2024苏科版八年级数学上册题型专练：勾股定理的逆定理（含解析）

3.2勾股定理的逆定理（题型专练）

题型一、勾股定理的逆定理

题型二、在网格中判断直角三角形

基础达标

勾股定理的题型一、勾股定理逆定理的实际应用

题型二、新定义材料探究问题

逆定理能力提升

题型三、勾股数拓展问题

题型四、勾股定理逆定理的扩展问题

拓展培优

A基础达标题.

题型一、勾股定理的逆定理

1.（24-25八年级上,贵州六盘水•期末）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的一组数据是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,6

2.（24-25八年级上•福建漳州•期中）三角形各边长度的如下，其中不是直角三角形的是（）

A.3,4,5B.7,24,25C.15,8,17D.5,11,13

3.（24-25八年级上•江西吉安•期末）在V/8C中，NZ,NB,ZC的对边分别记为①b,c,下列条件不

能够判定V/l4c为直角三角形的是（）

A./A=/B+NCB.a2=c2-bz

C.（7=1>b=2,c=GD.a:b:c=\/3:2:yj5

4.（八年级•山东济宁•期中）已知三角形三边长分别为1,3,而，则这个三角形的面积为.

5.（22-23八年级上•贵州毕节•期口）已知a,b,c满足（a+JK=1+卜一=0.

(1)求a,b,c的值.

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(2)试问以“，4c的长度能否构成一个直角三角形？若能，求三角形的面积：若不能，请说明理由.

题型二、在网格中判断直角三角形

6.(24-25八年级上•四川乐山•期末)如图，正方形网格中每个小方格的边长为1,且点48、。均为格点.

⑴求V48C的面枳；

(2)猜想V48c的形状，并说明理由.

7.(2024八年级上•全国・专题练习)如图，每个小正方形的边长都为1.

R_

⑴求四边形力8c。的面积；

(2)/8。是直角吗？为什么？

8.(24-25八年级上•河北保定•期末)如图，在3x3网格中，每个小正方形的边长都为1,V48C的顶点均在

网格的格点(网格线的交点)上.

(1)填空：AC=,AB=,BC=；

(2)丫48。是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由.

9.(24-25八年级上•江苏无锡・期中)如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点4、B、P

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均为网格的格点.

>一一■—一■-b■■

A\

----r--i-------1-------r-

⑴线段AB的长度等于：

（2）以点力、B、Q为顶点的A48P面积为：

⑶仅用无刻度直尺在线段AB上作一个点。，使得点。满足NPQ4=45。.

题型三、已知两点求构成直角三角形的点

10.（24-25八年级上♦海南海口•期末）在如图的网格中，以力4为一边画Rt△月8C,则满足条件的格点。共

有（）

B

A.7个B.6个C.5个D.4个

11.（24-25八年级上•山西太原•阶段练习）在如图的网格中，以力8为一边画Rt△43C,则满足条件的格点

C共有（）

B

A.6个B.5个C.4个D.3个

12.（23-24八年级•广西玉林•期末）如图，在4x4方格中作以力〃为一边的RtZXW要求点。也在格点上,

这样的RtZ\/18C能作出（）

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的两直角边分别向外作正方形，重复这•过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似•棵树而得

名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第

一个正方形面积为1,则第2025代勾股树中所有正方形的面积为.

第一代勾股树第二代勾股树第三代勾股树

19.（24-25八年级•河北张家口•期中）如图甲是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是由

如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中04=44=44=……=44=1，现把图乙中的直角三角形继

续作下去，若的值是整数，且iw〃w30,则符合条件的〃有个.

20.（24-25八年级•广东珠海•期中）如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知

最大的正方形的边长为6,则4B,C,D四个正方形的面积之和为.

题型六、勾股定理逆定理的有关计算与证明

21.（24-25八年级•福建莆田•期中）如图，在四边形48CQ中，Z5=90°,AB=3,8C=4,点。是RtZ\48C

外一点，连接CDAD,且。。=12,月。=13.求四边形48C。的面积.

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22.（24-25八年级上•福建漳州•期中）如图，四边形48CO中，AB=2,8c=4,CZ）=4,AD=6,且

ABLBC.求证：ACLCD.

