2024苏科版八年级数学上册第三章《 勾股定理》每节课教学设计汇编（含五个教学设计）

3.1勾股定理（第1课时勾股定理的发现）教学设计

^^教学分析

教学内容与解析

1.教学内容

-教材版本：苏科版新教材数学

-年级：八年级上册

-章节：第三章勾股定理3.1勾股定理（第1课时勾股定理的发现）

-核心知识点：勾股定理的发现过程；勾股定理的内容（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）；

勾股定理的初步应用（求直角三角形未知边长、在数轴上表示无理数。为正整数）

2.内容解析

本节课先通过探究直角三角形三边向外作止方形的面枳关系，引导学生发现勾股定理，符合“数形结合''

思想，让抽象定理具象化。勾股定理是直角三角形重要性质，是后续学习几何计算、表示无理数的基础，

还承载数学文化（商高“勾三股四弦五''、《周髀算经》记载）。教学重点为经历勾股定理发现过程、理解定

理内容，以及运用定理求直角三角形未知边长和表示无理数。

教学目标与解析

1.教学目标

（1）经历探求勾股定理的过程，发展几何直观，体会数形结合的思想。

（2）能够应用勾股定理求直角三角形的未知边长。

（3）能够利用勾股定理表示无理数G为正整数）

2.目标解析

（1）达成标准：学生能通过“补”“割”法计算直角三角形三边外正方形面积，发现面积关系，进而推导勾股

定理，能举例说明数形结合思想在推导中的体现。

（2）达成标准：已知直角三角形任意两边长，学生能准确判断直角边和斜边，代入勾股定理公式

（a2+b2=c\NC=90"）求出未知边长，计算过程无错误。

（3）达成标准：对于给定正整数。，学生能构造直角边平方和为。的直角三角形，以斜边为半径画弧，在

数轴上找到表示右的点，作图步骤正确。

学情分析

-已有知识：学生已掌握直角三角形内角关系（直角与两锐角互余），会计算正方形和三角形面积，能进行

简单平方、开方运算，具备初步几何直观和逻辑推理能力。

-学习难点：一是从正方形面积关系抽象出直角三角形三边平方关系，实现“形”到“数”的转化；二是运用勾

股定理时，准确判断未知边是直角边还是斜边（如已知两边长，需先明确边的类型再计算）：三是构造直

角三角形表示无理数G时，合理选择直角边长度。

-学习易点：通过具体图形（方格纸中的直角三角形、正方形）计算面枳，发现面积间的数量关系，此过程

直观易懂，学生较易完成：对勾股定理“勾三股四弦五”的特例记忆和理解难度较低。

教学过程设计

新课导入

创设情景，引入新课

樨出问撅：百角三角形的内角之间存在特殊关系——一个角为直角，另外两个锐角互余。那么，百角三角

形的三条边之间是否也存在某种特殊关系呢？

【设计意图】从学生已学的直角三角形内角关系切入，引发认知冲突，激发学生对直角三角形三边关系的

探究兴趣，明确本节课学习方向，为后续新知探究奠定基础。

新知探塞

探究点1:探究直角三角形三边外正方形的面积关系

1.问题引入

展示如图所示的以其三边为边分别向外画一个正方形，提问：所画的三个正方形面积之间有怎

样的数量关系？

小组内交流计算结果，讨论三个正方形面积的关系。

2.详细过程

（1）用“补”的方法计算正方形AEDB面积：

S正方彩A£O8=7X7—4XSAA8C

=49—4x-x3x4

2

=25.

（2）用“割”的方法计算正方形AEDB面积:

SilFM八EC8=4XSA八/1x1

=4x-x3x4+I

2

=25.

（3）分析面积关系：正方形BHIC面积为9,正方形ACFG面积为16,正方形AEDB面积为25,可得

SF专耙AEDB=S正方形8〃/c+S正方彩ACFG

AB2=BC2+AC2

即RSA8C两条直角边的平方和等于斜边的平方.

3.拓展验证：让学生在方格纸上任意画顶点在格点上的直角三角形，分别以三边为边向外作正方形，计算

面积并验证上述关系，教师巡视指导。

4.例题巩固

例I：如图，已知直角三角形的两边长，求第三边的长.

解：(1)根据勾股定理，得

122+52=4,

即d=169.

所以C=A/169=13.

(2)根据勾股定理，得

2?+岳=5?,

即〃=2].

所以h=yj2i.

例2：梯子靠墙问题

-题目：如图，长2.5〃?的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为41L5"?.求梯子顶端距地面的高度

h.

解：根据勾股定理，得

i.52+//2=2.52,

即力2=4.

所以h=2.

答：梯子顶端距地面的高度为2m.

