2024苏科版八年级数学上册《勾股定理的发现》教学设计

3.1勾股定理（第1课时勾股定理的发现）教学设计

^^教学分析

教学内容与解析

1.教学内容

-教材版本：苏科版新教材数学

-年级：八年级上册

-章节：第三章勾股定理3.1勾股定理（第1课时勾股定理的发现）

-核心知识点：勾股定理的发现过程；勾股定理的内容（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）；

勾股定理的初步应用（求直角三角形未知边长、在数轴上表示无理数。为正整数）

2.内容解析

本节课先通过探究直角三角形三边向外作止方形的面枳关系，引导学生发现勾股定理，符合“数形结合''

思想，让抽象定理具象化。勾股定理是直角三角形重要性质，是后续学习几何计算、表示无理数的基础，

还承载数学文化（商高“勾三股四弦五''、《周髀算经》记载）。教学重点为经历勾股定理发现过程、理解定

理内容，以及运用定理求直角三角形未知边长和表示无理数。

教学目标与解析

1.教学目标

（1）经历探求勾股定理的过程，发展几何直观，体会数形结合的思想。

（2）能够应用勾股定理求直角三角形的未知边长。

（3）能够利用勾股定理表示无理数G为正整数）

2.目标解析

（1）达成标准：学生能通过“补”“割”法计算直角三角形三边外正方形面积，发现面积关系，进而推导勾股

定理，能举例说明数形结合思想在推导中的体现。

（2）达成标准：已知直角三角形任意两边长，学生能准确判断直角边和斜边，代入勾股定理公式

（a2+b2=c\NC=90"）求出未知边长，计算过程无错误。

（3）达成标准：对于给定正整数。，学生能构造直角边平方和为。的直角三角形，以斜边为半径画弧，在

数轴上找到表示右的点，作图步骤正确。

学情分析

-已有知识：学生已掌握直角三角形内角关系（直角与两锐角互余），会计算正方形和三角形面积，能进行

简单平方、开方运算，具备初步几何直观和逻辑推理能力。

-学习难点：一是从正方形面积关系抽象出直角三角形三边平方关系，实现“形”到“数”的转化；二是运用勾

股定理时，准确判断未知边是直角边还是斜边（如已知两边长，需先明确边的类型再计算）：三是构造直

角三角形表示无理数G时，合理选择直角边长度。

-学习易点：通过具体图形（方格纸中的直角三角形、正方形）计算面枳，发现面积间的数量关系，此过程

直观易懂，学生较易完成：对勾股定理“勾三股四弦五”的特例记忆和理解难度较低。

教学过程设计

新课导入

创设情景，引入新课

樨出问撅：百角三角形的内角之间存在特殊关系——一个角为直角，另外两个锐角互余。那么，百角三角

形的三条边之间是否也存在某种特殊关系呢？

【设计意图】从学生已学的直角三角形内角关系切入，引发认知冲突，激发学生对直角三角形三边关系的

探究兴趣，明确本节课学习方向，为后续新知探究奠定基础。

新知探塞

探究点1:探究直角三角形三边外正方形的面积关系

1.问题引入

展示如图所示的以其三边为边分别向外画一个正方形，提问：所画的三个正方形面积之间有怎

样的数量关系？

小组内交流计算结果，讨论三个正方形面积的关系。

2.详细过程

（1）用“补”的方法计算正方形AEDB面积：

S正方彩A£O8=7X7—4XSAA8C

=49—4x-x3x4

2

=25.

（2）用“割”的方法计算正方形AEDB面积:

SilFM八EC8=4XSA八/1x1

=4x-x3x4+I

2

=25.

（3）分析面积关系：正方形BHIC面积为9,正方形ACFG面积为16,正方形AEDB面积为25,可得

SF专耙AEDB=S正方形8〃/c+S正方彩ACFG

AB2=BC2+AC2

即RSA8C两条直角边的平方和等于斜边的平方.

3.拓展验证：让学生在方格纸上任意画顶点在格点上的直角三角形，分别以三边为边向外作正方形，计算

面积并验证上述关系，教师巡视指导。

4.例题巩固

例I：如图，已知直角三角形的两边长，求第三边的长.

解：(1)根据勾股定理，得

122+52=4,

即d=169.

所以C=A/169=13.

(2)根据勾股定理，得

2?+岳=5?,

即〃=2].

所以h=yj2i.

例2：梯子靠墙问题

-题目：如图，长2.5〃?的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为41L5"?.求梯子顶端距地面的高度

h.

解：根据勾股定理，得

i.52+//2=2.52,

即力2=4.

所以h=2.

答：梯子顶端距地面的高度为2m.

【设计意图】通过推导过程让学生理解勾股定理的来源，结合数学文化增强学习兴趣；例题练习帮助学生

掌握勾股定理的应用方法，明确不同情况下（已知直角边求斜边、已知直角边和斜边求另一直角边、实际

问题）的解题思路，突破应用难点。

探究点3：利用勾股定理表示无理数&（。为正整数）

1.问题引入

提问：我们知道数轴上的点可以表示有理数，那么无理数（如百、我）能否在数轴上表示呢？如何利用

勾股定理表示？

2.师生活动

-教师：以表示出为例，引导学生思考构造直角三角形的方法（直角边平方和等于5）；演示在数轴上表

示石的步骤。并尝试表示布，-后等

•学生：思考并尝试构造符合条件的直角三角形，动手操作在数轴上表不无理数，小组内交流作图方法。

3.详细过程

（1）表示逐：

-构造直角三角形：画直角边分别为2和I的直角三角形，根据勾股定理，斜边为5/否了=丁币=石。

-在数轴上表示：以原点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴止半轴交于点P，则点。即为表示石的点。

例3在数轴上画出门对应的点.