23.（24-25八年级•陕西安康•期末:如图，在△川5c中，。是8C的中点，DE工BC,交AB于点E,且BE=13,

24.（24-25八年级•广东梅州•阶段练习）如图，P是等边三角形/8C内一点，且4=6,PB=&PC=10,若

将&P/4C绕点彳逆时针旋转后，得到△户4?.求：

⑴P9的长度；

⑵/力24的度数

能力提升题

题型一、勾股定理逆定理的实际应用

25.（24-25八年级•江西赣州粉段练习）如图，某小区的两个喷泉45位于小路/1C的问侧，两个喷泉之

间的距离48=25m.要为喷泉铺设供水管道4W,BM,供水点M在小路4。上，供水点M到48的距离

MM=12m,8"=15m.

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⑴求供水点M到喷泉力需要铺设的管道长4W;

（2）求证：NRM1=9O。.

26.（24-25八年级•海南省直辖县级单位•期中）如图，某港IIO位于东西方向的海岸线上，"远航"号、"海

天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，"远航"号每小时航行16海里，“海天〃号每小时航行12

海里.

产北

户E

图1

（1）若它们离开港口2小时后分别位于小《处（图1）,如果知道"远航"号沿射线Q4方向航行，“海天”号沿

射线方向航行，则40=海里，80=海里；

⑵若它们离开港口1.5小时后分别位于/、4处（图1）,且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，

能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

27.（24-25八年级上•贵州六盘水•期末）小明喜欢自制航天飞行模拟器.在某次制作模拟器前，对模拟器某

个部位所需要材料的形状进行设计，根据实际需要，该材料的形状设计为一个四边形，其平面示意图如图

所示，其中8cm,CD=6cm,BC=24cm,AB=26cm,按要求完成下列问题.

⑴连接4C，并求力C的长；

（2）小明按照设计订制了•块这样的四边形金属材料，为防止材料氧化，需对材料表面（四边形力8C。）镀

一层防氧化膜，请根据题中的信息，求出应镀氧化膜的面积.

28.（24-25八年级•河北邢台•期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机4B,

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且44均位于地下管道力C的同侧，售卖机44之间的距离（/4）为500米，管道分叉口M与4之间

的距离为300米，工于点N,用到力8的距离（MN）为240米.假设所有管道的材质相同.

⑴求8,N之间的距离；

⑵珍珍认为：从管道4。上的任意一处向售卖机8引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，

请通过计算判断珍珍的观点是否正确.

题型二、新定义材料探究问题

29.（24-25八年级・山西运城・阶段练习）定义：在丫，〃。中，若叱-*/9-6,4?-5且-6,<:满足40十〃2=〃2,

则称这个三角形为“类勾股三角形".

请根据以上定义解决下列问题：

图1图2

⑴如图1,若等腰三角形18c是“类勾股三角形"，AB=BC,AC>AB,求/C的度数.

（2）如图2,在V/18C中，AB=2ZJ,JSZ.ACB>Z.A,。是48上的点，连接CQ,满足力。=。，过点。作

CE1AB,垂足为£.求证：V/4c为“类勾股三角形〃.

30.（24-25八年级上•江苏无锡•期中）定义：在V"C中，若BC=a,AC=b,=o,a",c满足w+/〃

则称这个三角形为〃类勾股三角形、请根据以上定义解决下列问题：

图1图2备用图

⑴命题：“直角三角形都是类勾股三角形〃是（填“真〃或"假”）命题.

（2）如图1所示、若等腰三角形48C是“类勾股三角形〃，其中<B=BC,AOAB,请求的度数.

⑶如图2所示，在V/1〃C中，=且NC>N4.请证明V为"类勾股三角形”.

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题型三、勾股数拓展问题

31.(24-25八年级上•江苏无锡•期中)课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之

为“勾股数”.王老师给出一组数让学生观察:345；542.13；7.24.25；9.40.41；L，学生发现这些勾股

数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决.若两直角边为“b(a<b),

斜边为c.

⑴请你根据上述的规律写出下一经勾股数：11、_、_：

(2)当(〃为奇数，且〃23)时，若b=_,c=_时可以构造出勾股数(用含〃的代数式表示)，并证明你

的猜想；

⑶构造勾股数的方法很多，请你寻找当。=20时，c=_.

32.(22-23八年级上•江苏扬州•期中)课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五〃.王老师给出一

组数让学生观察:345；5、12、13；7、24、25：9、40、41；…,学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就

没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决.