【设计意图】通过推导过程让学生理解勾股定理的来源，结合数学文化增强学习兴趣；例题练习帮助学生

掌握勾股定理的应用方法，明确不同情况下（已知直角边求斜边、已知直角边和斜边求另一直角边、实际

问题）的解题思路，突破应用难点。

探究点3：利用勾股定理表示无理数&（。为正整数）

1.问题引入

提问：我们知道数轴上的点可以表示有理数，那么无理数（如百、我）能否在数轴上表示呢？如何利用

勾股定理表示？

2.师生活动

-教师：以表示出为例，引导学生思考构造直角三角形的方法（直角边平方和等于5）；演示在数轴上表

示石的步骤。并尝试表示布，-后等

•学生：思考并尝试构造符合条件的直角三角形，动手操作在数轴上表不无理数，小组内交流作图方法。

3.详细过程

（1）表示逐：

-构造直角三角形：画直角边分别为2和I的直角三角形，根据勾股定理，斜边为5/否了=丁币=石。

-在数轴上表示：以原点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴止半轴交于点P，则点。即为表示石的点。

例3在数轴上画出门对应的点.

解：如图，画一个直角边分别为2和1的直角三角形.

由勾股定理知，斜边为」22+8=a.以原点为圆心，斜边长为半径

画弧，与数轴正半轴交于点P，则尸为遥对应的点.

（2）表刁:：

-构造直角三角形：画直角边分别为2和2的直角三角形，斜边为百=>/布=际。

-在数轴上表示：以原点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴正半轴交于对应点，即为表示次的点。

例在数轴上找出表示我的点.（不写作法，保留作图痕迹）

解：如图，画一个直角边分别为2和2的直角三角形.由勾股定理知，斜边为J22+22=*.以原点为圆心,

斜边长为半径画弧，与数轴正半轴交于我对应的点.

-构造直角三角形：画直角边分别为1和4的直角三角形，斜边为Jf+42=Jl+16=Ji7。

-在数轴上表示：以原点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴负半轴交于对应点，即为表示-J万的点。

例在数轴上找出表示一旧的点.（不写作法，保留作图痕迹）

解：如图，画一个直角边分别为I和4的直角三角形.由勾股定理知，斜边为J12*42=g.以原点为圆心，

斜边长为半径画弧，与数轴负半轴交于一旧对应的点.

产III一

―44~-2~-101

【设计意图】让学生掌握利用勾股定理表示无理数的方法，建立“数”与“形”的联系，拓展对数轴的认识，培

养学生的动手操作能力和逻辑推理能力，为后续学习无理数的几何意义奠定基础。

巩固练习

1.求下列直角三角形中未知边的长：

-（1）解析:根据勾股定理。2+从=°2（。为斜边），得f+匕2=132,即x2=169-144=25,所以兀=50

-：2)解析：根据勾股定理，^=82+152=64+225=289,所以x=17。

-：3)解析：根据勾股定理，X2+122=152,即r=225—144=81,所以x=9。

-答案：(1)x=5；(2)x=17；(3)x=9<,

2.求图中x、y的值：

-(I)-解析：根据勾股定理，工2=81+100=181,所以_r=J而。

-[2)-解析：根据勾股定理，144+V=169,即丁=169-144=25,所以)，二5。

-答案：(1)x=y/is\；(2)y=5o

3.求图中x的值：

⑴(2)

