2025年线性代数备用卷试题

2025年线性代数备用卷试题一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）设三阶行列式$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=2$，则行列式$\begin{vmatrix}2a_{11}&-a_{12}&3a_{13}\2a_{21}&-a_{22}&3a_{23}\2a_{31}&-a_{32}&3a_{33}\end{vmatrix}=$（）A.-12B.-6C.6D.12设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$，且$AB=BA$，则下列条件中不成立的是（）A.$b=2c$B.$a-d=2(c-b)$C.$3b=2a-2d$D.$a+d=5$向量组$\alpha_1=(1,2,3)^T$，$\alpha_2=(2,4,6)^T$，$\alpha_3=(3,6,t)^T$的秩为2，则$t$的值为（）A.9B.6C.3D.0线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\2x_1+3x_2+4x_3=2\3x_1+4x_2+5x_3=3\end{cases}$的解的情况是（）A.无解B.唯一解C.无穷多解，且基础解系含1个向量D.无穷多解，且基础解系含2个向量设矩阵$A$的特征值为1，2，3，则$A^2-2A+E$的特征值为（）A.0，1，4B.1，2，5C.2，3，6D.-1，0，3设$A$为3阶正交矩阵，且$|A|=1$，则$|A-E|=$（）A.0B.1C.-1D.2二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+5x_1x_3+6x_2x_3$的矩阵为（）A.$\begin{pmatrix}1&2&2.5\2&2&3\2.5&3&3\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&4&5\0&2&6\0&0&3\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&2&2.5\2&2&3\2.5&3&3\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&2&5\2&2&6\5&6&3\end{pmatrix}$设$A$为$m\timesn$矩阵，$r(A)=r$，则下列结论正确的是（）A.若$r=m$，则$Ax=b$有解B.若$r=n$，则$Ax=0$有唯一解C.若$m=n$，则$A$可逆D.若$r<m$，则$Ax=b$有无穷多解矩阵$A=\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix}$与下列矩阵相似的是（）A.$\begin{pmatrix}1&1&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&1\0&0&3\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&0&1\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&1&3\end{pmatrix}$设$V$是由所有2阶实对称矩阵构成的线性空间，则$V$的维数为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）行列式$\begin{vmatrix}0&1&0&0\0&0&2&0\0&0&0&3\4&0&0&0\end{vmatrix}=$________。设$A=\begin{pmatrix}1&0&0\2&1&0\3&2&1\end{pmatrix}$，则$A^{-1}=$________。向量空间$V={(x_1,x_2,x_3)|x_1+x_2+x_3=0}$的一组基为________。设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$，则$A$的伴随矩阵$A^*$的特征值为________。二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+4x_2x_3$的秩为________。设$A$为3阶矩阵，且$|A|=2$，则$|A^*+2A^{-1}|=$________。三、解答题（共6小题，共70分）17.（10分）计算n阶行列式$D_n=\begin{vmatrix}a&b&b&\cdots&b\b&a&b&\cdots&b\b&b&a&\cdots&b\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\b&b&b&\cdots&a\end{vmatrix}$。18.（12分）设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&4&6\3&6&k\end{pmatrix}$，且$r(A)=2$。（1）求$k$的值；（2）求$A$的列向量组的一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示。19.（12分）已知线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=0\x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0\x_1+3x_2+5x_3+7x_4=0\x_1+4x_2+7x_3+10x_4=0\end{cases}$（1）求该方程组的基础解系；（2）求该方程组解空间的维数和一组标准正交基。20.（12分）设矩阵$A=\begin{pmatrix}2&1&1\1&2&1\1&1&2\end{pmatrix}$，（1）求$A$的特征值和特征向量；（2）求正交矩阵$Q$和对角矩阵$\Lambda$，使得$Q^TAQ=\Lambda$。21.（12分）设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+4x_2x_3$，（1）用正交变换将$f$化为标准形；（2）判断$f$是否正定，并说明理由。22.（12分）设$V$是2阶实矩阵构成的线性空间，定义线性变换$T:V\toV$为$T(X)=AX$，其中$A=\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}$，$X\inV$。（1）求$T$在基$E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix}$，$E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}$，$E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\1&0\end{pmatrix}$，$E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\0&1\end{pmatrix}$下的矩阵；（2）求$T$的特征值和特征向量。参考答案及评分标准（部分提示）一、选择题A（行列式性质：数乘某行/列，行列式值乘该数；交换行列符号改变）D（通过矩阵乘法展开$AB$与$BA$，对比系数）A（向量组线性相关的充要条件是行列式为0）C（系数矩阵与增广矩阵秩均为2，未知数个数为3）A（若$\lambda$是$A$的特征值，则$f(\lambda)$是$f(A)$的特征值）二、填空题24（按第一列展开，递推计算）$\begin{pmatrix}1&0&0\-2&1&0\1&-2&1\end{pmatrix}$（下三角矩阵的逆矩阵仍为下三角矩阵）$(1,-1,0)^T$，$(1,0,-1)^T$（基础解系即为解空间的基）三、解答题提示：将第2至n行加到第1行，提取公因式后化为上三角行列式，结果为$a+(n-1)b^{n-1}$。（1）$k=9$（通过初等行变换化为行阶梯形，秩为2时最后一行全为0）；（2）最大无关组为$\alpha_1,\alpha_2$，$\alpha_3=3\alpha_1+0\alpha_2$。（1）基础解系为$\xi_1=(1,-2,1,0)^T$，$\xi_2=(2,-3,0,1)^T$；（2）解空间维数为2，标准正交基需用施密特正交化处理。（1）特征值为4（二重），1（单重）；特征向量分别为$k_1(1,1,0)^T+k_2(1,0,1)^T$（$k_1,k_2$不全为0）和$k_3(-1,1,1)^T$（$k_3\neq0$）；（2）正交矩阵$Q$由单位化特征向量构成，对角矩阵$\Lambda=\text{diag}(4,4,1)$。（1）标准形为$4y_1^2+2y_2^2$（特征值为4，2，0）；（2）不正定（