⑴请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、、;

⑵若第一个数用字母。(〃为奇数，且。之3)表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小

明发现每组第二个数有这样的规律：4=—,12=—,24=—......,则用含。的代数式表示每组第

222

二个数和第三个数分别为、：

⑶用所学知识加以说明.

33.(18-19八年级•山东济宁•期末)【知识背景】

据我国古代《周概算经》记载，公元前1120年商高对周公说，瘠一根直尺折成一个直角，两端连接得到一

个直角三角形，如果勾是3,股是4,那么弦就等于5,后人概括为“勾三、股四、弦五”.像3、4、5这样

为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数.

【应用举例】

观察3,4,5；5,12,13；7,24,25;...

可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且

勾为3时，股4=[(9-1),弦5=：(9+1)；

22

勾为5时，股12=1(25-1),弦13=1(25+1)；

22

请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：

(1)如果勾为7,则股24=弦2S=

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（2）如果勾用〃（〃23,且〃为奇数）表示时，请用含有〃的式子表示股和弦，则股=,弦=.

【解决问题】

观察4,3,5；6,8,10；8,15,17；…根据应用举例获得的经验进行填空：

（3）如果。力,c是符合同样规律的一组勾股数，〃=2〃？（机表示大于1的整数），则人=,c=,

这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式.

（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组：、24、：第二

组：、、37.

题型四、勾股定理逆定理的扩展问题

34.（23-24八年级上•江苏徐州•期中）在V/18C中，BC=a,AC=b,AB=c,设。为最长边,当时,

V/18C是直角三角形；当/+〃工。2时，利用代数式/+〃和d的大小关系，探究V力8。的形状（按角分

类）.

⑴当V48c三边分别为6、8、9时，NABC为三角形；当V/4C三边分别为6、8、11时，VABC

为三角形；

⑵猜想：当/+〃c?时，V48c为锐角三角形；当/时，V45c为钝角三角形；

（填”>〃或"<〃或"="）

（3）判断：当a=5,6=12时，

当V/18C为直角三角形时，则c的取值为；

当V/18C为锐角三角形时，则。的取值范围:

当V48C为钝角三角形时，则。的取值范围.

35.（23-24八年级上•湖南长沙•期中）定义：a,b,c为正整数，若。2=/+/,则称c为“完美勾股数〃，a,

6为。的“伴侣勾股数〃.如13:=52+12]，则13是“完美勾股数"，5,12是13的”伴侣勾股数

⑴数10"完美勾股数〃（填"是"或"不是"）；

⑵已知的三边a,b,。满足/+〃+°.2-60-汕一10'+50=0.求证：c是“完美勾股数

⑶已知"1,〃>0且〃[>〃，c=2m2+2mn+2ir,a=nr+4nui+n2>b=6（m+n）,。为“完美勾股数”，a,

b为C的“伴侣勾股数〃.多项式父-3/+P有一个因式x7〃+〃,求该多项式的另一个因式.

36.（20-21八年级上•江西吉安•期末）先观察下列各组数，然后回答问题：

第一组：1,右，2；第二组：拉，2,后：

第三组：6M，x/8;第四组：2,在，回；

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（1）根据各组数反映的规律，用含〃的代数式表示第〃组的三个数；

（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三知形是什么三角形？请说明理由；

（3）如图，CB=3,=AC=n,若3,小，〃为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且=90。,

AD=AC,求8。的长.

37.（24-25八年级•湖南怀化・期末）直角二角形的二边为。-2力，%«十2A且〃、方都为正整数，则二角形

其中一边长可能为（）

A.18B.19C.21D.22

117

38.（24-25八年级•湖南湘西•阶段练习）在VZAC中，一+丁二一，则NC（）

abc

A.一定是锐角B.一定是直角C.一定是钝角D,都有可能

39.（24-25八年级•山西吕梁•期末）如图，V/8C中，AC:BC:AB=3:4.5,点。在8。上，点E为的

中点，AD,CE相交于点尸，且力。=08.若NB=35。,则/D氏石的度数是.

40.（24-25八年级•陕西西安・期中）如图，点O是等边V/AC内一点，0.4-2,。。=2百，OC-4,则

SaABC.Sqoc的值为

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41.（24-25八年级•江西抚州•期末）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其

中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的

等直分割线段.例如：如图1,在V48c中，•:力。"L8C于。，且4。=QC,是等直三角形，AD是VABC

的一条等直分割线段.