-(1)解析：根据勾股定理，X2=42+42=16+16=32,所以x二痕。

-(2)解析：根据勾股定理，82=X2+(4V3)2,即64=f+48,移项得V=^-48=16,所以1=4。

-答案：(1)x=V32；(2)A=4O

【设计意图】通过多样化的巩固练习，涵盖勾股定理应用的不同场景(已知两边求第三边、已知边的平方

求边、含无理数边的计算)，帮助学生全面掌握勾股定理的运用，查漏补缺，强化知识记忆。

拓展提升

i.如图，设每个小方格的面积为I,画出图中以格点为端点且长度分别为血、石、的线段。

-分析♦:要画长度为血的线段，需构造直角边平方和为2的直角三角形，即直角边为1和i（r+『=2）；

长度为逐的线段，对应直角边为1和2（『+22=5）；长度为的线段，对应直角边为2和3

（22+32=13）。

-作图：在方格纸中找到格点，连接构成上述直角三角形的斜边，即为所求线段（如线段〃为线段力

为后,线段c为至）。

【设计意图】通过在方格纸中画特定长度的线段，进一步巩固利用勾股定理构造直角三角形表示无理数的

方法，提升学生对勾股定理的灵活运用能力，增强几何直观素养。

四小结

1.知识层面：回顾勾股定理的发现过程（从直角三角形三边外正方形面积关系推导）；明确勾股定理内容

（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,符号语言:在中，NC=90'，则Y+〃=/）；

梳理勾股定理的应用（求直角三角形未知边长、在数轴上表示无理数G）。

2.方法层面：总结“数形结合”思想在本节课的运用（通过图形面积关系推导数量关系、利用图形表示无理

数）。

,内容一直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

商高，毕达哥拉斯定理

勾股定理的发现

（应用

【设计意图】通过系统总结，帮助学生梳理本节课知识框架，形成完整的知识体系，回顾关键思想方法，

加深对勾股定理的理解和记忆，为后续学习奠定基础。

版书设计

3.1勾股定理（第1课时勾股定理的发现）

1.问题引入：直角三角形三边是否存在特殊关系？

2.探究过程：

-正方形面积关系：

・“补”法计算面积：7x7-4x1x3x4=25

2

-“割”法计算面积：4x1x3x4+1=25

2

3.勾股定理：

-内容：百角三角形两条百角力的平方和等于斜i力的平方

•符号语言：在RrABC中,ZC=90\则。2+〃=/

-数学文化：商高“勾三股四弦五”、《周髀算经》、毕达哥拉斯定理

4.勾股定理应用：

-求直角三角形未知边长（例题1、例题2）

-表示无理数（如石、瓜、-717）

5.巩固练习：

作业布置

1.基础作业：完成教材中本课时对应的练习题，巩固勾股定理的基本应用。

2.提升作业:在数轴上画出表示疝i和-的点，写出作图步骤:并尝试构造直角三角形，求出边长为J7

的线段（可在方格纸中完成）。

3.拓展作.业：查阅勾股定理的相关历史故事（如毕达哥拉斯发现勾股定理的传说），撰写段100宇左右

的感悟，体会数学文化的魅力。

---------------------------------------------M教学反思

本节课基本达成教学目标，学生能经历勾股定理的发现过程，理解定理内容，并运用定理解决简单的

边长计算问题。通过“补”“割”法计算正方形面积，学生较好地突破了从“形”到“数”的转化难点，几何直观能

力得到提升。但在利用勾股定理表示无理数时，部分学生难以快速找到合适的直角边长度，构造直角三角

形的思路不够清晰；在解决实际问题（如梯子靠墙问题）时，少数学生不能准确将实际场景转化为直角三

角形模型。后续教学中，可增加构造直角三角形表示无理数的小组讨论时间，引导学生总结常见无理数（如

血、6、石等）对应的直角边组合；对于实际问题，可多展示生活中的直角三角形场景，帮助学生建

立数学模型意识，提升知识应用能力。

3.1勾股定理（第2课时勾股定理的证明）教学设计

教学分析

教学内容与解析

1.教学内容

本节课为苏科版新教材八年级上册第三章"勾股定理”中3.1勾股定理第2课时：勾股定理的证明。核心

知识点包括：直角三角形两直角边与斜边的平方关系、利用"赵爽弦图〃及其他面积拼接方法证明勾股定理。

本课紧扣“通过面枳相等来阐释。斗"工2〃的数学思想，帮助学生加深对数形结合的认以。

2.内容解析

本节课主要围绕勾股定理的不同证明展开：首先复习勾股定理的陈述及符号表达；然后通过“赵爽弦图”

切割与拼接、加菲尔德总统证法以及不同拼图证法等多角度分析，进一步探寻。2+配”2背后的几何与代数联

系。教学中重点体现“面积相等〃思路和"数形结合”思想，让学生在图形操作与代数演算中深化理解，形成多

样化的思维方式。

教学目标与解析

L教学目标

（1）理解“赵爽弦图”证明的基本原理，能运用面积相等的方法证明勾股定理。

（2）探索勾股定理的多种证法，体验数形结合的数学思想，提高几何与代数相互转化的能力,

2.目标解析

（1）通过观摩“赵爽弦图〃和相关拼接示意，学生能在直观操作与推理中掌握用面积求和的方法，达成对

〃+b2=c2之本质的理解。

（2）借助多样化的拼接与分割方式，学生能自主运用已学的平面几何与代数知识进行创新思考，提升对数

形结合的应用意识。

3.重点难点

•教学重点：利用面积相等原理，从多种图形拼接或切割的角度理解并证明勾股定理。

•教学难点：兼顾几何形象与代数表达之间的转换，使学生真正体会到勾股定理背后的数形结合思想.

学情分析

学生已具备直角三角形、正方形与梯形面积计算等基础知识；对平方和、简单方程有一定掌握。对于

勾股定理的传统表述较为熟悉，但在几何证明中，可能对图形拼接及斜边平方的构造过程感到抽象。教学

中需通过动手操作与分组讨论引导学生展开积极的想象和探究，让他们在可视化情境下更好地理解“面积相

等”的证明原理。

教学过程设计

新课导入

创设情景，复习回顾

引导语：同学们，在上i节课里，我们己经了解了勾股定理的内容：

“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方〃，符号语言可表述为

在RtAABC中,若ZC=90。，a2+b2=c2.

今天这节课，我们将继续围绕勾股定理开展讨论。勾股定理在历史上一直深受数学家们的关注，他们都提

出了不同的证明方法.你想知道这些方法是如何诞生的吗？让我们一起走进本节课.

新知探笈

探究点1：赵爽弦图的拼摆及面积证明

（一）问题引入

引导语：赵爽是东汉末至三国时代的吴国人，是我国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家“下面我们

来看看他是如何利用“弦图〃进行证明的。

师生活动：

1.教师展示“赵爽弦图"，让学生观察。"赵爽弦图”证明的基本思路是什么？

2.学生讨论：从图中能否看出某些图形面积之间的关系？

3.小组思考：用4张直角三角形纸片拼出一个边长为c的大正方形，并尝试思考如何用面积来说明小+

b2=c2.