解：如图，画一个直角边分别为2和1的直角三角形.

由勾股定理知，斜边为」22+8=a.以原点为圆心，斜边长为半径

画弧，与数轴正半轴交于点P，则尸为遥对应的点.

（2）表刁:：

-构造直角三角形：画直角边分别为2和2的直角三角形，斜边为百=>/布=际。

-在数轴上表示：以原点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴正半轴交于对应点，即为表示次的点。

例在数轴上找出表示我的点.（不写作法，保留作图痕迹）

解：如图，画一个直角边分别为2和2的直角三角形.由勾股定理知，斜边为J22+22=*.以原点为圆心,

斜边长为半径画弧，与数轴正半轴交于我对应的点.

-构造直角三角形：画直角边分别为1和4的直角三角形，斜边为Jf+42=Jl+16=Ji7。

-在数轴上表示：以原点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴负半轴交于对应点，即为表示-J万的点。

例在数轴上找出表示一旧的点.（不写作法，保留作图痕迹）

解：如图，画一个直角边分别为I和4的直角三角形.由勾股定理知，斜边为J12*42=g.以原点为圆心，

斜边长为半径画弧，与数轴负半轴交于一旧对应的点.

产III一

―44~-2~-101

【设计意图】让学生掌握利用勾股定理表示无理数的方法，建立“数”与“形”的联系，拓展对数轴的认识，培

养学生的动手操作能力和逻辑推理能力，为后续学习无理数的几何意义奠定基础。

巩固练习

1.求下列直角三角形中未知边的长：

-（1）解析:根据勾股定理。2+从=°2（。为斜边），得f+匕2=132,即x2=169-144=25,所以兀=50

-：2)解析：根据勾股定理，^=82+152=64+225=289,所以x=17。

-：3)解析：根据勾股定理，X2+122=152,即r=225—144=81,所以x=9。

-答案：(1)x=5；(2)x=17；(3)x=9o

2.求图中x、y的值：

-(I)-解析：根据勾股定理，工2=81+100=181,所以工=J而。

-[2)-解析：根据勾股定理，144+V=169,即丁=169-144=25,所以)，二5。

-答案：(1)x=y/is\；(2)y=5o

3.求图中x的值：

⑴(2)

-(1)解析：根据勾股定理，X2=42+42=16+16=32,所以工二病。

-(2)解析：根据勾股定理，82=X2+(4X/3)2,即64=/+48,x2=64-48=16,所以1=4。

-答案：(1)x=V32；(2)A=4O

【设计意图】通过多样化的巩固练习，涵盖勾股定理应用的不同场景(已知两边求第三边、已知边的平方

求边、含无理数边的计算)，帮助学生全面掌握勾股定理的运用，查漏补缺，强化知识记忆。

拓展提升

i.如图，设每个小方格的面积为I,画出图中以格点为端点且长度分别为血、石、的线段。

-分析♦:要画长度为血的线段，需构造直角边平方和为2的直角三角形，即直角边为1和i（r+『=2）；

长度为逐的线段，对应直角边为1和2（『+22=5）；长度为的线段，对应直角边为2和3

（22+32=13）。

-作图：在方格纸中找到格点，连接构成上述直角三角形的斜边，即为所求线段（如线段。为、历，线段力

为后,线段c为至）。

【设计意图】通过在方格纸中画特定长度的线段，进一步巩固利用勾股定理构造直角三角形表示无理数的

方法，提升学生对勾股定理的灵活运用能力，增强几何直观素养。

四小结

1.知识层面：回顾勾股定理的发现过程（从直角三角形三边外正方形面积关系推导）；明确勾股定理内容

（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,符号语言:在RbABC中，NC=90"则"+〃2=仃2）；

梳理勾股定理的应用（求直角三角形未知边长、在数轴上表示无理数G）。

2.方法层面：总结“数形结合”思想在本节课的运用（通过图形面积关系推导数量关系、利用图形表示无理

数）。

,内容一直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

商高，毕达哥拉斯定理

勾股定理的发现

（应用

【设计意图】通过系统总结，帮助学生梳理本节课知识框架，形成完整的知识体系，回顾关键思想方法，

加深对勾股定理的理解和记忆，为后续学习奠定基础。

版书设计

3.1勾股定理（第1课时勾股定理的发现）

1.问题引入：直角三角形三边是否存在特殊关系？

2.探究过程:

-正方形面积关系：

・“补”法计算面积：7x7-4x1x3x4=25

2

-“割”法计算面积：4x1x3x4+1=25

2

3.勾股定理：

-内容：百角三角形两条百角力的平方和等于斜i力的平方

•符号语言：在RMABC中,ZC=90\则。2+〃=/

-数学文化：商高“勾三股四弦五”、《周髀算经》、毕达哥拉斯定理

4.勾股定理应用：

-求直角三角形未知边长（例题1、例题2）

-表示无理数（如石、瓜、-V17）

5.巩固练习：

作业布置

1.基础作业：完成教材中本课时对应的练习题，巩固勾股定理的基本应用。

2.提升作业:在数轴上画