⑴定义理解：直角三角形一定等直三角形（填“是"或“不是〃）；

（2）定义应用：如图2,在V/出。中，/。=90。,/。是\「力4。的等直分割线段，AC=4,8C=8,求力。的长;

⑶应用提升：在V/4C中，初=2,/4=30。,力。是\『48。的等直分割线段，则AC的长可以为.

42.（24-25八年级•山东德州•期中）【阅读思考】请阅读下列材料，并完成相应的任务，如图，点力（百,乂）,

点必），以外为斜边作与坐标轴平行的线构成平△4BC,则C（S，M），力。=|再一司，8c二|%-必|,

所以月3=J（X「/）2+5-M）2，反之，可将代数式Ja-/y+（M-n）2的值看作点力（再，Y）到点趴/，%）

>

ox

【解决问题】

①己知4（0,3）,8（4,0）,则线段48=

②已知点爪-2,3），鸟（3,5）,在x轴上找一点?，使得+的值最小，请直接写出这个最小值是

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【延伸应用】

①代数式J(x—1)2+(0一1『+J(x-2)2+(0-3『的最小值=

②己知4(1,2),C(5.0),判断V48c的形状，并说明理由.

【迁移拓展】已知点［(-2,3)，鸟(3,5),在x轴上找一点。，使得的值最大，请直接写出这个最大

值是.

43.(24-25八年级•广西来宾・期中)【综合与实践】

【问题探究】

(1)如图1,〃力为四边形48CQ的对角线，BD1CD,若48=8,AD=6,BC=5后,CD=5,试求四

边形48CQ的面积；

【问题解决】

(2)如图2.四边形/AC。是某县一座全民健身中心的平面示意图，AC.AE.石夕为三条走廊(点K和

点厂分别在边8c和43上)，40=60米，CQ=4E=40米，CE=20米，BE=30米，ACLCD.EFLAB.^.

E厂的长；

BEC

图2

(3)随着民众健康意识的不断增强，对■科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该

县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在4B上取点“，并将△8E”区域修建为功能训练区，根据设

计要求，△8E”应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的力〃的长.

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3.2勾股定理的逆定理（题型专练）

题型一、勾股定理的逆定理

题型二、在网格中判断直角三角形

基础达标题型三、已知两点求构成直角三角形的点

题型四、勾段数问题

题型五、勾股树问题

题型六、勾殷定理逆定理的有关计算与证明

勾股定理的题型一、勾股定理逆定理的实际应用

题型二、新定义材料探究问题

逆定理能力提升

题型三、勾股数拓展问题

题型四、勾股定理逆定理的扩展问题

拓展培优

基础达标题

题型一、勾股定理的逆定理

1.（24-25八年级上•贵州六盘水•期末）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的一组数据是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,6

【答案】C

【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理.如果一个三角形的三

边满足/+/=。2,那么这个三角形是直角三角形.

根据勾股定理的逆定理判断即可.如果一个三角形的三边满足"+〃=。2,那么这个三角形是直角三角形.

【详解】解：A,12+22^32,所以1，2,3不能作为直角三角形的三边，不符合题意；

B、2?+3?=4?,所以2,3,4不能作为直角三角形的三边，不符合题意；

C、32+42=52,所以3,4,5能作为直角三角形的三边，符合题意；

D、42+52^6\所以4,5,6不能作为直角三角形的三边，不符合题意：

故选：C.

2.（24-2S八年级上福建漳州•期中）三角形各边长度的如下，其中不是直角三角形的是（）

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A.3,4,5B.7,24,25C.15,8,17D.5,lb13

【答案】D

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角

三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

【详解】解：A>V32+42=5\

•••能组成直角三角形，故此选项不符合题意；

B,V72+242=252，

・••能组成直角三角形，故此选项不符合题意；

C.V82+152=172,

，能组成直角三角形，故此选项不符合题意；

D>V52+ll2*132,

・••不能组成直角二角形，故此选项符合题意；

故选：D.

3.（24-25八年级上•江西吉安•期末）在V46C中，/4，/B,NC的对边分别记为4,b,c,下列条件不

能够判定V/出。为直角三角形的是（）

222

A.NA=NB+NCB.a=c-b

C.。=1,6=2，c=£D.a:b:c=S：2:后

【答案】D

【分析】本题考查三角形的内角和，勾股定理逆定理，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键.根据三

角形的内角和等于180。，各个角之间的数量关系，根据边之间的等量关系，结合勾股定理逆定理来判断各

个选项是否符合题意.