（二）探索交流

•例题：根据"弦图〃的思路，用4张如图所示的直角三角形纸片（直角边为a,b,斜边为c）拼成一个

边长为c的大正方形，证明勾股定理。

分析：（1）如图，有一个正方形48co边长为C,内部由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成：

S正方形ABCD二"

（2）也可以通过计算这4个直角三角形的面积与小正方形（b-a）2之和来得到：

1

SF方形ABC。=4x彳。匕+（匕-a）?=2ab+b2-2ab4-a2=a2+ft2

由此可得

a2-Fb2=c2.

证明：'-S正方形ABCD=C2>

S正方形.8CD=4X夕b+（b—a尸，

=2ab+b2—2ab+a2

=a2+b2

--•a2+b2=c2.

【设计意图】通过经典的"赵爽弦图"，让学生直观地看到如何将若干全等直角三角形和小正方形拼接成一个

大正方形，利用“面积相等〃的思想来得到结论，既能激发学生的儿何想象力，乂能强化数形结合的理解。

探究点2：多种拼摆方法的勾股定理证明

（一）问题引入

引导语：除了“赵爽弦图''的拼法外，其实还可以用另一种拼法或切割方法来得到勾股定理的几何证明。请大

家观察下面这幅图，看看能否运用同样的“面积相等”思路来进行证明？

师生活动：

1.学生尝试用4张全等的直角三角形拼出边长为（a+b）的大正方形，然后思考如何用面积表达式验证

勾股定理。

2.小组之间交流讨论，并总结出计算步骤。

（二）探索交流

•例题1：用4张如图所示的直角二角形纸片拼成如图所示的大正方形，你能用这个图形证明勾股定

理吗?

分析：由图，可列出：S大正方形=(a+b)2

另一方面，大正方形的面积也可分为4个三角形与中间正方形的面积之和：S大正方形=4'3劭+。2

于是有

(a+b)2=2ab+c2

化简可得

a2+2ah+b2=2ab4-c2=>a24-b2=c2.

证明：大正方形=(a+b产，

5大L方影=4x夕b+c?,

(a+〃2=4x/b+c2

a2-\-2ab+b2=2ab+c2

a2-ib2=c2.

•例题2：连接下图中小正方形的对角线，可以得到右图.试利月右图中的面积关系证明勾股定理.

证明：，.弓物形=[(a+b)2,

S拂形=[ab+|ab+|c2»

•••加+幼2=如+夕b+?

；a2+ab+；b2=；ab+，b+

.-.a2+b2=c2.

・例题3：利用下面图形，证明勾段定理.

(1)⑵

教师引导：观察两个图形有什么相同点和不同点？

小组讨论：同一个图形，不同的分割方法.

证明：由图⑴得，

5小山；=4x-ab+a2+b2»

由图⑵得,

S人工方形=4xgab+c2,

.••4x-ab+a?+〃=-4x-ab+c2,

222

:.a2+b2=c2.

【设计意图】借助不同的拼接方式，让学生形成“一理多证〃的思考习惯。通过分组讨论、多次拼摆，不仅训

练了学生的动手能力，而且在反复对比的过程中加深了对勾股定理的理解与记忆。

巩固练习

1.图中涂色部分是直角边长为。、b,斜边长为c的4个直角三角形.试利用这个图形中的面积关系验证勾

股定理.

证明：如图,

v5多边彩A8EFG=S悌形A80G+S梯杉0£FG

=颖g+(0+母+夕[(a+(a+b)]

=£2+-ab-\-a2-\--ab

22

=a2+b2+ab,

5乡也形A8EFG=5正方形ACFG+25直角•珀多A8c

=c2+ab,

-,.a2+b2-\-ab=c2+ab.

即o2+b2=c2.

【设计意图】通过在具体图形上进行“拼接一割补一比较面积”的操作，学生可以更加直观地掌握勾股定理的

本质内涵；同时，引导学生根据不同的点线面组合来归纳出相同的结论，进一步增强在儿何视角下的迁移

能力。

拓展提升

1.将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中4以8=90。，求证：a2+b2=c2.

证明：如图①，连接。8,过点。作0F18C交8C的延长线于点F,则DF=EC=b—a.

=2

SnmniADCB=S^ACD+S^ABc^b+,

==2

5vmnKADCBS£iADB~^S£iDCB^c-}-^a(b—a),

毋+夕b=y+](b—a).

•••a2+b2=c2.

请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：

将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中乙。48=90。.求证：o2+b2=c2.

证明：如图，连接8D,过点8作BF1DE交。E的延长线于点F,则8F=b-a.

S五心心Aceto-SMCB+S^ABE+SgoE—:ab++:ab,

///

5K边形ACBED=S^ACB+SAA80+5"DE=^Ob+?+夕(b-0),

•*•/b+沙+为b=*b+夕2+/b-).

