成考（专升本）高数（一）两个重要极限

成考（专升本）高数（一）两个重要极限目

录两个重要极限的概念与意义01两个重要极限的计算方法02两个重要极限的应用0301两个重要极限的概念与意义极限描述了当自变量趋近某一点时，函数值趋近某一特定值的行为极限是一种理想化的概念，用于研究函数在无限接近某一点时的变化趋势极限分为左极限和右极限，分别表示从左侧和右侧趋近某点时函数的极限值极限的定义利用极限的定义和性质进行计算应用极限的四则运算法则和已知的极限公式使用无穷小替换和等价无穷小方法极限的计算方法极限具有唯一性，即当自变量趋近某一点时，极限值唯一极限具有局部保号性，即如果极限值是正数或负数，那么在这一点附近函数值也会保持同号极限具有四则运算法则，可以用于简化极限计算极限的性质极限在微积分学中用于导数和积分的定义极限在物理学中描述物理量的变化趋势极限在工程学中评估系统的稳定性和响应极限的应用领域极限的基本概念$\lim_{x

\to

0}

\frac{\sin

x}{x}

=

1$$\lim_{x

\to

\infty}

(1

+

\frac{1}{x})^x

=

e$第一个重要极限的表达式利用三角函数的泰勒展开进行推导利用指数函数的泰勒展开进行推导第一个重要极限的推导过程应用在求解初等函数的极限应用在导数的定义和计算中第一个重要极限的应用实例在物理学中描述振动和波动现象在工程学中分析系统的频率响应第一个重要极限在实际问题中的意义第一个重要极限$\lim_{x

\to

\infty}

x^a

e^{-

x}

=

0$

（其中$a$为常数）$\lim_{x

\to

0^+}

x^a

\ln

x

=

0$

（其中$a

>

0$）第二个重要极限的表达式应用在概率论中的泊松分布应用在工程学中的可靠性分析第二个重要极限的应用实例利用指数函数和对数函数的性质进行推导使用洛必达法则或者夹逼定理进行推导第二个重要极限的推导过程在统计学中描述随机事件的概率在工程学中评估系统寿命和故障率第二个重要极限在实际问题中的意义第二个重要极限02两个重要极限的计算方法适用于可以直接求解的极限问题要求极限表达式中不含变量变化趋向极限表达式可以直接代入求解直接计算法的适用条件确定极限表达式的形式直接代入变量的极限值计算表达式的结果直接计算法的步骤优点：计算简单直观缺点：适用范围有限注意：可能无法处理复杂极限问题直接计算法的优缺点实例：求极限

$\lim_{x

\to

0}

x^2$分析：直接代入

$x

=

0$，得到结果

$0$结论：直接计算法得到正确结果直接计算法的实例分析直接计算法极限的四则运算法则加法法则：$\lim_{x

\to

a}

(f(x)

+

g(x))

=

\lim_{x

\to

a}

f(x)

+

\lim_{x

\to

a}

g(x)$乘法法则：$\lim_{x

\to

a}

(f(x)

\cdot

g(x))

=

\lim_{x

\to

a}

f(x)

\cdot

\lim_{x

\to

a}

g(x)$除法法则：$\lim_{x

\to

a}

\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)

=

\frac{\lim_{x

\to

a}

f(x)}{\lim_{x

\to

a}

g(x)}$，$g(x)

\neq

0$复合函数的极限法则设

$f(x)$

在

$x

=

a$

连续，$g(x)$

在

$x

=

a$

极限存在，则

$\lim_{x

\to

a}

f(g(x))

=

f(\lim_{x

\to

a}

g(x))$适用于内函数极限存在且外函数连续的情况需要确保内外函数的极限和连续性条件满足无穷小量的比较法则设

$\lim_{x

\to

a}

f(x)

=

0$

和

$\lim_{x

\to

a}

g(x)

=

0$，则

$\lim_{x

\to

a}

\frac{f(x)}{g(x)}$

存在且有确定的关系可以用于判断无穷小量之间的阶数关系常用于洛必达法则中的导数比较极限运算中的常见错误分析错误：忽视极限值的存在性错误：错误应用四则运算法则错误：忽略函数连续性的条件极限的运算法则定义：数列极限描述了数列项随着项数增加趋向于某一固定值的行为性质：数列极限具有唯一性、存在性和保号性应用：数列极限是研究函数极限的基础数列极限的定义与性质技巧：通过观察数列的规律寻找通项公式技巧：利用数列的性质和已知的极限运算规则技巧：转化数列极限为函数极限进行计算数列极限的计算技巧题型：求等差数列、等比数列的极限题型：求无穷大量和无穷小量的极限题型：求解涉及数列的极限定理问题数列极限的常见题型实例：求极限

$\lim_{n

\to

\infty}

\frac{1}{n}$分析：利用数列极限的定义，项数趋于无穷大时，项值趋于0结论：得到数列极限为0数列极限的计算实例数列极限的计算方法03两个重要极限的应用极限在导数中的应用利用极限定义导数导数在某点的极限与该点的导数的关系导数的极限性质在求解复杂函数导数中的应用极限在积分中的应用定积分的定义与极限的关系变限积分的极限性质极限在积分计算中的应用，如极限换元法极限在级数中的应用极限在微分方程中的应用利用极限求解微分方程的初值问题极限在微分方程稳定性分析中的作用极限在寻找微分方程解析解中的应用级数收敛的极限定义极限在级数收敛性判别中的应用极限在级数求和中的应用在微积分中的应用利用极限分析物理量的变化趋势极限在物理模型建立中的作用极限在物理定律推导中的应用01极限在物理中的应用极限在经济学模型构建中的应用极限在分析经济变量趋势中的作用极限在经济学预测分析中的应用03极限在经济学中的应用极限在工程优化问题中的运用极限在工程风险评估中的应用极限在工程模拟分析中的价值02极限在工程中的应用极限在生物种群增长模型中的应用极限在生物化学动力学研究中的应用极限在生物信息学数据分析中的应用04极限在生物学中的应用在实际问题中的应用01020304极限与连续性的关系极限在判断函数连续性的应用极限与连续性定理的关系极限在连续函数性质分析中的应用极限与导数的关系导数的定义与极限的关系