【详解】解：A./=N4+/C,ZJ+Z5+ZC=180°,

.\Z4=90°,

，能判定V48c为直角三角形；

B.Va2=c2-b2,

•,*a2+b2=c2

，能判定V48C为直角三角形：

a2+C1-b1»

15/57

，能判定v48C为直角三角形；

D.V22+（^）2#（^）2,

a2+b2HC：

，不能判定V"C为直角三角形.

故选：D.

4.（18-19八年级•山东济宁・期中）已知三角形三边长分别为1,3,屈，则这个三角形的面积为

【答案】|/1.5

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能求出三角形是直角三角形是解此题的关键.

根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可.

【详解】解：・・・I2+32=IO,（Vio）2=io,

Al2+32=（7io）2,

・••以1,3,屈,为三角形三边的三角形是直角三角形，

・••这个三角形的面枳为!xlx3=2

22

3

故答案为：—.

2

5.（22-23八年级上•贵州毕节•期中）已知a,b,c满足一行）'+小力+|c—«|=0.

⑴求4,b,c的值.

（2）试问以mb,。的长度能否构成一个直角三角形？若能，求三角形的面积；若不能，请说明理由.

【答案】⑴a=\[1，b=\,c=石；

（2）能，面积为孝

【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理逆定理，二次根式的加法，解题的关键是掌握绝对值、偶次

帮、算术平方根都具有非负性.

（1）根据偶次方，算术平方根以及绝对值的非负性进行求解即可；

（2）根据勾股定理的逆定理进行判断，并计算面积即可.

【详解】（1）解：•••（。一及『+%]+,一百=0，

K（t?-x/2）">0,,c-\/3|>0,

16/57

—V2j=0,\]b—1=0，|c——0,

••4=^2，b=1,c=^3:

（2）解：+/=3=（6j,

即/+下=。2,

故以“，b,。为三边的三角形是直角三角形；

则三角形的面积为：1x72x1=^-.

22

题型二、在网格中判断直角三角形

6.（24-25八年级上•四川乐山•期末）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1,且点人B、C均为格点.

⑴求V/8C的面积；

（2）猜想V48c的形状，并说明理由.

【答案】⑴5

（2）V48C是直角三角形，理由见解析

【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股逆定理的应用以及求三角形的面积，掌握勾股定理及勾股定理

的逆定理是解题的关键.

（1）V48C的面积由正方形面积减去三个直角三角形面积，求出即可；

（2）利用勾股定理求出V45c的三边长，再利用勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形；

【详解】（1）<5A.<flr=4x4-—x4x2--x2xl--x3x4,

=16—4—1—6，

=5.

（2）V/18C是直角三角形，理由如下：

由图知，AC=A/42+2"=2^5,BC=5/2?+f=亚,AB=>/3'+4?=5»

vJC2+BC2=（2>/5）2+（V5）=25,AB2=25,

17/57

AC2BC1=AB2，

.•.△48C是直角三角形.

7.（2024八年级上•全国•专题练习）如图，每个小正方形的边长都为1.

R_

⑴求四边形力8c。的面积；

⑵/8CO是直角吗？为什么？

【答案】⑴22.5

⑵是直角，见解析

【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，求网格中图形的面积，

对于（1）,根据正方形的面积减去四个三角形和一个正方形的面积可解；

对于（2）,根据勾股定理的逆定理判断即可.

【详解】（1）解：四边形/3CQ的面积=6X6-'X2X6-LX1X6-11x3-1-‘1x4=22.5；

2222

（2）解:NBCD是直角,理由加卜.：

如图，连接8。，

根据勾股定理，得8c2=2?+6?=40,CZ）2=l2+32=10，5Z>2=52+52=50，

BC2+CD2=BD2,

・•.△BCO是直角三角形，

即NBCD是直角.

18/57

8.（24-25八年级上•河北保定•期末）如图，在3x3网格中，每个小正方形的边长都为1,V48c的顶点均在

网格的格点（网格线的交点）上.

（1）填空：AC=,AB=，BC=：

（2）丫48。是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由.

【答案】（1）0，2及，710

（2）V48C是直角三角形，理由见解析

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键.

（1）利用勾股定理计算即可；

（2）利用勾股定理的逆定理判断即可;

【详解】⑴解：由网格得,"=4+f=6，AB=>l22+22=2y[2»BC=J/+3?=反.