②

课堂小结

本节课围绕勾股定理的多种证明方法展开，重点在干通过"赵爽弦图"与各种几何拼接、切割技巧来理解

“面积相等”这一核心证据链，从而得出标+〃=己，学生不仅看到传统的直观"弦图"论证，还接触到“总统

证法”等多种思路，充分体验了数形结合的魅力。在此过程中，大家认识到计算图形面积并进行对比，是证

明勾股定理行之有效的思想方法。通过这些丰富多样的图形变换，全班同学对勾股定理的几何本质有了更

深刻的体会。

板书设计

1.知识回顾

（1）勾股定理的陈述及符号语言：a2+b2=c2

（2）赵爽弦图的历史与意义

2.探究勾股定理的证明方法

（1）赵爽弦图及其“面积相等”思路

（2）不同图形的切割/拼接证明

（3）总统证法

3.归纳小结

（1）勾股定理的多种几何证明

（2）数形结合的重要性

作业布置

1.完成教材相应习题，巩固“面积相等〃证明思路。

2.选做：尝试根据“赵爽弦图〃之外的拼图方式，再设计一种新的勾股定理证明图案，并用文字说明你的思

路。

教学反思

本节课通过赵爽弦图与不同拼接方法的演示，学生对“面积相等”这种几何证明思路有了直观认识，勾股

定理的本质更加清晰。对多数学生而言，能够从拼图过程顺利建模并得出a2+b2=c2,达到了概念理解的要

求。然而，部分学生在抽象概括和灵活运用方面仍需进•步引导，尤其是把图形拼接与公式转换进行对应

时存在一些困难。下节课准备增加小组合作环节，让学生在讨论中逐步完善推理思路，并提供更多变式练

习，帮助他们强化数形结合的思维能力，进一步稳固对勾股定理认识的深度与广度。

3.2勾股定理的逆定理教学设计

教学分析

数学内容与解析

1.教学内容

本节为新教材苏科版八年级数学第三章第2节“勾股定理的逆定理〃，核心内容是使用勾股定理的逆定理

判定直角三角形，并进一步了解勾股数的概念与应用。

2.内容解析

本节通过古埃及人用“3、4、5〃分段绳子构造直角三角形的实例，引入勾股定理逆命题〃若一个三角形的

两边平方和等于第三边的平方，则此三角形是直角三角形"。重点在于将“直角三角形〃的性质与“判定〃区分

开，同时引出勾股数的概念及常用性质，强化学生对数形结合的理解与推理。学生需掌握利用逆定理判定

直角三角形的方法，理解勾股数的产生与倍数特征。

教学目标可解析

1.教学目标

•经历勾股定理的逆定理的探索过程，掌握勾股定理的逆定理，理解勾股定理及其逆定理之间的关系，发展

推理能力。

•能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形为直角三角形，发展应用意识。

•/解勾股数的概念，熟悉常用的勾股数。

2.目标解析

•通过构造辅助三角形并运用边边边SSS全等等方法，引导学生理解“若a2+b2=c2,则为宜角三角形"的

推理思路。

•通过典型例题与生活情境（如古埃及金字塔构造），提升学生对勾股定理逆定理的应用意识。

•结合数形结合与运算技巧，培养学生识别和运用常见勾股数的能力。

3.重点难点

•教学重点：勾股定理的逆定理判定直角三角形的过程及勾股数应用。

•教学难点：充分理解"直角三角形〃的判定思路，以及正确区分勾股定理和其逆定理的条件与结论。

学情分析

学生对勾股定理已有初步认知，但对逆定理的逻辑推理仍需深化。能熟练计算平方和并进行比较，但

在灵活应用勾股数及建模推理方面较欠缺。需通过多样化情境和例题，帮助学生体会代数与儿何结合在判

定与计算中的重要作用。

教学过程设计

新课导入

创设情境，引入新课

1.教师展示"古埃及建造金字塔•'的故事情境：

"四千多年前，古埃及人在一根绳子上打上距离相等的结，然后把绳子分成12等份，再分别取3份、4

份、5份组成三角形，据说其中•个角就是直角。你能想•想，这个结论是如何得到的吗？〃

2.组织学生结合已有对勾股定理的认识，思考下述问题：

o他们为何认定此三角形有一个角为直角？

o这与我们之前学习的勾股定理有什么关联？

【设计意图】通过生活化的“古埃及绳结法”情境，引出“三边长组成3,4,5的三角形是直角三角形〃的事实,

激发学生的探究兴趣，为"勾股定理的逆定理〃新知做铺垫，明碓本节课学习目标与方向。

新知探塞

探究点1:勾股定理的逆定理的提出与证明

1.问题引入

O教师提问：勾股定理的内容是“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方”，那么它有一个

逆命题：“如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形"，它是否真实？

应如何证明？

2.新知导出

。先请学生口头复述勾股定理：

"在直角三角形中，若三边分别为a,b,c（c是斜边），则有+〃=。2。〃

O引导学生观察、思考：如果只给出Q2+F=C2,能不能肯定这是一个直角三角形？

o师生共同回顾“逆命题〃定义，E月确要证明其真伪，并探究证明思路。

3.师生活动

o教师演示：在^ABC中，已知8C=a,AC=b,AB=c,且Q?+b2=c2o求证：△ABC是直角三角形.

A

B'C'=a,A'C'=b.

根据勾股定理，得4夕2=标+按.

因为AB2=a2-^~b2,所以A'B'=A8

根据"SSS",可知△ABCg△A'8'C'.

