通过函数表达式想象对应的函数图象，也能通过函

数图象得到丸6应满足的条件，充分感受数形结合思想，发展几何直观。

【第四环节】巩固运用

1.活动内容

学生在课堂上独立完成练习题，教师巡视并进行指导，针对典型问题进行讲

评。

（1）在直线y=3x+6上，对于点A（3,9）和B（2,”），y\（填

写大小关系）

（2）①判断直线y=/+l与y=；x-l的位置关系。

2

②已知直线y=2x+5与直线y=相交于），轴上一点，则b的值为

（3）将直线），=一工向下平移5个单位长度，得到一个一次函数的图象，这

个一次函数的表达式为。

（4）（选做）小明画某一次函数图象，在列表时他将其中一个函数值算错

了，试在下表中找出这个算错的函数值，并写出这个函数的表达式。

X-1012

y32-2—6

2.活动目的

通过习题及时巩固新知，帮助学生理解一次函数图象的性质，灵活运用性质解决问题。

3.注意事项

对于第（4）题，有多种思考方法。教学中，应鼓励学生表达自己的想法，并进行说明，

让学生在展示交流中加深对一次函数的理解。

【第五环节】课堂小结

L活动内容

通过本节课的学习，你对一次函数的图象有哪些认识？你是怎样研究一次函数的图象

的？

2.活动目的

引导学