故答案为：旧2五，V10:

（2）解:V/3C是直角三角形.理由加卜.：

VAC2+AB-=（N/2）：+（2>/2）：=10,i5C2=（V10）2=10,

AC1+AB2=BC\

•••V48c是直角三角形.

9.（24-25八年级上•江苏无锡・期中）如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点力、8、P

均为网格的格点.

⑴线段4?的长度等于

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(2)以点力、B、P为顶点的△48。面积为:

⑶仅用无刻度直尺在线段AB上作一个点。，使得点。满足NPQ1=45。.

【答案】(1)后

(2)1

⑶见解析

【分析】本虺主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，网格中求三角形面积，熟

知勾股定理是解题的关键.

(1)利用勾股定理求解即可；

(2)利用割补法求解即可：

(3)取格点C、D,连接尸。交力8于。，点。即为所求.

【详解】(1)解：由网格的特点和勾股定理可得48二炉*=J万；

(2)解:5A/MP=4x2-1xlx4-jxlxl-l-x2x3=^-；

(3)解：如图所示，取格点。、D,连接尸。交48于。，点。即为所求；

可证明是等腰直角三角形，则/胡C=45。，

可证明PQ_L4C,则可证明/P。/=45。.

题型三、已知两点求构成直角三角形的点

10.(24-25八年级上•海南海口・期末)在如图的网格中，以力〃为一-边画RtA48C,则满足条件的格点C共

有()

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B

A.7个B.6个C.5个D.4个

【答案】B

【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理，解题的关键是掌握以上知识点.

根据勾股定理以及逆定理和网格的特点求解即可.

【详解】如图所示，

当力8是斜边时，由网格可得，NACB=/ADB=90°,

:.AB2=AC2+BC2=\2+32=10

VAE2+BE2=\2+22+\2+22=\0=AB2

：.2AEB=90°

•.*AH2+BH2=12+i2+22+22=10=AB2

，/AHB=90°

・•・第三个顶点所在的位置有：C、。、E、〃四个；

当48是直角边，/是直角顶点时，

丁AB2+AF2=10+\0=20=8^2=22+42

，乙修8=90。；

・•・第三个顶点可以是产点；

当48是直角边，8是直角顶点时，

,/JZ?2+Z?G2-10+10-20-JG2-22+42

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/./ABG=90°；

工第三个顶点可以是G.

工共有6个满足条件的顶点.

故透:B.

11.（24-25八年级上•山西太原•阶段练习）在如图的网格中，以*4为一边画Rt△44C,则满足条件的格点

C共有（）

B

A.6个B.5个C.4个D.3个

【答案】A

【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定，根据网格的特点，分48为斜边，以及48分别为直角顶点,

分类讨论，即可求解.

【详解】解：当/8是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、。、E、，四个；

当44是直角边，4是直角顶点时，第三个顶点是E点：

当43是直角边，8是直角顶点时，第三个顶点是G.

因而共有6个满足条件的顶点.

故选：A.

12.（23-24八年级•广西玉根期末）如图，在4x4方格中作以4E为一边的Rt△月8C,要求点C也在格点上,

这样的能作出（）

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A.2个B.4个C.6个D.7个

【答案】C

【分析】此题主要考杳了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当48

是斜边时有四个，当AB是直角边时有2个RtA.

【详解】解：当力〃是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、DE、〃四个；

CaB

••••D•

•tilt

«

H\\E1G：

••••

•'>p•

•

当48是直角边，力是直角顶点时，第三个顶点是少点；

当48是直角边，4是直角顶点时，第三个顶点是G.

因而共有6个满足条件的顶点.

故选C.

13.(22-23八年级•浙江台州•期中)在如图所示的5x5的方格图中，点4和点8均为图中格点.点。也在

格点上，满足V/8C为以46为斜边的直角三角形.这样的点。有()

B

二n

1,,,,

r;]:…丁]

111111

111111

111111

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可.

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【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个,

故选D.

C：C：

【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键.

题型四、勾股数问题

14.（24-25八年级•河南安阳•阶段练习）勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成•个直角三角形三

边的一组正整数.下列各组数中，是勾股数的是（）

A.1,2,3D.4,5,国

C.7,24,25D.0.6,0.8,0.9

【答案】C

【分析】本题主要考查了勾股数，根据勾股数的定义（三个正整数且满足两数的平方和等于第三个数的平

方），逐一验证各选项即可.