于是，NT=NT=90°,△48C是直角三角形.

o学生分组讨论“如何用全等三角形的思想证明，逆定理'"，并在小组内尝试复述该证明过程。

4.结论归纳

O勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c,且满足Q2+》2=C2,那么该三角形一定是直

角三角形。

符号语言：

在△ABC中，N4N8,NC的对边长

分别为a，b,c,且/+"=(；工

・•・△ABC为直角三角形，且NC=90°.

o勾股定理的逆定理是判断三角形是否是直角三角形的重要方法。

5.例题巩固

例1△48C的三边长分别是a,b,c且a=〃2—1,b=2n,c=n2+l,n>l.△48C是直角三角形吗？证

明你的结论.

证明：是直角三角形，

■:a2+62=(n2—l)2+(2n)2=n4—2n2+14-4n2=n4+2n2+l.

c2=(n2+l)2=n4+2n2+l.

/.a2+62=c2.

•••△48C是直角三角形.

o教师总结：运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤是什么？

找：确定三角形的最长边；

算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方.和；

比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等；

判J：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形.

【设计意图】通过“构造一个与已知三角形具有相同两边的直角三角形，再利用全等推断''的活动，让学生亲

身经历演绎证明过程，发展推理能力，掌握“勾股定理的逆定理’•的核心思想与关键证明过程。

探亮点2：勾股定理的逆定理的应用一勾股数的概念与典型实例

1.问题引入

o教师提问：你知道古埃及人构造的三角形为什么是直角三角形了吗？

o学生讨论：・・・32+42=52,・••这个三角形为直角三角形.

o教师总结：古埃及人用了3、4、5组成直角三角形，那么其他所有满足小+匕2=。2的正整数三元组，都

有什么特别称呼？

O学生猜想：或许这些正整数(a,b,C)都称为"勾股数"。

2.新知导出

O师牛点、结勾股数定义：如果三个正整数a,b,c满足关系a2+b2=c2,则称a,b,c为勾股数.

勾股数必须同时满足两个条件：

(1)三个数都是正整数；

(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方.

3.师生活动

o教师出示例题，让学生通过计算或推导，判断〃8,15,17、11,60,61〃等是否是勾股数。

o学生分组讨论；为什么满足/।b2=c2还要求a,b,c均为正整数？

o教师补充演示：若(a,b,c)是一组勾股数，则(ka,kb,kc)也是一组勾股数，进一步完善对勾股数性

质的认识。

例2已知：Q,b,C为正整数，且。2+〃=C2.求证：对于任意的正整数匕正整数ka,kb,kc构成勾股数.

证明：Va2+b2=c2,

：.(ka)2+(kb)2=k2a2+k2b2

=k2(u2-¥b2)

=k2c2=(kc)2.

Vo,b,c,k为正整数,

Ato,kb,kc为正整数.

.\ka,kb,kc构成勾股数.

4.例题巩固(几何应用)

例3如图，A。是△48C的中线，AD=24,AB=26,BC=2Q.求4c的长.

A

解：YA。是△ABC的中线，BC=20,

：.BD=DC=-BC=1Q.

\MD=24,AB=26,

2

：.AO+BD2=242+10=676,

482=262=676.

:.AD2-]-BD2=AB2.

・・・〃D8=900（勾股定理的逆定理）.

・・・人。垂直平分BC.

：.AC=AB=26.

【设计意图】通过典型算例与数形结合，学生体会“整式运算与直观几何"在判定直角三角形中的应用价值,

进一步加深对于勾股数及其推广规律的理解，培养其综合运用所学知识解决问题的能力，并逐步提升对勾

股定理及其逆定理的应用意识。

探亮点2：勾股定理与其逆定理的区别与联系

教师提问：通过试题的练习，那么勾股定理与其逆定理有什么区别与联系？

学生分组讨论，共同完成下表：

勾股定理勾股定理的逆定理

图形

条件在中，ZC=90°在A45C中，a2+b2=c2

结论a1-\-b1=c1ZC=90°

“直角三角形”为条件，数量关系苏+〃=数量关系东+6=4为条件，“直角三角形”

区别〃为结论.是直角三角形的性质.为结论.是直角三角形的判定.

联系都与直角三角彩有关，都与三边数量关系。2+从=/有关

巩固练习

1.下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指出哪个角是直角.

(1)a=8,b=15,c=17；(2)。=13,6=14,c=15.

解：⑴在△4BC中，Va2+b2=82+152=64+225=289,c2=172=289,

a2+b2=c2.

・•・△ABC是直角三角形，/C是直角.

(2)在△ABC中，Va2+b2=132+142=365,c2=152=225,

小+分工小，

・•・△A8C不是直角三角形.

2,判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.

(1)在AA8c中，N4=25°,ZC=65°；(2)a：b：c=3：4：5.

解：⑴在△ABC中，VZA=25U,ZC=65U,

:.ZB=1800-ZA-ZC=18Q'-25°—65°=90°.

•••△48C是直角三角形.

(2)设a=3k、b=4k、c=5k(k>0：b

V+按=(3k)2+(4k)2=25/,c2=(5k)2=25k2,

・'・c2-\~b2=c2.

