21.9 线段、面积与角度问题-二次函数的综合（压轴题专项讲练）（学生版）

专题21.9线段、面积与角度问题——二次函数的综合典例分析典例分析【典例1】已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为（3）如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．在抛物线上是否存在点M，使∠MFA【思路点拨】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出BC的解析式，设Pm,-m2+2m+3（3）易得FE垂直平分AC，设OF=a，则CF=AF=【解题过程】（1）解：把A-1,0，-1-b+∴y=-（2）解：∵当y=0时，-x2+2x∴B3,0∴设直线BC的解析式为：y=把B3,0代入，得：k∴y=-设Pm,-m2+2PK=-m2+2m∴S1=1∴S1∴当m=158时，S（3）解：∴A-1,0，C0,3，点E∴E-∵FE⊥∴AF=∴∠AFE设OF=a，则在Rt△COF中，由勾股定理，得：∴a=4∴F4,0，CF∵FE⊥AC，∴∠AFE∴∠AFE设FE的解析式为：y=kx+b，4k解得：k=-∴y=-联立y=-解得x1=7+∴M7-109取点E关于x轴的对称点，连接交抛物线于点M，则：∠MFA=∠EFA=∠OCA，设的解析式为：y=k则：4k解得：k=∴y=联立y=-解得x1=5+∴M5+181综上，点M的坐标为7+1096,17-10918或学霸必刷学霸必刷1．（2024·山西·二模）如图，抛物线y=-13x2+43x+4与x轴交于A，B两点（点（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段BC所在直线的函数表达式；（2）点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点N求线段2．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，抛物线y=-12x2+32x+2交x轴于（1）求四边形ABDC的面积；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PC-PB的值最大，若存在，试求出点3．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A1,0，B-5,0两点，与y轴交于点C，P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点（1）求抛物线的解析式；（2）若点P位于线段BC上方，求△PBC（3）若图象G的最大值与最小值的差为4，求m的取值范围．4．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠5．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，直线l：（1）求点C的坐标和直线l的解析式；（2）点P是y轴上的一点，求满足PB+PC的值为最小的点（3）点Q是直线l下方抛物线上一动点，动点Q运动到什么位置时，△AQC的面积最大?求出此时Q点坐标和△6．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，拋物线y=-12x2+12x+3与x轴正半轴交于点（1）求△ABC（2）若点P是抛物线对称轴上一点，且S△ABC=27．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3过点A（1）求抛物线的解析式；（2）第一象限内的抛物线y=ax2+bx+3图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD（3）抛物线y=ax2+bx+3的顶点为Q，直线y=kx与抛物线交于点E，F8．（23-24九年级上·广东湛江·期中）如图，二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴为直线x=4，图象过点A、B、（1）求二次函数的表达式；（2）当点M位于x轴下方的抛物线上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值．（3）在（2）的条件下，当点M位于x轴下方的抛物线上时，求△CBM9．（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B3,0

（1）求抛物线的解析式；（2）若DE是该抛物线的对称轴，点D是顶点，点P是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点．（ⅰ）如图2，连接BP，若△PCB的面积为3，求点P（ⅱ）如图3，连接BC，与DE交于点G，连接PC，PG，PD，求2S

10．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，抛物线y=ax2+bx-3经过A-

（1）求抛物线的函数表达式；（2）设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，过点P作PM⊥x轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点N．当∠MPA=2∠PAC11．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一抛物线y=x24，直线y=kx（k≠0（1）当k=2时，求A，B（2）在（1）的条件下，第一象限一点P在抛物线上，当SΔPAB=（3）试探究直线AB是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．12．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+2ax-3a的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B（1）则点A坐标为；点B坐标为；（2）若二次函数y=ax2+2ax-3a（3）若二次函数y=ax2+213．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于点A，点B6,0（点（1）求b，（2）连接BC，点P是直线BC下方抛物线上的一点，连接AC，（ⅰ）如图2，AP与BC交于点M，若S△ACM-（ⅱ）如图3，过点P作PQ∥AC交BC于点Q，连接AQ，求14．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A-4,0，B2,0两点，直线l与抛物线交于（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若P是抛物线上的点且在直线l的下方，连接PA，PD，当△PAD的面积最大时，求出点P（3）若Q是y轴上的点，且∠ADQ=45°，请直接写出点15．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知抛物线y＝-x2+bx+c过点A-（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是x轴上的一个动点，当MA+MC的值最小时，求点（3）如图2，连接AB，在AB上方的抛物线上是否存在一动点D，使△ABD面积取得最大值，若存在，求出D点坐标，并求△16．（2023·山东东营·二模）如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A-（1）求抛物线的解析式．（2）点P是第三象限抛物线上一点，当△BCP的面积为12时，求P（3）抛物线上是否存在点Q使得∠QCB=∠CBO17．（23-24九年级上·全国·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于点A，B（A在y轴右侧，B在y轴左侧），C（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PO+PC的值最小，若存在，请求出点（3）若y=ax2+bx+c有最低点，点18．（23-24九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+6a≠0交x轴于A、B两点，交y轴于点C（1）求抛物线的解析式；（2）动点P和动点Q同时出发，点P从点A以每秒2个单位长度的速度沿AC运动到点C，点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿CO运动到点O，连接PQ，当点P到达点C时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值及此时点（3）将原抛物线沿射线CA方向平移22个单位长度，在平移后的抛物线的对称轴上存在点G，使得∠ACG=15°19．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)（1）求抛物线的解析式；（2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使∠CAP=45°？若存在，求出点（3）当点P在第一象限时，连接BP，设△ACP的面积为S1，△BCP的面积为S20．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图1，已知抛物线y=12x2+x-4的图象与x轴交于A，B（1）抛物线顶点为