【详解】解：A1,2,3：均为正整数，但最大数3的平方为9,而产+22=|+4=5/9,不满足勾股定理.

B.4,5,屈:而不是正整数，不符合勾股数必须为整数的条件.

C.7,24,25：均为正整数.验证平方和：7?+242=49+576=625,25—625,满足勾股定理.

D.0.6,0.8,0.9：均为小数而非正整数，直接排除.

故选：C

15.（24-25八年级•湖南邵阳・期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学

著作《周髀算经》中.下列各组数中，不用于“勾股数”的是（）

A.3,4,5B.5,7,9C.8,15,17D.7,24,25

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理的公式是解题的关键.

根据勾股数的定义，即三个正整数满足/+从=。2（其中。为最大数），逐一验证各选项即可.

【详解】解：A：3?+42=9+16=25=52,满足勾股数条件，故该选项不符合题意：

B：5,72=25+49=74,而9?=gl，74工81,不满足勾股数条件，故该选项符合题意；

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c：82+152=64+225=289=172,满足勾股数条件，故该选项不符合题意；

222

D：7+24=49+576=625=25;满足勾股数条件，故该选项不符合题意.

故选:B.

16.（24-25八年级•江西新余•期末）把能够围成直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数.下列不是勾

股数的是（）

A.6,8,10B.8,15,17C.5,12,13D.13,14,15

【答案】D

【分析】本题考查了勾股数.对于三个正整数，先找出最大的数，若较小的两个数的平方和等于最大的数

的平方，则这组数为“勾股数"，计算即可.

【详解】解：,・・62+82=102,・・.6,8,10是“勾股数〃，，选项A不符合题意：

•••a+52=172,・•,8,15,17是"勾股数"，，选项B不符合题意；

V52+122=132，A5,12,13是“勾股数%・•・选项C不符合题意;

,••炽+⑷=3，・・・13,14,15不是“勾股数”，，选项D符合题意;

故选：D.

17.（24-25八年级•福建厦门•期中）满足的三个正整数a,b,。称为一组勾股数，如3,4,5,

就是一组勾股数.请你再写出一组勾股数.

【答案】6,8,10（答案不唯一）

【分析】本题考查勾股数问题.根据题意写出符合/+/=/的式子即可.

【详解】解：•・•6?+8?=102,

，勾股数可以是：6,8,10（答案不唯一），

故答案为：6,8,10（答案不唯一）.

题型五、勾股树问题

18.（24-25八年级•四川广元•期中）“勾股树〃是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形

的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得

名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第

一个正方形面积为1,则第2025代勾股树中所有正方形的面积为.

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第一代勾股树第二代勾股树第三代勾股树

【答案】2026

【分析】本题主要考查勾股定理，由题目条件和所画出来的图形正确找出规律是解题的关键.分别计算出

第一，第二，第三代勾股树中所有正方形的面积，得出第〃代勾股树中所有正方形的面积为〃+1进行分析计

算.

【详解】解：由题意可知，第一代勾股树中所有正方形的面积为1+1=2；

第二代勾股树中所有正方形的面积为1+1+1=3;

第三代勾股树中所有正方形的面积为1+1+1+1=4.......

则第〃代勾股树中所有正方形的面积为〃+1,

••・第2025代勾股树中所有正方形的面积为2025+1=2026.

故答案为:2026.

19.(24-25八年级•河北张家口•期中)如图甲是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，主体图案是由

如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中……=44=1，现把图乙中的直角三角形继

续作下去，若W4的值是整数，且1OW30,则符合条件的〃有个.

【分析】本题考查了勾股定理的应用；探索图形规律，找到规律是解题的关键.

利用勾股定理可求出，得到OA„=G,即可得到0404二百/，再根据是整数及

1</?<30,由此可求出〃的值的人数.

【详解】解：由题意得

。4=4+]2=及:

26/57

OAI=啦）+r=&+1=枢；

=j3+『

=xjn;

Vl</?<30,

•••。4的值是整数，

・・・。4的值可以是石，2石，3石，是整数的有3个.

故答案为：3.

20.（24-25八年级•广东珠海•期中）如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知

最大的正方形的边长为6,则4B,C,D四个正方形的面积之和为.

【答案】36

【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，设4优。,。四个正方形的面积分别为:

2

S、C，由图可知：51+52+53+54=6=36,即可求解；

【详解】解：设4SC,0四个正方形的面积分别为：S,,S2,S3,54,