•••△48C是直角三角形，NC是直角.

3.下列各组数是勾股数吗？为什么？

(1)12,15,18；(2)11,60,61：(3)15,36,39；(4)36,35,12.

解：(1)V122+152=144+225=369,182=324,

122+152^182.

・•・12,15,18不是勾股数.

(2)Vll24-602=121+3600=3721,612=3721,

:.112+602=612.

・•・11,60,61是勾股数.

(3)V152+362=225+1296=1521,392=1521,

:.152+362=392.

・•・15,36,39是勾股数.

(4)•••122+352=144+1225=1369,362=1269,

/.122+352^362.

36,35,12不是勾股数.

4.已知直角三角形的三边长分别是a，b,c下列说法是否正确？

⑴以长分别为2a,2b,2c的三条线段能组成一个直角三角形；

⑵以长分别为G，5代的三条线段能组成一个直角三角形.

证明：(1)说法正确.

假设直角三角形的斜边为c,则有标+按=。2,

V(2a)2+(2b)2=4a2+4b2=4(a2+b2)=4c2=(2c)2.

・•・以长分别为2a,2b,2c的三条线段能组成一个直角三角形.

⑵说法不正确.

假设百角三角形的斜动为c,则有〃+b2=c2,

V(\/a)2+(V/?)2=aH-b,(Vc)2=c.

由三角形三边关系得a-\-b>c,

r.(Va)2+(Vb)2>(Vc)2,

工以长分别为瓜〃的三条线段不能组成一个直角三角形.

5.一个三角形三边长的比为3：4：5,它的周长是60.求这个三角形的面积.

解：设三角形的三边长分别为3x,4x,5x.

由题意，得3x+4x+5x=60,

解得x=5.

工三边长分别为15,20,25.

V152+202=252,

・•・这个三角形是直角三角形.

-5=1X15X20=150.

6.计算图中四边形A8c。的面积.

A

1216

厂

c

解：在RtaAB。中，根据勾股定理，得

BD2=122+162=400,

ABD=20.

VCD=15,BC=25,

：.CD2+8。=152+2()2=625,

8c2=252=625.

.\CD2-\-BD2=BC2.

・・・N8DC=90°(勾股定理的逆定理).

S西边形ABCD=SE8O+S480C

=-X12X16+-X15X20=246.

22

7.如图，人D_LBC,垂足为。.如果CO=1,AD=2,8。=4,那么是直角吗？请说明理由.

解：V4DXBC,

:.ZADC=ZADB=90°.

:.在RSAOC中，AC2=AD2+DC2=22+12=5.

在RtaAOB中，AB2=AD2-}-BD2=22-^42=2Q.

•.•472+482=20+5=25,BC2=57=25.

：.AC2+AB2=BC2.

.•.△48C直角三角形，N84c=90。.

思维提升

观察下列勾股数:

3,4,5；5,12,13：7,24,25；9,40,41；...；a,b,c.

根据你发现的规律，请写出：

⑴当Q=19时，b=_180,c=181；

⑵当。=2。+1时，求b,c的值；

(3)用(2)的结论判断15,111,112是否为一组勾股数，并说明理由.

解：⑵通过观察知c-b=l,

V(2n+l)2+b2=c2,

Ac2—b2=(2n+l)2>(b+c)(c—b)=(2n+l)2,

.*.b+c=(2n4-l)2.

又Vc=b+1.

.•・2b+l=(2c+l)2,

/.b=2n24-2n,c=2n2+2n+l.

(3)不是.理由如下：由(2)知，2n+l,2n24-2n,2n2+2n+l

为一组勾股数.

当。=7时，2n4-1=15,112-111=1,但2M+2〃=112W111,

A15,111,112不是一组勾股数.

课堂小结

如果三角影的三边长分别为a、仄c,且加

‘内谷那么这个三角彩是直角三角形.

如果三个正整数明c满足关系

勾股数

勾股定理的逆定理v则称叫b,c为勾股数.

判定三角形是否为直角三角形.

1应用

勾股定理及其逆定理的综合应

用.

板H设计

1.标题：3.2勾股定理的逆定理

2.勾股定理:

文字表述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

公式:a2+b2=c2

3.逆定理内容及判定过程：

文字表述：若三边满足a2+b2=c2.则该一:角形是直角三角形

判定步骤：找最长边、算平方和、比大小、作判断

4.勾股数概念：满足a?+b2=c2的正整数a、b、c

5.应用举例：

例1

作业布置

1.基础练习：课本或配套习题中与勾股定理逆定理相关的试题：

2.应用题：

（1）给出三角形的三条边长度，判断是否为直角三角形，并说明理由（不少于2组数据）；

（2）尝试利用“勾股数〃构造新的直角三角形并计算其面积；

3.拓展思考：查找并举例说明在实际测量或工程中，利用勾股定理逆定理进行判定或测量的具体场景。若

条件允许，可用课外读物或资料进行整理，并于下次课分享。

^^教学反思

本节课在"勾股定理的逆定理"教学中，教学目标整体达成较为理想：学生对“当三条边满足a?+b2=c2时，

三角形必为直角三角形''这一核心判定方法能基本理解并运用。通过古埃及人的实际应用场景导入，激发了

学生的学习兴趣，也帮助他们将数学知识与历史文化相联系。在此过程中，利用典例分析的形式逐步培养

学生的推理能力，但部分学生在涉及较复杂数字时，仍需加强运算与模型建构的熟练度。今后可在课堂中

适当增加小组合作解题的时间，让学生在讨论与交流中掌握列方程、检验真假的过程。同时，应针对“勾股

数与直角三角形〃的合作探究，让学生更深刻地体会数形结合、数学抽象与实际应用之间的联系，进一步提

升他们的学习兴趣与综合素养。

3.3勾股定理的简单应用（第1课时）教学设计

教学分析

教学内容,J解析

1.教学内容

本节为新教材苏科版八年级上册第三章"勾股定理”第3.3节（勾股定理的简单应用），核心知识点是利

用勾股定理解决生活中的直角三角形问题，重在引导学生通过建模与转化来体会数学应川价值。

2.内容解析

本节以手机屏幕面积、折竹与消防演习等实例为载体，引导学生将矩形、梯形等情境转亿为直角三角

形，设未知数并列方程，运用勾股定理求解。过程展示了数形结合的思想，突显勾股定理在实际中的价值。

数学目标与解析

1.教学目标

（1）能运用勾股定理解决实际问题，发展应用意识。

（2）在解决实际问题的过程中体会转化、建模、数形结合的思想方法，体会数学的应用价值c

2.目标解析

目标1强调用勾股定理处理与长度相关的现实问题：目标2意在通过丰富情境，让学生形成将复杂情景简化

为直角三角形的思路，内化数学模型思想。

3.重点难点

重点：从真实情境中提取直角三角形并套用勾股定理。

难点：准确设未知数并列方程，完成数形转化。

学情分析

学生已了解直角三角形与多项式运算及方程解法，但对复杂真实情境的几何抽象与方程建模尚不熟练,

需要在典型实例中反复操练，方能熟练掌握并灵活应用。

教学过程设计

新课导入

创设情景，引入新课

1.复习回顾"勾股定理”的基本内容，帮助学生回忆并为本节课应用做准备。

2.创设生活情境：

0教师提问：

“我们在买手机时常常看到介绍：某款手机屏幕对角线多少英寸、纵横比是多少。大家有没有想过，若仅

凭对角线长度与纵横比，是否能比较手机屏幕面积的大小呢？〃

0引导学生产生好奇与思考，为导入新课做铺垫。

【设计意图】通过手机屏幕大小问题，引起学生兴趣，激发学生探究勾股定理在生活中的应用，明确本节

课要运用勾股定理解决实际问题的学习方向。

新知探究

探究点：勾股定理应用一一手机屏幕面积比较问题

1.问题引入出示情境：

”甲、乙两种款式手机屏幕的对角线长分别为5.5英寸和5.4英寸，纵横比分别为2：1和16：9,哪

款手机的屏幕面积更大？1英寸工2.54cm-

并补充分析提示：

若将屏幕视为矩形，长、宽、对角线的关系可转化为直角三角形问题.

对于甲手机：设宽为x英寸，则长为_英寸；

对于乙手机：设宽为9y英寸，则长为_英寸。

师生共同补充：

解：设甲手机屏幕的长、宽分别为2x英寸，x英寸，乙手机屏幕的长、宽分别

为16y英寸，9y英寸.根据勾股定理，得

甲：QX）2+X2=5.52,解得W=6.05,

2

屏幕面积：2XXX=2X=2X6.05=12.1平方英寸；

乙：（1602+（94=5.42,解得户=箸，

屏幕面积：16yx9y=144必=144x^=12.5平方英寸.

•50/

V12.K12.5

，乙手机屏幕的面积更大.

2.师生活动设计

o教师：引导学生观察如何用勾股定理进行模型转化（“矩形对角线与长宽构成直角三角形”）。

o学生：独立或小组讨论，尝试列式求解；并对比计算结果，验证题目结论。

0教师：根据学生计算过程给予点拨，并强调勾股定理在判断直角三角形三边关系中的作用。

3.新知归纳

【设计意图】通过对手机屏幕面积的探究，让学生在真实情境中体会“对角线、长、宽互为直角三角形边〃

的建模过程，同时理解如何运用勾股定理列方程解决生活中的尺寸测量问题，提升应用意识。

4.典例分析

例1《九章算术》中有一个“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”

题意是:一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处禽竹根3尺，试问折断处高

地面多高？

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金

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提示：折断处恰可以构造一个直角三角形，试问折断处离地面多高？

解：如图，竹子在点8处折断，竹梢点A着地，

△4BC是直角三角形.

设BC的长为x尺，则八8的长为(10-x)尺.

由勾股定理，得X2+32=(10-X)2.

解得x=4.55.

答：折断处离地面4.55尺.

师生活动设计：

o教师：演示“折竹〃的直观示意图，说明为什么可视作直角三角形，引导学生设置未知数并歹J式。

0学牛.：分组讨论勾股定理在古代测量中的应用价值，引发